【爆款】高中数学平面向量知识点及常见题型..docx

平面向量
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
?
?
?
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用
a,b,c
……来表示，或用有向线段的
uuuruuur
?
起点与 终点的大写字母表示，如：
AB
几何表示法
AB
，
a
；坐 标表示法
uuur
?
，记作|
AB
|即向量的大小，
a?x i?yj?(x,y)
向量的大小即向量的模（长度）
?
记作｜
a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
??
②零向量：长度为0的向量，记 为
0
，其方向是任意的，
0
与任意向量平行零向
?
?
量
a
＝
0
?

rr
?
｜
a
｜＝0 由于
0
的方向是任意的，且规 定
0
平行于任何向量，故在有关向量平
行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向 量”这个条件．（注意与0的区
别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
??< br>向量
a
0
为单位向量
?
｜
a
0
｜＝ 1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
?
?
移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作
a
∥
b
由于向量可
以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向
量 也称为共线向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记
?
x
1
?
x
2
?
?
为
a
?
b
大小相等，方向相同
(x
1
,y
1
) ?(x
2
,y
2
)
?
?

?
y
1
?
y
2
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
ruuuruuur
uuur
r
uuur
r
?
ruuu
设
AB?a,BC?b
，则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC

?
??
?
?
（1）
0?
a
?
a
?0?a
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向 量是要共始点的，和向量是始点与已知
向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是 从减向量指向
被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向 最后一个向
量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向
1

量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量 是首尾连接时，用三角
形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
uuuruu uruuuruuuruuuruuur
AB?BC?CD?L?PQ?QR?AR
，但这时必 须“首尾相连”．
3向量的减法
??
① 相反向量：与
a
长度相等、方向相反的向量，叫做
a
的相反向量
?
记作
?
a
,零向量的相反向量仍是零向量

?
??
?
?
?
?
关于相反向量有： （i）
?
(
?
a)
=
a
； (ii)
a
+(
?
a
)=(
?a
)+
a
=
0
；
??
?
?
?
?
?
?
?
(iii)若
a
、
b
是互为相反向量，则
a
=
?
b
,
b
=
?
a
,
a
+
b
=
0

?
??
?
②向量减法：向量
a加上
b
的相反向量叫做
a
与
b
的差，
??
?
?
记作：
a
?
b
?
a
?
(
?
b)
求两个向量差的运算，叫做向量的减法
?
??
??
?
③作图法：
a
?
b
可以表示为从b
的终点指向
a
的终点的向量（
a
、
b
有共同 起点）

4实数与向量的积：
??
①实数λ与向量
a
的积 是一个向量，记作λ
a
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
?
a
?
?
?
a
；
??? ?
（Ⅱ）当
?
?0
时，λ
a
的方向与
a
的 方向相同；当
?
?0
时，λ
a
的方向与
a
?
?
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?
0
，方向是任意的

??
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理：
??
?
?
向量
b
与非零向 量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
，使得
b
=
?
a

6平面向量的基本定理：
??
如果
e< br>1
,e
2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
?????
?
a
，有且只有一对实数
?
1
,
?< br>2
使：
a
?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
，其中不共线的向量
e
1
,e
2< br>叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平 行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行
则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与
其相对位置有关
二.平面向量的坐标表示
2

1平面向量的坐标表示：
rr
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i,j
作 为基底
rr
rr
r
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量
a
可表示成
a?xi?yj
，由于
a
与
rr
数对(x ,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量
a
的坐标，记作
a
=(x, y)，其中
r
x叫作
a
在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只
与其相对位置有关
2平面向量的坐标运算：
r
rr
r
(1)若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

uuur
( 2)若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x< br>2
?x
1
,y
2
?y
1
?

