人教版高中数学《平面向量》全部教案汇编_高中生题库网|高考真题|高考试题-「密云二中」

高中数学必修五不等式性质-120分高中数学题结构

2020年9月20日发(作者：冉茂魁)

第五章平面向量
第一教时
教材：向量
目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已
知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程：
一、开场白：课本P93（略）
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
A B
二、
提出课题：平面向量

1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量
等
注意：1数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大
小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数
学体系，用以研究空间性质。
2．
向量的表示方法：

a
B
1几何表示法：点—射线
（终点）
有向线段——具有一定方向的线段
A(起点)
有向线段的三要素：起点、方向、长度
记作（注意起讫）
2字母表示法：
AB
可表示为
a
（印刷时用黑体字）
B
北
P95 例用1cm表示5n mail（海里）
3．
模的概念：向量
AB
的大小——长度称为向量的模。

A
记作：|
AB
| 模是可以比较大小的

4．
两个特殊的向量：

1零向量——长度（模）为0的向量，记作
0
。
0
的方向是任意的。
注意
0
与0的区别
2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
例：
AB
与
BA
是否同一向量？

答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、
向量间的关系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：
a
∥
b
∥
c

规定：
0
与任一向量平行
2．
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

a
b
c
记作：
a
=
b

规定：
0
=
0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3．
共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

C O B A

OA
=
a

OB
=
b

OC
=
c

例：（P95）略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（
CB,DO,FE
）

四、
小结：

五、
作业：P96 练习习题5.1

第二教时
教材：向量的加法
目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作
几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向
量计算。
过程：
六、复习：向量的定义以及有关概念
强调：1向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相
等。
2正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任
何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
七、
提出课题：向量是否能进行运算？

5．某人从A到B，再从B按原方向到C，
A B C

则两次的位移和：
AB?BC?AC

6．若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

7．某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

8．船速为
AB
，水速为
BC
，
则两速度和：
AB?BC?AC

提出课题：向量的加法
A B
三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
a
a

a
C
b
b

a+b

a
b
a+b
a+b

A

A C
C
A
B
B
强调：
B
1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的
起点
2可以推广到n个向量连加
3
4
a?0?0?a?a

A B
C
C A B
C
不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
3．例一、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

作法：在平面内取一点，
作
OA?a

AB?b

则
OB?a?b

a
b
O
b
a
a
A
b
4．加法的交换律和平行四边形法则
B
上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同验证结果相同
从而得到：1
2
向量加法的平行四边形法则
向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

D
9．向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
a+b+c
b+c
a+b
c
C
A

证：如图：使
AB?a
,
BC?b
,
CD?c

则(
a
+
b
) +
c
=
AC?CD?AD

a
+ (
b
+
c
) =
AB?BD?AD

∴(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二（P98—99）略
五、小结：1向量加法的几何法则
2交换律和结合律
3注意：|
a
+
b
| > |
a
| + |
b
|不一定成立，因为共线向量不然。
六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3
第三教时
教材：向量的减法
目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
过程：
八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
D C
例：在四边形中，
CB?BA?BA?
CD

解：
CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD

九、
提出课题：向量的减法

A B
1．用“相反向量”定义向量的减法
1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作
a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
a
作法：在平面内取一点O，
a
O
作
OA
= a,
AB
= b
b
B
b
ab

则
BA
= a
即a
量。
注意：1
b
b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向
b。强调：差向量“箭头”指向被减数
AB
表示a
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

B’

B
a
a+ (b)

b

a
O
A

b
b

4．a∥b∥c
B
a b = a + (b) a b
a
ab

ab
O B

A
A
B’
O
B
b

ab
a
ab

A
b
O
b

A
B
B
O
十、例题：
例一、（P101 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd。
解：在平面上取一点O，作
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
OD
= d,
作
BA
,
DC
, 则
BA
= a

b,
DC
= c
A
a
b
d
c
O
C
D C
d
B
D
例二、平行四边形中，，用表示向量，
解：由平行四边形法则得：

AC
= a + b,
DB
=
AB?AD
= ab
A B

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不
同）
十一、小结：向量减法的定义、作图法|

十二、作业： P102 练习
P103 习题5.2 4—8
第四教时
教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课
目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌
握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：
十三、复习：
1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量
2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
十四、
1．
处理《教学与测试》P135—136 第64课（略）
2．处理《教学与测试》P137—138 第65课
例一、设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3km”，
则a + b表示向东北走
32
km
解：
OB
=
OA
+
AB

OB?3
2
?3
2
?32
(km)
B

a+b b

O a A
例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则：
D C

AB
=
AO
+
OB
,
DC
=
DO
+
OC

由已知：
AO
=
OC
,
DO
=
OB

A B
O
∴
AB
=
DC
即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
例三、在正六边形中，若
OA
= a,
OE
= b，试用

向量a、b将
OB
、
OC
、
OD
表示出来。
O P C

解：设正六边形中心为P

则
OB?OP?PB?(OA?OE)?OA?
a + b + a

E F
A B

OC?OP?PC?
a + b + a + b
由对称性：
OD
= b + b + a
3．处理《教学与测试》P139—140 第66课（略）
十五、有时间可处理“备用题”：

例一、化简
AB?DF?CD?BC?FA

解：
AB?DF?CD?BC?FA
=
AB?BC?CD?DF?FA

=
AC?CD?DF?FA
=
AD?DF?FA
=
AF?FA
= 0
例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果
船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进
的方向应该指向何处？
D C
解：如图：船航行的方向是
与河岸垂直方向成30?夹角，
下游
上游
即指向河的上游。
30
?

