高中数学-空间向量及向量的应用

高中数学-空间向量及向量的应用
空间直角坐标系的原则:
规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设血勺乃召），氓叫?乃
w），
则:
AB = OB- OA=
（
^y
2l
切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂）
空间向量的直角坐标运算：
设
Q = 2],
砌，色
3 $$ =1
鹉毎妇则；
①
口+
b=
P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=
I
角十知鬥 +為
、
屯 +鸟
I ?
②
a-b = a^a
2
,a
2
1■
诲.场岛
i =（
业一％
气-如
码一為 帀
③
加=
兄
I
曲卫
2，? ' = I
現珂
久卷
'（
i e 7?）
；
④
总■&= |气命
4
片妇任 |
= &占 + 逐血 +&並：
⑤
口
0
Fe
鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节
处二赵;

对? $$
⑥ 7
丄匸q 口血十口曲十
m
禺=
0
；
空间两点间距离
:丄“

「

的中点M （x，y，z）的坐标:
空间线段
1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量）

2:利用空间向量求线线角、线面角
（
1）异面直线所成角Z ? gw设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则

CQS P rris-
：
欧 *
b
(2) 线面角凰打殳《是直线
l
的方向向量，
n
是平面的法向量，则

3 :利用空间向量求二面角
其计算公式为：设 加“分别为平面
G 8
的法向量，则 与，剤7 互补或相等,
|
(
csfl i = |
操作方法：
- ? ? .
m * n
A>| = I
忘
I * I
云
I
1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
(1)异面直线所成的角的范围是
(2 )直线与平面所成的角的范围是

［0,—］
。射影转
化法
(3 )二面角的范围一般是指
方法

(0,］
，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种
2


①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法:
斜面面积和射影面积的关系公式：
S S cos
(
S
为原斜面 面积
，
S
为射影面积
，
为斜面与射影所成二面
,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时

角的平面角
)
这个公式对于斜面为三角形
如果能找得斜面面积的射影面积
2 ?空间的距离
，
可直接应用公式
，
求岀二面角的大小。
点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离
3 ?空间向量的应用
(1 )用法向量求异面直线间的距离
b
F

如右图所示，a、b是两异面直线，
n
是a和b的法向量，点 E ? a, F ? b，则异面直线 a与b之间的距离
EF n
是
d —
n
(2)用法向量求点到平面的距离
-
如右图所示，已知 AB是平面
a
的 一条斜线，
n
为平面
a
的法向量，则 A到平面
a
的距离为
d
AB
n
|n
(3) 用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
(4) 用法向量求两平行平面间的距离
这时可以在一个平面上任取一点， 将两平面间的距离问题转化成点到平面 首先必须确定两个平面是否平行，
的距离问题。
(5) 用法向量求二面角
如图，有两个平面
a
与
B，
分别作这两个平面的法向量 m与压，则平面
a
与
B
所成
的角跟法向量
n
1< br>与
n
2
所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝
(6 )法向量求直线与平面所成的角


要求直线
a
与平 面
a
所成的角
e,
先求这个平面
a
的法向量


n,a
或者一









n
与直线a的夹角的余弦
cos n,a
】，易知
e
=
n,a
2
：

向量的应用例题
1.在四边形ABCD中，
AB
?
BC
=0 ,
BC

=

AD,
则四边形 ABCD是
A.直角梯形
B.菱形 C.矩形 D.正方形
解析：由
AB
?
BC
=0知
AB
丄
BC
.由
BC
=
AD
知
BC — AD
.二四边形
ABCD
是矩形.答案：C
2.已知a、b是两个非零向量，当 a+tb (t ? R)的模取最小值时, (1 )求
t
的值； (2)求证：
b
丄(
a
+
tb
).
解：(1)
|
a
+
tb
|
2
设
a
与
b
的夹角为
0,
则



0,

|a||b|cos
a b
回 cos
0
= —
|b|

所以当
t
=
2
时，|
a
+
tb
|有最小值.
|b|
2


|b|

a b
(2)证明：因为b ?

(a
+
tb
) =
b
?(
a
—
石
?
b
) =
a
?
b
—
a
?
b
=0 ,所以
b
±(
a
丄
tb
).

|b|
2



已知
OA
=
a
,
OB
=
b
,
a
?
b
=|
a
—
b
|=2 ,当厶
AOB
面积取最大值时,求
a
与
b
的夹角.


解：因为 |
a
—
b
|
2
=4 ,
所以
a
2
— 2
a
?
b
+
b
2
=4.所以 |
a
|
2
+|
b
|
2
=4+2
a
?
b
=8 ,

1 ■ ■
2
1
i 2 2 2
1
2 2
一
1




|b|
2
)
2
4
=
3
,
(当且仅当|
a
|=|
b
|=2时取等号)所以当|
a
|=|
b
|=2

2


积取最大值,

1

0
=壬
这时,cos
|a||b| 2 2 2
,
所以
0
=60 ° .


22
3.如图，△
ABC的BC边的中点为
利用向量证明:
AB
+
AC
=2
(
AM
2
+
BM
2
)
.