rr
(3)若
a
=(x,y)，则
?
a
=(
?< br>x,
?
y)
r
r
r
r
(4)若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

r
r
r
r
(5)若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

rr
若
a?b
，则
x
1
?x
2
?y1
?y
2
?
0

3向量的运算向量的加减法，数与向量 的乘积，向量的数量（内积）及其各运算
的坐标表示和性质
运算几何方法 坐标方法 运算性质
类型
向
量
的
加
法
向
量
的
减
法
向
量
的
乘
法
1平行四边形法则
r
r
?
??
?
a ?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
a
?
b
?
b
?
a

2三角形法则
?
?
??
?
?
(a
?b)
?
c
?
a
?
(b
?
c)

uuuruuuruuur
AB?BC?AC

三角形法则
??
?
?
r
r
a?b?(x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
)

a
?
b
?
a
?
(
?
b)

uuuruuur
AB??BA

uuuruuuruuur
OB?OA?AB

?
a
是一个向量,
满足:
?
?
?
>0时,
?
a
与
a
同向;
?
?
?
<0时,
?
a
与
a
异向;
?
?
a?(
?
x,
?
y)

?
(
?
a)?(
??
)a

???
(
?
?
?
)
a
?
?
a
?
?
a

?
?
?
?
?
(
a
?
b
)?
?
a
?
?
b

??
3

?
?
?
=0时,
?
a
=
0

?
?
?
?
a
∥
b
?
a
?
?
b

向
量
的
数
量
积
?
?
a
?
b
是一个数
?
?
?
?
a?
0
或
b?0
时,
?
?
a
?
b
=0
?
?
?
?
a?
0
且
b?0
时,
?
?
?
?
?
?
a?b?
|
a||
b
|cos
?a
,
b?
r
r
?< br>?
?
?
a?b?x
1
x
2
?y
1< br>y
2

a
?
b
?
b
?
a

?
?
?
?
?
?
(
?
a)
?
b
?
a
?
(
?
b)
?
?
(a
?b)

?
?
???
?
?
(
a
?
b
)?
c
?
a
?
c
?
b
?
c

??
?
a
2
?
|a|
2
,
|a|?x
2
?y
2

?
?
?
?
|a
?
b|
?
|a||b|



三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的 夹角为
?
，则
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
叫做
r
r
r
r
a
与
b
的数量积（或内积） 规定
0?a?0

r
r
rr
r
a
?
b
2向量的投影：︱
b
︱cos
?
=
r
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影投影 的绝对
|a|
值称为射影
r
r
r
rr
3数量积的 几何意义：
a
·
b
等于
a
的长度与
b
在< br>a
方向上的投影的乘积
rrrr
4向量的模与平方的关系：
a?a? a
2
?|a|
2

5乘法公式成立：
r
rr
r
r
2
r
2
r
2
r
2a?b?a?b?a?b?a?b
；
????
r
r
rr
rr
?
a?b
?
?a?2a?b?b
2
22
r< br>2
r
rr
2
?a?2a?b?b

6平面向量数量积的运算律：
r
rr
r
①交换律成立：
a?b?b?a

rr
r
r
r
r
②对实数的结合律成立：
?
?a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
?
?
?R
?
????
r
r
rrr
r
rrrr
③分配律成立：
?
a?b
?
?c?a?c?b?c?c??
a?b
?

r
r
rr
r
r
特别注意：（1）结合律不成立：
a?
?
b?c
?
?
?a?b
?
?c
；
r
r
rr
（2）消去律不成 立
a?b?a?c
r
r
不能得到
b?c?