十六、
作业：上述三课中的练习部分（选）

A B
第五教时
教材：实数与向量的积
目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
????
二、1．引入新课：已知非零向量
a
作出
a
+
a
+
a
和(

?
a
)+(
?
a
)+(
?
a
)
?
a

?
?a

O
N
?
a

?
?a
A
M
?
a

?
?a
B
Q
?
a

?
?a
C
P
????
OC
=
OA?AB?BC
=
a
+
a
+
a =3
a

????
PN
=
PQ?QM?MN
=(
a
)+(
a
)+(
a
)=3
a

????
讨论：13
a
与
a
方向相同且 |3
a
|=3|
a
|
????
23
a
与
a
方向相反且|3
a
|=3|
a
|
2．从而提出课题：实数与向量的积
??
实数λ与向量
a
的积，记作：λ
a

??
定义：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a

??
1|λ
a
|=|λ||
a
|
?????
λ>0时λ
a
与
a
方向相同；λ<0时λ
a
与a
方向相反；λ=0时λ
a
=
0

??
3．运算定律：结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
①
???
第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
②
?
?
?
?
第二分配律：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
③
2

结合律证明：
?
如果λ=0，μ=0，
a
=
0
至少有一个成立，则①式成立
如果 λ0，μ
?
0，
a
???
0
有：|λ(μ
a
)|=|λ||μ
a
|=|λ||μ||
a
|
???
|(λμ)
a
|=|λμ||
a
|=|λ||μ||
a
|
??
∴|λ(μ
a
)|=|(λμ)
a
|
?
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与
a
同向；
?
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与
a
反向。
??
从而λ(μ
a
)=(λμ)
a

第一分配律证明：
?
如果λ=0，μ=0，
a
=
0
至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ0，μ
?
0，
a
0

??
当λ、μ同号时，则λ
a
和μ
a
同向，
?? ?
∴|(λ+μ)
a
|=|λ+μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
|
???????
|λ
a
+μ
a
|= |λ
a
|+|μ
a
|=|λ||
a
|+|μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
|
?
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与
a
同向
???
即：|(λ+μ)
a
|=|λ
a
+μ
a
|
?
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ
a
同向
?
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ
a
同向
???
还可证：|(λ+μ)
a
|=|λ
a
+μ
a
|
∴②式成立
第二分配律证明：
?
?
如果
a
= 0
，
b
=
0
中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
?
当
a
1
?
0
，
b
0且λ0，λ1时
B
1
1时在平面内任取一点O，
B
??
??
作
OA?
a

AB?
b

OA
1
?
λ
a

A
1
B
1
?
λ
b

? ?
?
?
则
OB?
a
+
b

OB
1
?
λ
a
+λ
b

O
A
当λ>0且λ
A
1
由作法知：
AB
∥
A
1
B
1
有
∴
|OA
1
|
|O A|
?
|A
1
B
1
|
|AB|
OAB=O A
1
B
1
|
AB
|=λ|
A
1
B
1
|
?
λ ∴△OAB∽△OA
1
B
1

∴
|OB
1
|
|OB|
?
λ AOB= A
1
OB
1

因此，O，B，B
1
在同一直线上，|
OB
1
|=|λ
OB
|
OB
1
与λ
OB
方向也
相同
?
?
?
?
λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

?
?
?
?
当λ<0时可类似证明：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

A
1
∴ ③式成立
4．例一（见P104）略
B
1
O
B
A
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
??
???
1．若有向量
a
(
a
0
)、
b
，实数λ，使
b
=λ a
则由实数与向量积的定
?
?
义知：
a
与b
为共线向量
?
?
?
若
a
与
b共线(
a
??
??
?
?
0
)且|
b |：|
a
|=μ，则当
a
与
b
同向时
b=μ
a

?
?
?
?
当
a
与
b
反向时
b
=μ
a

?
?
从而得：向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数
λ
?
?
使
b
=λ
a

2．例二（P104-105 略）
三、小结：
四、作业：课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2
第六教时
教材：平面向量基本定理
目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；
或一个向量分解为两个向量。
过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。
2．实数与向量的积 3．向量共线定理
二、由平行四边形想到：
1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
2．对于平面上两个不共线向量
e
1
，
e
2
是不是平面上的所有向量都可以用它们

来表示？
——提出课题：平面向量基本定理
?
三、新授： 1．(P105-106)
e
1
，
e
2
是不共线向量，a
是平面内任一向量

e
1

a

M
C
?
N B
OA
=
e
1

OM
=λ
1
e
1

OC
=a
=
OM
+
ON
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2

OB
=
e
2

ON
=λ
2
e
2

e
2

O
得平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么
??
对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+
λ
2
e
2

注意几个问题：1
组基底
2
3
这个定理也叫共面向量定理

e
1
、
e
2
必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一
?
λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
2.5
e
1
+3
e
2
。
CB
2．例一( P106例三)已知向量
e
1
，
e
2
求作向量

作法：1 取点O，作
OA
=2.5
e
1

OB
=3
e
2
e

2
A
2
O
?
?
AD
=
b
，例二、(P106例4)如图 ABCD的两条对角线交于点M，且
AB
=
a
，
作 OACB，
OC
即为所求
e
1

+
N
?
?
用
a
，
b
表示
MA
，
MB ，
MC
和
MD

解
ABCD中
b
D
C
：在
∵
?
?
A
AC
=
AB
+
AD
a
=
a
+
b

B
=
AB
M
?
AD
=
a
?
b

∴
MA
=
1
AC
=
2
1
?
?1
?
1
?
b
(
a
+
b
)=
a
222
11
?
?
1
?
1
?11
?
1
?
b

MC
=
AC
=
a
+
b

MB==(
a
b
)=
a
2222222
11
?1
?
MD
=
MB
==
a
+
b

222
例三、已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE

证：∵E是对角线AC和BD的交点
∴
AE
=
EC
=

BE
=
ED
=
CE

D
O
E
C
DE

A B
在△OAE中
OA
+
AE
=
OE

同理：
OB
+
BE
=
OE

OC
+
CE
=
OE

OD
+
DE
=
OE

以上各式相加，得：
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE

例四、(P107 例五)如图，
OA
，
OB
不共线，
AP
=t
AB
(t
OP

R)用
OA
,
OB
表示
解：∵
AP
=t
AB

∴
P
OP
=
OA
+
AP
=
OA
+ t
AB

O
A
B
=
OA
+ t(
OB
OA
)

