高中数学：平面向量知识点

高中数学：平面向量知识点
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
??
②零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，
0
与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
ruuuruuur
uuur
r
uuur
r
?
ruuu
2、向量加法：设
AB?a,BC? b
，则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC

?
??
?
?
（1）
0?
a
?
a
?0?
a
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
uuuruuuruu uruuuruuuruuur
AB?BC?CD?
L
?PQ?QR?AR
， 但这时必须“首尾相连”．
(3)三角形法则和平行四边形法则：

??
3、向量的减法： ① 相反向量：与
a
长度相等、方向相反的向量，叫做
a
的相反向量
? ?
?
?
??
?
②向量减法：向量
a
加上
b
的相反向量叫做
a
与
b
的差，③作图法：
a
?b
可以表示为从
b
的终点
??
?
指向
a
的终点的向量（
a
、
b
有共同起点）
??
4、实数与向 量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作λ
a
，它的长度与方向规定如 下：
???
??
（Ⅰ）
?
a
?
?
?a
； （Ⅱ）当
?
?0
时，λ
a
的方向与
a< br>的方向相同；当
?
?0
时，λ
a
的方向与
?
?
?
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?
0
，方向是任意的
??
?
?
bb
5、两个向量共 线定理：向量与非零向量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
，使 得=
?
a

??
6、平面向量的基本定理：如果
e
1
,e
2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向
??? ??
?
量
a
，有且只有一对实数
?
1
,
?
2
使：
a
?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
，其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所
有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
rr< br>r
rr
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量
a
可表示成
a?xi?yj
，记作
a
=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：

1

r
rr
r
(1)若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

uu ur
(2)若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?< br>
rr
(3)若
a
=(x,y)，则
?
a
= (
?
x,
?
y)
r
r
r
r
( 4)若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

r
r< br>r
r
(5)若
a?
?
x
1
,y
1< br>?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

r
r
a?b
，则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?
0

三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
已 知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，则
a< br>·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?

r
r
r
r
叫做
a
与
b
的数量积（ 或内积） 规定
0?a?0

r
r
rr
r
a
?
b
2向量的投影：︱
b
︱cos
?
=
r
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影投影的绝对值称为射影
|a|
r
r
r
rr
3数量积的几何意义：
a·
b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的 投影的乘积
rrrr
4向量的模与平方的关系：
a?a?a
2
?| a|
2

5乘法公式成立：
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
a?b?a?b?a? b?a?b
；
????
r
r
rr
rr
?
a?b
?
?a?2a?b?b
2
22
r
2
r
rr
2
?a?2a?b?b

6平面向量数量积的运算律：
r
rr
r
①交换律成立：
a?b?b?a

rr
r
r
r
r
②对实数的结合律成立：
?
?a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
?
?
?R
?

????
r
r
rrr
r
rrr
r
③分配律成立：
?
a?b
?
?c?a?c?b?c ?c?
?
a?b
?

r
r
rr
r
r
特别注意：（1）结合律不成立：
a?
?
b?c
?
??
a?b
?
?c
；
r
r
rr
（2） 消去律不成立
a?b?a?c
r
r
不能得到
b?c?
r
r
r
r
r
r
（3）
a?b
=0不能 得到
a
=
0
或
b
=
0

7两个向量的数量积的坐标运算：

2

rr
r
r
已知两个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
a
·
b< br>=
x
1
x
2
?y
1
y
2

uuur
r
uuurr
r
r
8向量的夹角：已知两个非零向 量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?
（
0
0?
?
?180
0
）叫做向
r
r
量
a< br>与
b
的夹角
r
r
r
r
x
1
x
2
?
y
1
y
2
a
?
b
cos
?
=
cos
?
a,b
??
r
r< br>=
2222
a
?
b
x
1
?
y1
?
x
2
?
y
2
r
r
rr
r
00
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向 时，θ=0，当且仅当
a
与
b
反方向时θ=180，同时
0
与其它任
何非零向量之间不谈夹角这一问题
r
r
r
r
r< br>r
0
9垂直：如果
a
与
b
的夹角为90则称
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b

10两个非零向量垂直的充要条件
：
?
?
?
?
a
⊥
b
?
a
·
b
＝O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0
平面向量 数量积的性质


3