上海高中数学向量

一、概念梳理
（一）向量的基本概念
1、什么叫向量？
2、什么是向量方向与模？
3、什么是相反向量？什么是平行向量？

（二）向量的加法
1、 向量的加法定义
向量加法的定义：如图3，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，
作
AB
=a，
BC
=b，则向量
AC
叫做a与b的和，记作a +b，
即a+b=
AB
+
BC
=
AC
。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。


2、 向量加法的法则：
（1）向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时要特别注意“首尾相
接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量 的起点指向第二个向量的终点的向量即
为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 。
（2）向量加法的平行四边形法则（平行四边形法则）
如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，
则以O为起点的对角线
OC
就是a与b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
3、 向量a，b的加法也满足交换律和结合律：
①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。
②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个< br>向量，对应于数轴上的一条有向线段。
③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；

当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；
当a ，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于
向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，
|a+b|=| b|-|a|。
一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。
④如图5，作
AB
=a，
AD
=b，以为邻边作ABCD，则
BC
=b，
DC
=a。
因为
AC
=
AB
+
AD
=a+b ，
AC
=
AD
+
DC
=b+a，所以a+b=b+a 。
如图6，因为
AD
=
AC
+
CD
=(
AB
+
BC
)+
CD
=(a+b)+c，
AD
=AB
+
BD
=
AB
+(
BC
+
CD< br>)=a+(b+c)，
所以(a+b)+c=a+(b+c)。
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。
特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论 ，特别是通过知识迁移类比获得新知
识的过程与方法。

（三）用向量法解决物理问 题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最
后回归物理问题，从而解决物理问题。

（四）向量的减法
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和- a互为相反向量。于是-(-a)=a。
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。
所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。
1、平行四边形法则


图1
如图1，设向量
AB=b，
AC
=a，则
AD
=-b，由向量减法的定义，知
AE< br>=a+(-b)=a-b。
又b+
BC
=a，所以
BC
=a- b。
由此，我们得到a-b的作图方法。

图2
2、三角形法则
如图2，已知a、b，在平面内任取一点O， 作
OA
=a，
OB
=b，则
BA
=a-b，即a- b可
以表示为从b的终点
指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。
（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。
与数x的相反数是- x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的
相反向量，记作-a 。
（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)，
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
规定：零向量的相反向量是零向量。 (3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何
意义所在，是 数形结合思想的重要体现。

（五）实数与向量相乘
我们规定实数λ与向量a的积 是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，
它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|=|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相
反。
由(1)可知，λ=0时，λa=0。
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。
实数与向量的积的运算律：
设λ、μ为实数，那么
(1)λ(μa)=(λμ)a；
(2)(λ+μ)a=λa+μ；
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。
向量共 线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。
共线向量可能有 以下几种情况：
(1)有一个为零向量； (2)两个都为零向量； (3)同向且模相等；
(4)同向且模不等； (5)反向且模相等； (6)反向且模不等。
数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大 小由
|λ|·|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的
平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量
的平行既包含 没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。
(六) 向量的线性运算
1、向 量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a、b，以及任意
实数λ、
?1
、
?
2
，恒有λ(
?
1
a±
?2
b)=λ
?
1
a±λ
?
2
b。
2 、一般来说，如果a、b是两个不平行的向量，c是平面内的一个向量，那么c可以
用a、b表示，并且 通常将其表达式整理成c=xa＋yb的形式，其中x、y是实数。
3、平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解。（即，可以作

出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。
二、应用拓展
例1、 化简：
(1)
BC
+
AB
(2)
DB
+
CD
+
BC
(3)< br>AB
+
DF
+
CD
+
BC
+
FA< br>


例2 、若
AC
=
a
+
b< br>，
DB
=
a
-
b

①当
a
、
b
满足什么条件时，
a
+
b
与
a
-b
垂直？
②当
a
、
b
满足什么条件时，|
a
+
b
|=|
a
-
b
|？
③当
a
、
b
满足什么条件时，
a
+
b
平分
a与
b
所夹的角？
④
a
+
b
与
a-
b
可能是相等向量吗？