=
OA
+ t
OB
t
OA

=(1
t)
OA
+ t
OB

四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表

示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业：课本 P107 练习 P108 习题5.3 3-7
第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本
定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，
第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实
质）
二、处理《教学与测试》
1．当 λ
?
?
?
?
Z时，验证：λ(
a
+
b)=λ
a
+λ
b

?
?
?
?
证：当λ=0时，左边=0
?
(
a
+
b
)=
0 右边=0
?
a
+0
?
b
=
0
分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n, 则有：
?
?
?
?
?
?
?
?
n(
a
+
b
)=( a
+
b
)+(
a
+
b
)+…+(
a
+
b
)
?
???
???
?
?
=
a
+
a
+…+
a
+
b
+
b
+
b
+…+
b
=n
a
+n
b

即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
??
?
?
?
?
n(
a
+
b
)= n[(
a
+
b
)]=n[(
a
)+(
b
) ]=n(
?
a
)+n(
?
b
)=
?
na
+(
?
n
b
)=
?
n
a
?
n
b

分配律仍成立
?
?
?
?
综上所述，当λ为整数时，λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
恒成立。
?
?
2．如图，在△ABC中，
AB
=
a
,
BC
=
b
AD为边BC的中线，G为△
ABC的重心，求向量
AG

?
?
11
?
解一：∵
AB
=
a
,
BC
=
b
则
BD
=
BC
=
b

22
A
?
1
?
2
∴
AD
=
AB
+
BD=
a
+
b
而
AG
=
AD

23
a
B
b
D C

2
?
1
?
∴
AG
=
a
+
b

33
解二：过G作BC的平行线，交
AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
A
22
?
AB
=
a

AE
=
33
a
E
22
G
?
F EF
=
BC
=
b

3
b
3
D
BC
11
?

EG
=
EF
=
b

23
2
?
1
?
∴
AG
=
AE
+
EG
=
a
+
b 
33
?
??
?
3．在 ABCD中，设对角线
AC
=
a
，
BD
=
b
试用
a ,
b
表示
AB
，
BC

1
?
11
?
解一：
AO
=
OC
=
a

BO
=
BD
=
b

222
1
?
1
?
D
b
∴
AB
=
AO
+
OB
=
AOBO
=
a
2 2
1
?
1
?

BC
=
BO
+OC
=
OC
+
BO
=
a
+
b

22
A
C
O
B
解二：设
AB
=
x
，
BC
=
y

?
1
?
则
AB
+
BC
=
AC

x
+
y
=
a
∴
x
=(
a
2
?
b
)

AD
1
?
?
y
=(
a
+
b
)
2
AB
=
BD

x
?
y
=
b

1
?
即：
AB
=(
a
2
?1
?
?
b
)
BC
=(
a
+
b
)
2
4．设
e
1
,
e
2
是两个不共线向量，已知
A B
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
,
CD
=2
e
1
e
2
, 若三点A, B, D共线，求k的值。
解：
BD
=
CD
CB
=(2
e
1
e
2
)(
e
1
+3
e
2)=
e
1
4
e
2

∵A, B, D共线 ∴
AB
,
BD
共线 ∴存在λ使
AB
=λ
BD

即2
e
1
+k
e
2
=λ(
e
1
?
2?
?
4e
2
) ∴
?

∴k=
k??4
?
?
8

5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB
?
??
?
中点，设
AD
=
a
,
AB
=
b
，试以
a
,
b
为基底表示
DC
,
BC
,
MN

11
?
解：
DC
=
AB
=
b

22
连ND 则DC╩ND
∴
BC
=
ND
=
AD
N
?
1
? M
AN
=
a
b

2
O
又
A
MB
11
?
DM
=
DC
=
b

24
∴
MN
=
DN
DM
=
CB
DM
=
BC
D
C
：
DM

?
1
?
? 1
?
1
?
b
=
b
a
=(
a
+
b
)
244
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳
与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
|OP|
=1 (kg) P
1
OP=60
=1
?
=1
?
P
2
OP=30
∴
|OP
1
|
=
|OP |
cos60
1
=0.5 (kg)
2
30

60

P
1
|OP
2
|
=
|O P|
cos30
3
=0.87 (kg)
2
P
2
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
三、作业：《教学与测试》67、68课练习

P
第八教时
教材：向量的坐标表示与坐标运算
目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐标运算。
过程：一、复习：1．复习向量相等的概念

O
y
A
C

?

a
自由向量
B
x

OA
=
BC

?
2．平面向量的基本定理（基底）
a
=λ
1
e
1
+ λ
2
e
2

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不
共线向量的线性组合。
二、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
?
取x轴、y轴上两个单位向量
i
,
j
作基底，则平面内作一向量
a
=x
i
+y
j
，
??
记作：
a
=(x, y) 称作向量
a
的坐标
?
如：=
OA
=(2, 2)
i
=(1,
a
A
0)
c
O
y
?
a

b

B

b
=
OB
=(2,
x
?
1)
j
=(0, 1)
C

c
=
OC
=(1, 5)
j
=(0, 0)

2．注意：1
2
3
每一平面向量的坐标表示是唯一的；
设A(x
1
, y
1
) B(x
2
, y
2
) 则
AB
=(x
2
x
1
, y
2
y
1
)
两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．例一：(P109)略
三、平面向量的坐标运算
?
??
?
?
?
1．问题：1已知
a
(x
1
, y
1
)
b
(x
2
, y
2
) 求
a
+
b
，
a
b
的坐标
??
2已知
a
(x, y)和实数λ, 求λ
a
的坐标
?
?
2．解：
a
+
b
=(x
1
i
+y
1
j
)+( x
2
i
+y
2
j
)=(x
1
+ x
2
)
i
+ (y
1
+y
2
)
j

