高中数学平面向量教案一

第五章 平面向量
第一教时
教材：向量
目的：要求学生掌握 向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已
知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共 线、相等。
过程：
一、开场白：课本P93（略）
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
A B
二、
提出课题：平面向量

1． 意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲
量等
注意：1?数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大
小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学
体系，用以研究空间性质。
2．
向量的表示方法：

a
B
1?几何表示法：点—射线
（终点）
有向线段——具有一定方向的线段
A(起点)
有向线段的三要素：起点、方向、长度
记作（注意起讫）
2?字母表示法：
AB
可表示为
a
（印刷时用黑体字）
P95 例 用1cm表示5n mail（海里）
3．
模的概念：向量
AB
的大小——长度称为向量的模。

A
B
北
记作：|
AB
| 模是可以比较大小的

4．
两个特殊的向量：

1?零向量——长度（模）为0的向量，记作
0
。
0
的方向是任意的。
注意
0
与0的区别
2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
例：
AB
与
BA
是否同一向量？

答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、
向量间的关系：

1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：
a
∥
b
∥
c

规定：
0
与任一向量平行
2．
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

a
b
c
记作：
a
=
b

规定：
0
=
0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3．
共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，

所以平行向量也叫共线向量。


C O B A


OA
=
a

OB
=
b

OC
=
c

例：（P95）略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（
CB,DO,FE
）

四、
小结：

五、
作业：P96 练习 习题5.1

第二教时
教材：向量的加法
目的：要求学生掌握向量加法的意义， 并能运用三角形法则和平行四边形法则作
几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用 它进行向
量计算。
过程：
六、复习：向量的定义以及有关概念
强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。
2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何
向量可以在不改变它的方向和大小的 前提下，移到任何位置。
七、
提出课题：向量是否能进行运算？

5． 某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

A B C
6． 若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

7． 某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

8． 船速为
AB
，水速为
BC
，
则两速度和：
AB?BC?AC

提出课题：向量的加法
A B
三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
a
a

a
C
b
b


a+b

a
b
a+b
a+b

A

A C
C
A B
B
强调：
B
1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起
点
2?可以推广到n个向量连加
3?
a?0?0?a?a

4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
3．例 一、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

O
b
a
b
a
A
b
A B
C
C A B
C

作法：在平面内取一点，
作
OA?a

AB?b

则
OB?a?b

4．加法的交换律和平行四边形法则
上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同 验证结果相同
从而得到：1?向量加法的平行四边形法则
2?向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

9． 向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
证：如图：使
AB?a
,
BC?b
,
CD?c

a+b+c
b+c
a+b
a
B
b
c
C
D
则(
a
+
b
) +
c
=
AC?CD?AD


a
+ (
b
+
c
) =
AB?BD?AD

∴(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
A
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二（P98—99）略
五、小结：1?向量加法的几何法则
2?交换律和结合律
3?注意：|
a
+
b
| > |
a
| + |
b
|不一定成立，因为共线向量不然。
六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3

第三教时
教材：向量的减法
目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
过程：
八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
D C
例：在四边形中，
CB?BA?BA?
CD

解：
CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD

九、
提出课题：向量的减法

A B
1． 用“相反向量”定义向量的减法
1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a
2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0
3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
a
作法：在平面内取一点O，
a
O
作
OA
= a,
AB
= b
则
BA
= a ? b
b
B
b
a?b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
注意：1?
AB
表示a ? b。强调：差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

B’

B
a
?
b
a+ (?b)

b

a
O
A

b
b


B
4． a∥b∥c a ? b = a + (?b) a ? b
a

a
?
b
a
?
b
O B

A
A B’
O
B
b
a
?
b
B
O
A
a
b
O
a
?
b
A
?
b
B

十、例题：
例一、（P101 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d。
解：在平面上取一点O，作
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
OD
= d,
作
BA
,
DC
, 则
BA
= a?b,
DC
= c?d






A
a
b
d
c
B
D
例二、平行四边形中，，用表示向量，
解：由平行四边形法则得：

AC
= a + b,
DB
=
AB?AD
= a?b
O
C
D C
A B

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
十一、 小结：向量减法的定义、作图法|
十二、 作业： P102 练习
P103 习题5.2 4—8