例3、已知：平行四边形ABCD，点M，N分别是边DC,BC的中点，
射线AM与BC相交于点E。设：
AB
=
a
，
AD
=
b
，
分别求向量
AM
，
AN
，
AE< br>关于
a
，
b
的分解式。

例4、在三角 形ABC中，已知
AB
=
a
，
BC
=
b
， G是重心，
请写出
AG
关于
a
，
b
的分解式。
G
A
D
M
C
N
A
B
E
E


求证：
EF?
1
(AB?BC)

2

三、巩固练习
1、已知正方形ABCD的边长为1，
AB
=a，
A C
=c，
BC
=b，则|a+b+c|为( )。
A.0 B.3 C.
2
D.2
2

2、设a=(
AB
+
CD
)+(
BC
+
DA
)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。
B
DC
例5、已知：在任意四边形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
AD
、
DC
的中点．

①a∥b； ②a+b=a； ③a+b=b； ④|a+b|＜|a|+|b|； ⑤|a+b|=|a|+|b|。
A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3、下列等式中，正确的个数是( )。
①a+b=b+a ②a-b=b ③0-a=-a ④-(-a)=a ⑤a+(-a)=0
A.5 B.4 C.3 D.2

4、如图，D、E、F分别是△ABC的边
AB
、
BC
、
CA< br>的中点，
则
AF
-
DB
等于( )。
A.
FD
B.
FC
C.
FE
D.
BE

5、下列式子中不能化简为
AD
的是( )。
A.(
AB
+
CD
)+
BC
B.(
AD
+
MB
)+(
BC
+
CM
)
C.
MB?AD?BM
D.
OC
-
OA
+
CD


6、已知A、 B、C三点不共线，O是△ABC内一点，若
OA
+
OB
+
OC=0，则O是△ABC
的( )。
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
1
1
7、
3
[
2
(2a+8b)-(4a-2b)]等于( )。
A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b
8、设两非零向 量e
1
、e
2
不共线，且ke
1
+e
2
与 e
1
+ke
2
共线，则k的值为( )。
A.1 B.-1 C.±1 D.0
9、若向量方2x-3(x-2a)=0，则向量x等于( )。
6
A.
6
a
B.-6a C.6a D.-
a

5
5
10、设向量a，b都不是零向量：
(1)若向量a与b同向，则a+ b与a的方向_________，且|a+b|_________|a|+|b|；
(2)若向量 a与b反向，且|a|＞|b|，则a+b与a的方向__________，且
|a+b|_____ ____|a|-|b|。
11、如图所示，已知正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，
设
AB
=a，
AD
=b，
AA
1
=c，

则
AC
1
=__ __。(用a 、b 、c表示)
1
12、在△ABC，
AE
=
5
AB
，EF∥BC，EF交AC于F，设
AB
=a，
AC
=b，则
BF
用a、b
表示的形式
BF
=_____。
13、在△ABC，M、N、P分别是AB、BC 、CA边上的靠近A、B 、C的三等分点，O是< br>1
1
△ABC平面上的任意一点，若
OA
+
OB?OC
=
3
e
1
-
2
e
2
，则
OM? ON?OP
=________。
14、某人在静水中游泳，速度为
43
kmh，如果他径直游向对岸，水流速度为4 kmh，
则他实际以多大的速度沿何方向游?