?
?
即：
a
+
b
=(x
1
+ x
2
, y
1
+y
2
)
?
同理：
a
?
b
=(x
1
x
2
, y
1
y
2
)
3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的
坐标。

用减法法则：
∵
AB
=
OB
= (x
2
OA
=( x
2,
y
2
)
A(x
1
,y
1
)
y
B(x
2
,y
2
)
(x
1
, y
1
)
O
x
?
4．实数与向量积的坐标运算：已知
a
=(x, y) 实数λ
?
则λ
a
=λ(x
i
+y
j
)=λx
i
+λy j

?
∴λ
a
=(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
四、例二（P110例二）
例三（P111例三）
例四（P145例一）已知三个力
F
1
(3, 4),
F
2
(2, 5),
F
3
(x, y)的合力
x
1
, y
2
y
1
)
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0

求
F
3
的坐标。
解：由题设
F
1
+F
2
+
F
3
=
0
得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
5,1)
1, 3), C(3, 4)，求点D
?
3?2?x?0
?
x??5
即：
?
∴
?
∴
F
3
(
4?5?y?0y?1
??
例五、已知平面上三点的坐标分别为A(

解：当平行四边形为ABCD时，
仿例三得：D
1
=(2, 2)
当平行四边形为ACDB时，
仿例三得：D
2
=(4, 6)
当平行四边形为DACB时，
仿上得：D
3
=(6, 0)
D
3
2, 1), B(
的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
y
C
B
D
1
A
O
x
D
2
五、小结：1．向量的坐标概念 2．向量运算
六、作业：P112 练习 1—3 习题5.4 1—6
第九教时
教材：向量平行的坐标表示

目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且
能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
过程：一、复习：1．向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145
例三)
2．平面向量的坐标运算法则
1
练习：1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且
MP?
MN
, 求P点的坐标；
2
11
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )
22
4x??1
??
3
?
x?3??
?
?
y?2?
1
∴
?
y??
3
∴
P点坐标为(-1, -)
2
?
?
2
2
?
?
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则
AB
2
BC
=(-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是
梯形。
解：∵
AB
=(-2, 3)
DC
=(-4, 6) ∴
AB
=2
DC

∴
AB
∥
DC
且 |
AB
||
DC
| ∴四边形ABCD是梯形
??
二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得
b
=λa
，那
么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
??
?
2．推导：设
a
=(x
1
, y
1
)
b
=(x
2
, y
2
) 其中
b
?
a

?
?
x?
?
x2
?
由
a
=λ
b
(x
1
, y
1
) =λ(x
2
, y
2
)
?
?
1

消去λ：
? y
1
?
?
y
2
x
1
y
2 -x
2
y
1
=0
?
??
结论：
a
∥
b
(
b
注意：1
0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
0

?
消去λ时不能两式相除，∵y
1
, y
2
有可能为0， ∵
b
∴x
2
, y
2
中至少有一个不为0
2充要条件不能写成
y
1
y
2
?
∵x
1
, x
2
有可能为0
x
1
x
2 0
)
?
3
?
??
从而向量共线的充要条件有两种形式：
a
∥
b
(
b
a?
?
b
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
三、应用举例

例一（P111例四）例二（P111例五）
?
?
例三若向量
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2)共线且方向相同，求x
?
?
解：∵
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x
?
(-
x
)=0
?
?
∴x=±
2
∵
a
与
b
方向相同 ∴x=
2

例四已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量
AB
与
CD
平行吗？直线AB
与平行于直线CD吗？
解：∵
AB
=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)
CD
=(2-1,7-5)=(1,2)
又：∵2×2-4-1=0 ∴
AB
∥
CD

又：
AC
=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)
AB
=(2, 4)
2×4-2×60 ∴
AC
与
AB
不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、练习：1．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB∥CD
2．证明下列各组点共线：1 A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5)
2 P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)
?
??
?
3．已知向量
a
=(-1,3)
b
=(x,-1)且
a
∥
b
求x
五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）
六、作业：P112 练习 4 习题5.4 7、8、9
《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题
第十教时
教材：线段的定比分点
目的：要求学生理解点P分有向线段
P 1
P
2
所成的比λ的含义和有向线段的定比
分点公式，并能应用解题。
过程：一、复习：1．向量的加减，实数与向量积的运算法则
2．向量的坐标运算
二、提出问题：线段的定比分点
1．线段的定比分点及λ
P
1
, P
2
是直线l上的两点，P是l上不同于P
1
, P
2
的任一点，存在实
数λ，

使
P
1
P
=λ
PP
2
λ叫做点P分
P
1
P
2
所成的比，有三种情况：

P
1
P
P
2

P
1

P
2

P P
P
1

P
2

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ
<0 (-1<λ<0)
2．定比分点公式的获得：
设
P
1
P
=λ
PP
2
点
P
2

P
1
, P, P
2
坐标为
P
(x
1
,y
1
) (x,y) (x
2
,y
2
)

1
由向量的坐标运算

PP
2
=( x
2
-x
1
, y
2
-y
1
)
P
1
P
=(x-x
1
,y-y
1
)
O
∵
P
1
P
=λ
(x-x
1
,y-y
1) =λ( x
2
-x
1
, y
2
-y
1
)
P
PP
2

?
?
x?
?
x?x
1
?
?
(x 2
?x)
∴
?