A





















(a
+
tb
) =|
a
| +
t
|
b
| +2
a
?
2222
(tb
) =|
a
|
2
+
t
2
|
b
|
2
+2
t
|
a
||
b
|cos
0
=|
b
|
2
(
t
+l^cos
|b|
0
)
2
+|
a
|
2
sin
2

S
A
AOB
=
OA
?
OB
sin
0
= -1
a
||
2 2
b
| ^1
cos
=
| a | | b |
(
a b
)
=
| a | | b
|
时,
△
AOB
的面
B
1
2
1
cc
b
+
b
?
+
证明：设
AM
=
m
,
AB
=
b
,
AC
=
c
,则
m
=
4
2
2 2 4
2
BC
2
AC
2
2
1
2
2
1
2
1 1 1
2
1 1 — — _____________ 1—
2
1
2
“2
1
AB
2
2
2
=
AB
+
AC
+
AB
?
AC
? cos
BAC
=
—AB
+
AC
+
AB
?
AC
?
2
一 ?一 …'
4
一
4 — 2
4 4
2AB AC
1
2 2 2 2
1
2
1
2
=
_AB
+
_AC
+
1
2
1
2
1
2
-(
AB
+
AC
—
BC
).二
AM
=
—AB
+
— AC
—
-
BC
.
4 4
4
又???
BC
2
=4
BM
2
,
2
??? AB
+
AC
2
=2 (
AM
2
+
BM
2
).
b c c
m
?
m= ------
一
2
2
2
M
C

4.已知 A ( 4 , 0)
,N (1 , 0)，若点P满足
AN
(1)求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线;
-AP
=6|
PN
|.
(2
)求|
PN
|的取值范围;
(3)若
M
(— 1 , 0),求
MPN
在］0 ,
n］
上的取值范围

解：
(
1 )设
P
(
x
,
y
) ,
AP
= (
x
— 4 ,
y
) ,
PN
= (1 —
x
, —
y
) ,
AN
= (— 3 ,
0 ),???
AN
?
AP
=6|
PN


| ,

(
y
)
2

,即 3
x
2
+4
y
2
=12.
(x— 4 )
=6
(
1 x
)
2



2

y-=1.
?
P
点的轨迹是以(一1 , 0 )、( 1 , 0)为焦点，长轴长为 4
的椭圆.

3


|PN|
=
e
=
1
(2)N( 1 , 0)为椭圆的右 焦点，
x
=4为右准线，设
P(X
0
,
y
°
) ,
P
到右准线的距离为
d
,
d
=4 —

d 2
，
x
o
,

4 x
|
PN
|=
!d
=
°
.
T
— 2 <
X
。
< 2, ? 1 < |
PN
| < 3. 当 |
PN
|=1 时
,
P
( 2, 0 )

;当 |
PN
|=3
时，
P
(— 2,
2 2




(3 )令 |
PN
|=
t
(1 <
t
< 3)，则 |
PM
|=4 —
t
, |
MN
|=2 ,


2222

|PN |
| PM | |MN | t
(
4 t) 4 6
cos
MPN
=

=—1+ —
2t
(
4 t
)
t
2| PN || PM |

(
4 t
)

1
n

由 1 <
t
< 3，得 3 <
t
( 4 —
t
)< 4 ,
? 一 < cos
MPN
< 1 0
MPN < —

2 3

5.如图，已知△ ABC的顶点坐标依次为 其横坐
A (1, 0) , B (5 , 8) , C (7, — 4),在边 AB

标为4，在
AC
上求一点
Q
,使线段

PQ
把厶
ABC
分成面积相等的两部分 .


































上有一点 P,
解：设
P
分
AB
的比为
入
i
，则
4=
1 5
1
入
1
=3 ,即出巳
=3
|PB|
| AB|
| AP|
又
S
ABC
S

APQ
1 -
-| AB||AC |sin
BAC
I AB|
I AP|
| AP ||AQ |sin BAC
7 2
|AC|
=
2
1
I AQI
4
2
1
2
? |AC|
|AQ|
3
,即应
L
2

|QC|
设冶也
则冶2. ?
X
Q
=

1
QC
6.已知
a
=

2
=5 ,
y
Q
=
1
2
-x
,
x
) ,
b
= (
x
,
3
(1 )求
f
(
x
) =
a
?
b
的表达式；
1 -
|
2
1
3 2
解：(1)
f
(
x
) =
a
?
b
=
x
?
x
+
x
?(
x
— 3) =-
x
+
x
-
3
2
(2
)求
f
(
x
)的最小值,
并求此时
a
与
b
的夹角.
[—4 , 4].
(2)
f
(
x
) =
x
+2
x
— 3= (
x
+3 )(
x
— 1).
x
—4 (—4 , — 3) —3 (—3 , 1 )
1
(1 , 4 )
4

f
(
x
)

+ 0
—
0 +
f
(
x
)


20
3
T
5
5
极大值9

J
极小值—一
76
3
3
1
此时
a
= ( , 1),
b
= (1 , — 2 ).设
0
为
a
与
b
的夹角，贝0 cos
0
故当
x
=1时，
f
(
x
)有最小值为—一.
3

3
4

上邑=—
2
.又由

|a||b| 2
0
?[ 0 ,
n],
得
0
=—.
3
n
4