15、在中心 为O的正八边形A1A2…A8中，a
0
=
A
8
A
1
，ai=
A
i
A
i?1
(i=1，2，…，7)，
bj =
OA
j(j=1，2，…，8)，试化简
a
2
+a
5+b
2
+b
5
+b
7



16、已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，AD⊥BC于D，求证：
|
AB
| =|
DB
+
DA
|+|
DC
+
DA
|


17、已知两向量a和b，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直。


18、已知△ABC的重心为G，O



四、全课小结
本次课你有哪些收获？还有什么问题？

五、课后作业（见附页）

1
OA
=a，
OB
=b，
OG
=
3
(a+b+c)
OC
=c，为坐标原点，求证：
222

课
后
记
学生课堂
亮 点
对学生或
家长建议
教学反思
















教务部门签章

学生家长
签字
平面向量复习课后作业
一、填空题
1、 若
a
是非零向量，则
ka
的方向是：当
k?0
时，
ka
与
a
_______方向
b满足
a?
?
b
(
?
是非零实数)，那么
a和
b
一定是___________；2、 如果两个非零向量
a、
当< br>?
?1
时，它们是__________的向量；当
?
??1
时，它们是___________的向量
b
是非零向量，3、 设
k
是非 零实数，
a、
用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：
_________ ______________________________
b
是两个不平行的向量， 那么
?2a?5b
叫做
a、b
的____________________ __ 4、 如果
a、
5、 对于非零向量
a
，它的长度为
5
，如果把与它同向的单位向量记作
a
0
，那么向量
a
可以
记作____________
6、 设
e
是单位向量，若
x
与< br>e
方向相同，且满足
x
e
?
3
，请用
e表示
x
：________________
2
7、 如果
2 a?b?3c,a?2b?0,
则
a
b
?
____________ _________
8、 在四边形
ABCD
中，设
AB?a
，< br>CD?b
，如果
b?2a,
那么四边形一定是_________
（填 四边形的名称）
9、 已知
?
ABC
的重心是点
G
，则< br>GA?GB?GC?
_______________
10、 设
O
是平行四边形
ABCD
的对角线的交点，点
P
为平面内与
O
不重合的任意一点，
设
OP?a
，试用
a
表示
PA?PB? PC?PD
：________________________________
二、选择题
11、 下列式子中，错误的是（ ）

A.
a?a?2a
B.
a??a?0
C.
?a?b??a?b
D.
a?b?b?a

12、 向量
AB?MB?BO?BC?OM
化简后的结果等于( )
A.
BC
B.
AB
C.
AC
D.
AM

13、 点
C
在线段
AB
上，且
AC?
????
????
3
AB
，若
AC?mBC
，则
m
的值等于（ ）
5
A.
23
23
B. C.
?
D.
?

32
32
14、 给出下列
3
个命题，其中真命题的个数是( )个
（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

b
是非零向量，则下列等式中正确的是（ ） 15、 已知一个单位向量
e
，设
a、
A.
ae?a
B.
eb?b
C.
三、解答题
16、 计算：
?



1
a
a?e
D.
1
a
a?
1
b
b

21
?
1
?
2a?3b?
?
?b?a
?

33
?
2
?
??
b
表示
x
。 17、 已知向量关系式
2a?6b?x?0,
，试用向量
a、



??
b
，请用作图方法验证
2a?b?2a?2b
（不写 作图方法，保留作图18、 已知非零向量
a、
痕迹，请写出验证过程。）
??
a

b

19、 在
?ABC
中，
G、E
为
AC
的三等分点，
F、H
为
BC
三等分点，
CA?a
，
BC?b
EF、GH
关于
a、b的线性组合。 写出
AB、

C
E
G
F
H
A B

20、 如图，已知平行四边形
ABCD
中，点
E、F
分别是边DC、AB
的中点，
AE、CF
与对角线
BD
分别交于点
G、H
，设
AF?a
，
AD?b
，
b
分别表示向量
GH、GE
； （1） 试用
a、
b
方向上的分向量。 （2） 作出向量
DH
分别在
a、
B
G
E
C
H
A
F


21、 在
?ABC
中 ，
D
是
AB
边的在中点，
E
是
BC
延长线 上的点，且
BE?2BC
。
BC
表示向量
DE
（1） 用
BA、
CB
表示向量
DB
（2） 用
CA、
A
D
B
C
E



22、 在四边 形
ABCD
中，
AB?a?2b,BC??4a?b,CD??5a?3b,
请判断四边形

的形状，并证明你的结论。