??
y?y?
?
(y?y)
12
?
?
y?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?
定比分点坐标公式
y
1
?
?
y
2
1?
?
x?x
2
x?
1
2

3．中点公式：若P是
P
1
P
2
中点时，λ=
1
y?y
2
y?
1
2
4．注意几个问题：1 λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ-1
若P与P
1
重合，λ=0
P与P
2
重合 λ不存在
2
3
4
中点公式是定比分点公式的特例
1
始点终点很重要，如P分
P
的定比λ= 则P分
P
2
PP
121
的定比λ=2
2
公式：如 x
1
, x
2
, x, λ 知三求一
三、例题：例一 (P114例一) 知三求一
例二 (P114例二) △重心公式
例三若P分有向线段
AB
的比为，则A分
BP
所成比为
?
（作示意图）
例四过点P
1
(2, 3), P
2
(6, -1)的直线上有一点，使| P
1
P|:| PP
2
|=3, 求P点
坐标
解：当P
P
1

=3 内分
P
1
P
2
时 λ
?

?

3
4
7
3
P
P
2

?

?

P’
O

当P外分
P
1
P
2
时λ=-3
当λ=3得P(5,0)
当λ=-3得P(8,-3)

例五 △ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7)
D,
求D点坐标
解：∵AD平分角
22
BAC平分线交BC边于
B
BAC
D
C
|AC|=
2?6?210

|AB|=
(?3)
2
?9
2
?310

∴D分向量
CB
所成比λ
2
=
3
A
 3?
2
2
(?2)
7?10?
3
3
?
41

?1

y?
2
2
5
1 ?
1?
3
3
设D点坐标(x, y) 则
x?
∴D点坐标为：(1,
41
)
5
四、小结：定比分点公式，中点公式
五、作业：P115-116 练习习题5.5
第十一教时
教材：平面向量的数量积及运算律
目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质
和它的一些简单应用。
过程：
十七、复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。
它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。
但这种运算与实数的运算有了很大的区别。
F
十八、
导入新课：

5．力做的功：W = |F|?|s|cos
s
是F与s的夹角
6．定义：平面向量数量积（内积）的定义，a?b = |a||b|cos，
并规定0与任何向量的数量积为0。?
C
7．向量夹角的概念：范围0
≤≤
180
A
B
A

A
= 0
A

O
B
A
B
= 180
O
O

A

B
O
B

B
O
O

C
8．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
1?两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所
决定。
2?两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积
a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
3在实数中，若a0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a
0，且a?b=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。这就得
性质 2。
4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc
?
a=c。但是a?b = b?c ? a =
c
a
如右图：a?b = |a||b|cos = |b||OA|
c
b?c = |b||c|cos = |b||OA|

O b
?ab=bc 但a c
A
5在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，
而一般a与c不共线。
9．例题、P116—117 例一（略）
十九、投影的概念及两个向量的数量积的性质：
1．“投影”的概念：作图

B
B
B

O
O
O

b
b
b

O
(B)
a
A
A
A a
O
1
a
BO
1
B
1

O
O
O
O O
O
叫做向量b在a方向上的投影。定义：|b|cos
注意：1投影也是一个数量，不是向量。
2当为锐角时投影为正值；
当为钝角时投影为负值；
当为直角时投影为0；
当 = 0时投影为 |b|；
当 = 180时投影为 |b|。
2．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
3．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
1e?a = a?e =|a|cos
2ab a?b = 0
3当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = |a||b|。
特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4cos =
a?b

|a||b|
5|a?b|
≤ |
a||b|
二十、例题：《教学与测试》P151 第72课例一（略）
二十一、小结：向量数量积的概念、几何意义、性质、投影
二十二、作业： P119 练习
习题5.6 1—6

第十二教时
教材：平面向量的数量积的运算律
目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
过程：
二十三、复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质
2．判断下列各题正确与否：
1若a = 0，则对任一向量b，有a?b = 0。 ( √ )
2若a 0，则对任一非零向量b，有a?b 0。 ( × )
3若a 0，a?b = 0，则b = 0。 ( × )
4若a?b = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( × )
5若a 0，a?b = a?c，则b = c。 ( × )
6若a?b = a?c，则b = c当且仅当a 0时成立。 ( × )
7对任意向量a、b、c，有(a?b)?c a?(b?c)。 ( × )
8对任意向量a，有a
2
= |a|
2
。 ( √ )
二十四、
平面向量的运算律

10．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为，则a ? b = |a||b|cos，b ? a = |b||a|cos
∴a ? b = b ? a
11． (
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos，

?
(a?b) =
?
|a||b|cos，
a?(
?
b) =
?
|a||b|cos，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos() = cos)
?
|a||b|(
=
?
|a||b|cos，

?
(a?b) =
?
|a||b|cos，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos() = cos)
?
|a||b|(
=
?
|a||b|cos。
12． (a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作
OA
= a,
AB
= b，
OC
= c，
A
∵a + b （即
OB
）在c方向上的投影
等于a、b在c方向上的投影和，
即：|a + b| cos = |a| cos
1
+ |b| cos
2

O
b
a

B
A
c
B
C

∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos
1
+ |c| |b| cos
2

∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c
13．例题：P118—119 例二、例三、例四（从略）
二十五、应用例题：（《教学与测试》第27课P156 例二、例三）
例一、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，
a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 ? 7a
2
+ 16a?b 15b
2
= 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 ? 7a
2
30a?b + 8b
2
= 0 ②
两式相减：2a?b = b
2

代入①或②得：a
2
= b
2

设a、b的夹角为，则cos

例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
解：如图： AB CD中：
AB?DC
，
AD?BC
，
AC
=
AB? AD

∴|
AC
|=
|AB?AD|?AB?AD?2AB?AD

而
BD
=
AB?AD

∴|
BD
|=
|AB?AD|?AB?AD?2AB?AD

∴|
AC
2
2
22
a?bb
2
1
= ∴ = 60
??
|a||b|
2|b|
2
2
2
2
22
D C
A B
|
2
+ |
BD
|
2
= 2
AB?2AD
22
=
|AB|
2
?|BC|
2
?|DC|
2
?|AD|
2