4

r
r
r
r
r
r（3）
a?b
=0不能得到
a
=
0
或
b
=
0

7两个向量的数量积的坐标运算：
r
r
r
r
已知两个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
a
·
b
=
x1
x
2
?y
1
y
2

ruuurr
uuurr
r
8向量的夹角：已知两个非零向量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?

r
r
（
0?
?
?180
）叫做向量
a
与
b
的 夹角

r
r
r
x
1
x
2
?
y
1
y
2
r
a
?
b
cos
?< br>=
cos
?
a,b
??
r
r
=
2 222
a
?
b
x
1
?
y
1
?x
2
?
y
2
00
r
r
r
r< br>0
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时，θ=0，当且仅当
a
与
b
反方向时θ=180
0
，
r
同时< br>0
与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
r
r
r
rr
r
0
9垂直：如果
a
与
b
的夹角为90则称
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b

10两个非零向量垂直的充要条件
：
?
?
?
?
a
⊥
b
?
a
·
b
＝O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0
平面向量 数量积的性质
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.
uuuruuur
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD
.
uuuruuur
（5）若
AB?CD
，则A、B、C、D四点构成平行四边 形.
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.
rrr
r
r
r
（7）若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线.
rrrr
（8）若
ma?mb
，则
a?b
.
rr
（9）若
ma?na
，则
m?n
.
rrrr
（10）若
a
与
b
不共线，则
a
与
b都不是零向量.
rr
rrrr
（11）若
a?b?|a|?|b|，则
ab
.
rr
rrrr
（12）若
|a?b|?| a?b|
，则
a?b
.
题型2.向量的加减运算
rr
rr
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?
.
5

uuuruuuruuuruuuruuuur
2.化 简
(AB?MB)?(BO?BC)?OM?
.
uuuru uuruuur
3.已知
|OA|?5
,
|OB|?3
,则
|AB|
的最大值和最小值分别为 、 .
uuuruuuruuuruuurruuurr
uuur
4.已知
AC为AB与AD
的和向量，且
AC?a,BD?b
，则
AB?
，
uuur
AD?
.
uuuruuur
uuu
uuur
uuur
3
uuur
r
5.已知点C在线段AB上，且< br>AC?AB
,则
AC?

BC
，
AB?

BC
.
5
题型3.向量的数乘运算
rrrr
rrrr< br>rr
1.计算：（1）
3(a?b)?2(a?b)?
（2）
2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?

r
r
r
1
r
2.已知
a?(1,?4),b?(?3,8)
，则
3a?b?
.
2
题型4.作图法球向量的和
r
3
r
rr
r
1
r
已知向量
a,b
，如下图，请做出向量
3a?b
和
2a?b
.
2
2
r
a

r
b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量
uuuruuur
uuur
AC
表示
AD
. 1.已知在< br>?ABC
中，
D
是
BC
的中点，请用向量
AB，uuuruuur
uuur
r
uuur
r
2.在平行四边形ABCD
中，已知
AC?a,BD?b
，求
AB和AD
.

题型6.向量的坐标运算
uuur
1.已知
AB?(4,5)< br>，
A(2,3)
，则点
B
的坐标是 . uuur
2.已知
PQ?(?3,?5)
，
P(3,7)
，则点
Q
的坐标是 .
rrr
3.若物体受三个力
F
1
?(1,2)
,
F
2
?(?2,3)
,F
3
?(?1,?4)
,则合力的坐标为 .
r
r
r
r
r
r
r
r
4.已知
a?(?3,4)
，
b?(5,2)
，求
a?b
，
a?b
，
3a?2b
.

uuur
r
5.已知
A(1,2),B( 3,2)
,向量
a?(x?2,x?3y?2)
与
AB
相等，求x,y
的值.
uuuruuuruuur
uuur
6.已知
A B?(2,3)
，
BC?(m,n)
，
CD?(?1,4)
，则DA?
.
uuuruuur
r
uu ur
7.已知
O
是坐标原点，
A(2,?1),B(?4,8)
，且
AB?3BC?0
，求
OC
的坐标.
6

题型7.判断两个向量能否作为一组基底
uru ur
1.已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底，判断下列每 组向量是否能构成一组基底：
uruururuururuuruurururuuruururuu ruurur
A.
e
1
?e
2
和e
1
?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e
2< br>?6e
1
C.
e
1
?3e
2
和e2
?3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1

r
r< br>2.已知
a?(3,4)
，能与
a
构成基底的是（ ）
3443344
A.
(,)
B.
(,)
C.
(
?
,
?
)
D.
(
?
1,
?
)

55
55553
题型8.结合三角函数求向量坐标
uuur
uuu r
o
1.已知
O
是坐标原点，点
A
在第二象限，
| OA|?2
，
?xOA?150
，求
OA
的坐标.

uuur
uuur
o
2.已知
O
是原点，点
A
在 第一象限，
|OA|?43
，
?xOA?60
，求
OA
的坐 标.