二十六、小结：运算律
二十七、作业： P119 习题5.6 7、8
《教学与测试》P152 练习

第十三教时
教材：平面向量的数量积的坐标表示
目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充
要条件。
过程：
二十八、复习：
1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示
2．平面向量数量积的运算
3．两平面向量垂直的充要条件
4．两向量共线的坐标表示：
二十九、
课题：平面两向量数量积的坐标表示

14．设a = (x
1
, y
1
)，b = (x
2
, y
2
)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，

则：i
?
i = 1，j?j = 1，i?j = j?i = 0
15．推导坐标公式：
∵a = x
1
i + y
1
j, b = x
2
i + y
2
j
∴a?b = (x
1
i + y
1
j )(x
2
i + y
2
j) = x
1
x
2
i
2
+ x
1
y
1
i?j + x
2
y
1
i?j + y
1
y
2
j
2
= x
1
x
2
+ y
1
y
2

从而获得公式：a?b = x
1
x
2
+ y
1
y
2

例一、设a = (5, ?7)，b = (?6, ?4)，求a?b
解：a?b = 5×(?6) + (?7)×(?4) = ?30 + 28 = ?2
16．长度、角度、垂直的坐标表示
1?a = (x, y) ? |a|
2
= x
2
+ y
2
? |a| =
x
2
?y
2

2?若A = (x
1
, y
1
)，B = (x
2
, y
2)，则
AB
=
(x
1
?x
2
)
2?(y
1
?y
2
)
2

3? cos? =
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22

4?∵a?b ? a?b = 0 即x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0（注意与向量共线的坐标表示原
则）
17．例二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(?2, 5)，求证：△ABC是直角三角形。
证：∵
AB
=(2?1, 3?2) = (1, 1),
AC
= (?2?1, 5?2) = (?3, 3)
∴
AB
?
AC
=1×(?3) + 1×3 = 0 ∴
AB
?
AC

∴△ABC是直角三角形
三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课
例三、已知a = (3, ?1)，b = (1, 2)，求满足x?a = 9与x?b = ?4的向量x。
解：设x = (t, s)，
由x?a = 9 ? 3t ? s = 9 t = 2
?

由x?a = 9 ? 3t ? s = 9 s = ?3
∴x = (2, ?3)
例四、如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，
求点B和向量
AB
的坐标。
解：设B点坐标(x, y)，则
OB
= (x, y)，
AB
= (x?5, y?2)
O
∵
OB
?
AB
∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x
2
+ y
2
?5x ? 2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x
2
+ y
2
= (x?5)
2
+ (y?2)
2
即：10x + 4y = 29
?
73
?
x?x?
?
x?y?5x? 2y?0
?
?
2
2
?
1
2
?
? 或
?
由
?

37
?
10 x?4y?29
?
y
1
??
?
y
2
??
2
?
2
?
22
B
A

73373773
∴B点坐标
(,?)
或
(,)
；
AB
=
(?,?)
或
(?,)

2222
2222
例五、在△ABC中，
AB
=(2, 3)，
AC
=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值。
解：当A = 90?时，
AB
?
AC
= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
?
3

2
当B = 90?时，
AB
?
BC
= 0，
BC
=
AC
?
AB
= (1?2, k?3) = (?1, k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11

3
3?13

2
当C = 90?时，
AC
?
BC
= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =
四、小结：两向量数量积的坐标表示
长度、夹角、垂直的坐标表示
五、作业： P121 练习及习题5.7
《教学与测试》P154 5、6、7、8，思考题

第十四教时
教材：平移
目的：要求学生理解“平移”的概念和平移的几何意义，并掌握平移公式，能运 用公式解决有关具体问题。
过程：
三十、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，
从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）
三十一、
平移公式的推导：

18．设P(x, y)是图形F上的任意一点，它在平移后的
a
F’
图象F’上的对应点为P’(x’, y’)——
P’
P
a
可以看出一个平移实质上是一个向量。
F
19．设
PP'
= (h, k)，即：
OP'?OP?PP'

O
a
?
x'?x?h
∴(x’, y’) = (x, y) + (h, k) ∴
?
—— 平移公式
y'?y?k
?
20．注意：1?它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系
2?知二求一
3这个公式是坐标系不动，点P(x, y)按向量a = (h, k)平移到点
P’(x’, y’)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量a，
?
x'?x?h
即：
?
。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一
y'?y ?k
?

样的，
这两个公式作用是一致的。
三十二、应用：
例一、（P121 例一）
1．把点A(2, 1)按a = (3, 2)平移，求对应点A’的坐标(x’, y’)。
2．点M(8, 10)按a平移后对应点M’的坐标为(7, 4)，求a。
?
x'??2?3?1
解：1．由平移公式：
?
即对应点A’的坐标为(1, 3)
y'?1?2?3
?
?
?7?8?h
?
h??15
2．由平移公式：
?
即a的坐标为(
?
?
?
4??10?k
?
k?14
15, 14)
例二、将函数y = 2x的图象l按a = (0, 3)平移到l’，求l’的函数解析式。
解：设P(x, y)为l上任一点，它在l’上的对应点为P’(x’, y’)
?
x'?x?0
?
x?x'
由平移公式：
?

?
?
?
y'?y?3
?
y?y'?3
a
P
代入y = 2x得：y’ 3 = 2x’ 即：y’ = 2x’ + 3
按习惯，将x’、y’写成x、y得l’的解析式：y = 2x + 3
O
（实际上是图象向上平移了3个单位）
P
例三、已知抛物线y = x
2
+ 4x + 7，
1．求抛物线顶点坐标。
2．求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式。
解：1．设抛物线y = x
2
+ 4x + 7的顶点O’坐标为(h, k)
则h = 2, k = 3 ∴顶点O’坐标为(2, 3)
3．按题设，这种平移是使点O’ (2, 3)移到O(0, 0)，
?
m?0?(?2)?2
O'O
设= (m, n) 则
?

n?0?3??3
?
设P(x, y)是抛物线y = x
2
+ 4x + 7上任一点，对应点P’为(x’, y’)
?
x'?x?2
?
x?x'?2
则
?
代入y = x
2
+ 4x + 7得：y’ = x’
2

?
?
?
y'?y?3
?
y?y'?3
即：y = x
2
三十三、小结：平移公式、应用
三十四、作业： P123 练习
P124 习题5.8

第十五教时
教材：平面向量的数量积平移的综合练习课
目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理
有关长度、角度、垂直的问题。
过程：

三十五、复习：
1．平面向量数量积的定义、运算、运算律
2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法
3．平移的有关概念、公式
三十六、
例题

例一、a、b均为非零向量，则 |a+b| = |a?b| 是的………………（C）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：若|a+b| = |a?b| ? |a+b|
2
= |a?b|
2
? |a|
2
+ 2a?b + |b|
2
= |a|
2
? 2a?b + |b|
2

? a?b = 0 ? a?b
?
例二、向量a与b夹角为，|a| = 2，|b| = 1，求|a+b|?|a?b|的值。
3
?
解：|a+b|
2
= |a|
2
+ 2a?b + |b|
2
= 4 + 2×2×1×cos + 1 = 7
3
∴|a+b| =
7
, 同理：|a?b|
2
= 3, |a?b| =
3
∴|a+b|?|a?b| =
21

例三、 ABCD中，
AB
= a，
BC
= b，
CD
= c，
DA
= d，

且a?b = b?c = c?d = d?a，问ABCD是怎样的四边形？
解：由题设：|a|?|b|cosB = |b|?|c|cosC = |c|?|d|cosD = |d|?|a|cosA
∵|a| = |c| , |b| = |d| ∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0
∴ ABCD是矩形
例四、如图△ABC中，
AB
= c，
BC
= a，
CA
= b，
b
C
a
则下列推导不正确的是……………（D）
A．若a ?b < 0，则△ABC为钝角三角形。
cB
A
B．若a ?b = 0，则△ABC为直角三角形。
C．若a ?b = b?c，则△ABC为等腰三角形。
D．若c?(a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。
解：A．a?b = |a||b|cos? < 0，则cos? < 0，?为钝角
B．显然成立
C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等
D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形
例五、已知：|a| =
2
，|b| = 3，a与b夹角为45?，求使a+
?
b 与
?
a+b夹
角为锐角的
?
的取值范围。
解：由题设：a?b = |a||b|cos? = 3×
2
×
2
= 3
2
(a+
?
b)?(
?
a+b) =
?
|a|
2
+
?
|b|
2
+ (
?
2
+ 1)a?b = 3
?
2
+ 11
?
+ 3
∵夹角为锐角 ∴必得3
?
2
+ 11
?
+ 3 > 0
∴
??
?11?85?11?85
或
??

66

例六、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，
且
AB
= 4i + 2j，
AC
=3i + 4j，
证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。
解：
AB
= (4, 2),
AC
= (3, 4), 则
BC
= (3?4, 4?2) = (?1, 2),
BA
= (?4, ?2),
∴
BA
?
BC
= (?1)×(?4) + (?2)×2 = 0 ∴
BA
?
BC

即△ABC是直角三角形
|
AB
| =
4
2
?2
2
?25
, |
BC
| =
(?1)
2
?(?2)
2
?5
, 且?B =
90?,
1
?25?5?5

2
例七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
∴S
△
ABC
=
证：设
AB
=
DC
= a ,
AD
=
BC
= b
∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b|
A
a
D
C
b
B
∴
AC
?
BD
= (b + a)(b ? a) = b
2
? a
2
= |b|
2
? |a|
2
= 0
∴
AC
?
BD

例八、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ? 5b垂直，
a ? 4b与7a ? 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a
2
+ 16a?b ?15b
2
= 0 ①
(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a
2
? 30a?b + 8b
2
= 0 ②
两式相减：2a?b = b
2

代入①或②得：a
2
= b
2

a?bb
2
1
设a、b的夹角为?，则cos? = ∴? = 60?
??
2
|a||b|
2|b|
2
三十七、
作业： P150 复习参考五 A组 19—26

B组 1—6

第十六教时
教材：续第十五教时《教学与测试》第74、75课
目的：同第十五教时
过程：
三十八、处理《教学与测试》第74、75课（略）
三十九、
补充例题（视教学情况选用）：

21． a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时，
1求t的值 2求证：b与a + tb垂直
解：1 |a + tb|
2
= |a|
2
+ t
2
|b|
2
+ 2t|a||b|

∴当t =
?
2a?ba?b
??
时, |a + tb|最小
2
|b|
2|b|
2 ∵b
?
(a + tb) = a
?
b

|b|
2
a?b
= 0 ∴b与a + tb垂直
|b|
A
E
F
H
C
22．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，
求证：AD、BE、CF相交于一点。
证：设BE、CF交于一点H，
AB
= a,
AC
= b,
AH
= h,
则
BH
= h
∵
BH
∴
a ,
CH
= h
AB

B
b ,
BC
= b a
D
AC
,
CH
(h? a)?b?0
?
?
?(h?a)?b?(h?b)?a?h?(b?a)?0

(h?a)?a?0
?
BC
∴
AH
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点
23．已知O为△ABC所在平面内一点，且满足
|
OA
| + |
BC
| = |
OB
| + |
CA
| = |
OC
| + |
AB
|，
求证：
AB
OC