题型9.求数量积
r
r
r
r
r
rr
r
r
o
1.已知
|a|?3,|b|?4
，且
a
与
b
的夹角为
60
，求（1）
a? b
，（2）
a?(a?b)
，
r
r
r
r
r
1
rr
（3）
(a?b)?b
，（4）
(2a?b)?( a?3b)
.
2


r
r
r
rr
r
rr
r
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
，求（ 1）
|a|,|b|
，（2）
a?b
，（3）
a?(2a?b)，
r
r
r
r
（4）
(2a?b)?(a?3b)
.


题型10.求向量的夹角
r
r
r
r
r
r
1.已知
|a|?8,|b|?3
，
a?b?12
，求
a
与
b
的夹角.
r
r
r
r
2. 已知
a?(3,1),b?(?23,2)
，求
a
与
b
的夹 角.
3.已知
A(1,0)
，
B(0,1)
，
C(2,5 )
，求
cos?BAC
.
题型11.求向量的模
r
r< br>r
r
r
r
r
r
o
1.已知
|a|? 3,|b|?4
，且
a
与
b
的夹角为
60
，求（1 ）
|a?b|
，（2）
|2a?3b|
.
7

r
rr
r
r
rr
1
r
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
，求（ 1）
|a|,|b|
，（5）
|a?b|
，（6）
|a?b|
.
2


rr
rr
r
r
|b|?2< br>，
|3a?2b|?3
，求
|3a?b|
. 3.已知
|a|?1，


r
r
r
a
题型12.求单位向量 【与
a
平行的单位向量：
e
??
r
】
|a|
r
1.与
a?(12,5)
平行的单位向量是 .
1
r
2.与
m?(?1,)
平行的单位向量是 .
2
题型13.向量的平行与垂直
r
r
r
r
r
r
1.已知
a?(6,2)
，
b?(?3,m)
，当
m
为何值时，（1）
ab
？（2）
a?b
？


r
r
r
r
r
r
2.已知
a?(1,2)< br>，
b?(?3,2)
，（1）
k
为何值时，向量
ka?b与
a?3b
垂直？
r
r
r
r
（2）
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b
平行？


r
r
r
r
r
r
rr
r
r
3.已知
a
是非零向量，
a?b?a?c
，且
b?c
，求证 ：
a?(b?c)
.


题型14.三点共线问题
1. 已知
A(0,?2)
，
B(2,2)
，
C(3,4)
，求证 ：
A,B,C
三点共线.



uuur
2.设
AB?
ruuurrruuurrr
2
r
(a?5b),BC??2 a?8b,CD?3(a?b)
，求证：
A、B、D
三点共线.
2


uuurrruuurrruuurrr
3.已知
AB?a?2b,BC? ?5a?6b,CD?7a?2b
，则一定共线的三点是 .
8

4.已知
A(1,?3)
，
B(8,?1)
，若点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上，求
a
的值 .


5.已知四个点的坐标
O(0,0)
，
A(3,4 )
，
B(?1,2)
，
C(1,1)
，是否存在常数
t，使
uuuruuuruuur
OA?tOB?OC
成立？


题型15.判断多边形的形状
uuurruuurr
uuuruuur
1. 若
AB?3e
，
CD??5e
，且
|AD|?|BC|
,则 四边形的形状是 .
2.已知
A(1,0)
，
B(4, 3)
，
C(2,4)
，
D(0,2)
，证明四边形
ABCD
是梯形.