B
O
C
222222
A
证：设
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
则
BC
= c b,
CA
= a c,
AB
= b a
由题设：
OA
2
+
BC
2
=
OB
2
+
CA
2
=
OC
2
+
AB
2
，
化简：a
2
+ (c b)
2
= b
2
+ (a
得： c
?
b = a
?
c = b
?
a
从而
AB
?
OC
= (b
∴
AB
a)
?
c = b
?
c
c)
2
= c
2
+ (b
a
?
c = 0
OB

a)
2

OC
同理：
BC
OA
,
CA
四十、作业：《教学与测试》P156 4—9
P158 4—7

第十七教时
教材：正弦定理
目的：要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题。

过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角
函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定
理
二、1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：
sinA= sinB= sinC=1 即：
c=
abcabc
c= c= ∴==
sin AsinBsinCsinAsinBsinC
a
c
b
c
A
b
C
c
B
a
2．能否推广到斜三角形？
证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
S
△
ABC
=
absinC?acsinB?bcsinA

1
abc
两边同除以
abc
即得：==
2
1
2
1
2
1
2
sinAsinBsinC
B
3．用向量证明：
B

j

A C
j

A
C
证二：过A作单位向量
j
垂直于
AC

AC
+
CB
=
AB
两边同乘以单位向量
j

j
?
(
AC
+ CB
)=
j
?
AB

则：
j
?AC
+
j
?
CB
=
j
?
AB

∴|
j
|
?
|
AC
|cos90+|
j |
?
|
CB
|cos(90
ac
=
sinAsinC
cbabc
= ∴==
sinCsinBsinAs inBsinC
C)=|
j
|
?
|
AB
|cos( 90A)
∴
asinC?csinA
∴
同理：若过C作
j
垂直于
CB
得：
当△ABC为钝角三角形时，设
AC

A>90 过A作单位向量
j
垂直于向量
4．突出几点：1
弦
比相等，即： 正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正
abc
==它适合于任何三角形。
sinAsinBsinC

2
3
可以证明
abc
===2R （R为△ABC外接圆半径）
sinAsinBsinC
每个等式可视为一个方程：知三求一
三、正弦定理的应用
从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例一、在△ABC中，已知
c?10
A=45
字）
解略见P128 注意强调“对”
例二、在△ABC中，已知
a?20
b=28 A=40
（保留
两个有效数字）
解略见P129 注意由
ab
=求出sinB=0.8999 B角有两解
sinAsinB
C=30 求b（保留两个有效数
求B (精确到1)和c
例三、在△ABC中，已知
a?60
b=50 A=38
（保留
两个有效数字）
求B (精确到1)和c
解略见P129 注意由b四、小结：正弦定理，两种应用
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）

b
C
a
A
b
B
2
a
C
a
B
1
A
b
C
a
C
b
a
B
bsinA?a?b

A

A
B
c

a?bsinA

B

a?b

a?b

一解两解
一解
五、作业：P131练习1、2 P132 1、2、3
第十八教时
教材：余弦定理
目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。
过程：一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。
提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？
2．在Rt△ABC中(若C=90)有：
c
2
?a
2
?b
2
在
C
b
a

斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？
二、提出课题：余弦定理
1．余弦定理的向量证明：
设△ABC三边长分别为a, b, c

AC
=
AB
+
BC

AC
?
AC
=(
AB
+
BC
)
?
(
AB
+ BC
)=
AB
2
+2
AB
?
BC
+
BC
2

=|

AB
|
2
+2|
AB
|
? |
BC
|cos(180-
B)+|
BC
|
2
=
c
2
?2accosB?a
2

即：
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

同理可得：a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
 2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：1
2
3
4
当夹角为90
熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

a
2
?c
2
?b
2
cosB?

2ac
知三求一
b
2
?c
2
?a
2变形：
cosA?
2bc
a
2
?b
2
?c2
cosC?

2ac
三、余弦定理的应用
能解决的问题：1．已知三边求角
2．已知三边和它们的夹角求第三边
例一、(P130例4) 在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6 求A,B,C（精确到期
1
解略
例二、(P131例5) 在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=82
角
形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’）
解略
?
??
?
例三、设
a
=(x
1
, y
1
)
b
=(x
2
, y
2
)
a
与
b
的夹角为（0
≤≤
），求证：
）
28’解这个三

?
?
x
1
x
2
+ y
1
y
2
=|
a
||
b
|cos
?
?
证：如图：设
a
,
b
起点在原点，终点为A，B
?
则A=(x
1
, y
1
) B=(x
2
, y
2
)
AB
=
b
?
a

B
A
在△ABC中，由余弦定理
?
?
2
?
2
?
2
?
?
|
b
a
|=|
a
|+|
b
|2|
a
||
b
| cos
?
∵|
b

?
b

O
?
a

?
a
|
2
=|
AB
|
2
=|(x
2
-x
1
, y
2
-y 1
)|
2
=(x
2
-x
1
)
2+( y
2
-y
1
)
2
?
2
?222
|
a
|=x
1
+y
1
|
b
|= x
2
2
+y
2
2

∴(x
2
-x
1
)+( y
2
-y
1
)
22
= x
1
2
+y
1
2
+ x
2
2
+y
2
2
?
?
2|
a
||
b
| cos

?
?
∴x
1
x
2
+ y
1
y
2
=|
a
||
b
|cos
?
?
?
?
b
即有
a
?
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
=|
a ||
b
|cos
四、小结：余弦定理及其应用
五、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分
第十九教时
教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课
目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。
过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形
二、例一证明在△ABC中
圆半径
证略见P159
注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)
2.正弦定理的三种表示方法(P159)
例二在任一△ABC中求证：
abc ===2R，其中R是三角形外接
sinAsinBsinC
a(sinB?sinC) ?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0

证：左边
=
2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?si nB)

=
2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sin BsinA?sinCsinA?sinCsinB]
=0=右边