3.已知
A(?2,1)
，
B(6 ,?3)
，
C(0,5)
，求证：
?ABC
是直角三角形.


uuuruuuruuur
4.在平面直角坐标系内，
OA?( ?1,8),OB?(?4,1),OC?(1,3)
,求证：
?ABC
是等腰
直角三角形.


题型16.平面向量的综合应用
r
r
r
r
r
r
1.已知
a?(1,0)
，
b?(2, 1)
，当
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b
平 行？
r
r
r
r
r
2.已知
a?(3,5)
，且
a?b
，
|b|?2
，求
b
的坐标.
rr r
rr
r
3.已知
a与b
同向，
b?(1,2)
， 则
a?b?10
，求
a
的坐标.
r
r
rr
rr
3.已知
a?(1,2)
，
b?(3,1)
，
c?( 5,4)
，则
c?

a?

b
.
r
r
r
r
rr
4.已知
a?(5,10)
，
b?(?3,?4)
，
c?(5,0)
，请将用向量
a,b
表示向量
c
.



r
r
r
r
5.已知
a?(m,3)
，
b?(2,?1)
，（1）若
a
与
b
的夹角为钝角，求
m
的范围；
r
r
（2）若
a
与
b
的夹角为锐角，求
m
的范围.
9

r
r
r
r
6.已知
a?(6,2)
，
b?(?3,m)
，当
m
为何值时，（1）
a
与
b
的夹角为钝角？（2）
r
r
a
与
b
的夹角为锐角？


7.已知梯形
ABCD
的顶点坐标 分别为
A(?1,2)
，
B(3,4)
，
D(2,1)
，且
ABDC
，
AB?2CD
，求点
C
的坐标.


8.已知平行四边形
ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A(2,1 )
，
B(?1,3)
，
C(3,4)
，
求第四个顶点
D
的坐标.


9.一航船以5kmh的速度向垂直于对岸方向行驶，航 船实际航行方向与水流方向
成
30
o
角，求水流速度与船的实际速度. 10.已知
?ABC
三个顶点的坐标分别为
A(3,4)
，
B( 0,0)
，
C(c,0)
，
uuuruuur
（1）若
A B?AC?0
，求
c
的值；（2）若
c?5
，求
sinA< br>的值.


【备用】
rrrr
rr
rr
1.已知
|a|?3,|b|?4,|a?b|?5
，求
|a?b|
和向量< br>a,b
的夹角.
rrr
u
rr
rrrrr
rur< br>2.已知
x?a?b
，
y?2a?b
，且
|a|?|b|?1
，
a?b
，求
x,y
的夹角的余弦.
rr
rrr r
a?(1,3),b?(?2,?1)
(3a?2b)?(2a?5b)?
. 1.已知，则
rrrr
rr
4.已知两向量
a?(3,4),b?(2, ?1)
，求当
a?xb与a?b
垂直时的x的值.
rr
rr
5.已知两向量
a?(1,3),b?(2,
?
)
，
a与b
的夹角
?
为锐角，求
?
的范围.
rr
rr
变式 ：若
a?(
?
,2),b?(?3,5)
，
a与b
的夹角< br>?
为钝角，求
?
的取值范围.
选择、填空题的特殊方法：
1.代入验证法
r
rrr
例：已知向量
a?(1,1),b?(1 ,?1),c?(?1,?2)
，则
c?
（ ）
1
r
3
r
1
r
3
r
3
r
1
r
3
r
1
r
A.
?a?b
B.
?a?b
C.
a?b
D.
?a?b

2222
2222
10

2.排除法
u uur
例：已知M是
?ABC
的重心，则下列向量与
AB
共线的是（ ）
uuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuuur uuuur
A.
AM?MB?BC
B.
3AM?AC
C.
AB?BC?AC
D.
AM?BM?CM


11