新课标高中数学平面向量

高中数学总复习教学案
第3单元 平面向量
◆
本章知识结构
向 量
向量及其基本概念 线性运算 向量的数量积
平面向量基本定理
坐标表示
向量的应用
◆
本章 的重点难点聚焦
(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，向量共线的条件极其坐标表示，向量
的数量积运算的定义、运算律及其坐标表示，向量垂直的条件极其坐标表示．?
(2)本章的难 点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对
角解斜三角形等；??
◆
本章学习中应当着重注意的问题
对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的 应用
◆
本章高考分析及预测
在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具 作用．平面向量的考查要求：
第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生 掌握平面向量的
和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二 ，
考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等
知 识结合，考察综合运用知识能力．
在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形 式出现，考查
了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件 ，
第 - 1 - 页 共 22 页

综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题．
§3．1 向量的概念及线性运算
新课 标要求
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；
2.了解零向量、单位向量、平行向量、相 等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或
出与某一已知向量相等的向量；
3．会用向量加法 的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量，会作两
个向量的差向量
5．掌握向 量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；
6．了解相反向量的概念；
8．掌握向量 的数乘定义，理解向量的数乘的几何意义；
9．掌握向量的数乘的运算律；
10．理解两个向量 共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.
重点难点聚焦
重点：1．向量概念、 相等向量概念、向量几何表示；
2．用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量与 差向量；
3．掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件．
难点：1．向量 概念的理解；
2．向量的加法和减法的定义的理解；
3．对向量共线的充要条件的理解． 高考分析及预策
本节主要考点：
．
向量的加法与减法；
向量的数乘的定义 ；
．
．
向量的数乘的运算律；
向量共线的条件；
．
．
有关向量平行及三点共线问题．
高考预策：
．
注意数形结合思想的应用
第 - 2 - 页 共 22 页

．
注意向量共线条件的应用
题组设计
再现型题组
????
?
????
?
?
?
1． 已知
? ABCD
的对角线
AC
和
BD
相交于
O
，且
OA?a , OB?b
，用向量
a
，
b
分
?????? ??????????
别表示向量
OC,OD,DC,BC
．
?
?
2． 对任意向量
a,b
，下列命题正确的是（ ）．
?
?
?
?
?
?
?
?
A. 若
a,b
满足
a?b
，且
a
与
b
同向，则< br>a?b
?
?
?
?
B.
a?b?a?b
?< br>?
?
?
a?b?a?b
?
?
?
?
若
a,b
都是单位向量，则
a?b
?
3． 设
a
是非零向量，
?
是非零实数，则下列结论正确的是（ ）．
?
?
??
A.
a
与
?
?
a
的方向相反 B.
?
?
a?a
C.
D.
C.
a
与
?
a
的方向相同 D.
?
?
a?
巩固型题组
?
2
?
?
?
a
?
????????
????
????
?
?? ??
?
4．在
?ABC
中，
AB?c , AC?b
，若点
D
满足
BD?2DC
，则
AD
=（ ）．
2
?
1
?
5
?
2
?
2
?
1
?
1
?
2
?
A.
b?c
B.
c?b
C.
b?c
D.
b?c33333333
????
?
??
?
???
?
???
??
?
5． 已知
AB?a?5b , BC??2a?8b , CD?3(a?b)
，则（ ）
A.
A,B,D
三点共线 B.
A,B,C
三点共线
C.
B,C,D
三点共线 D.
A,C,D
三点共线
?
?
?
?
6．已知向量
a
，
b
是两个非两向量，在下列的四个条件中，能使
a
，< br>b
共线的条件是（ ）
??
????
①
2a?3b?4e
且
a?2b??3e
②存在相异实数
?
,
?
使
?
?
?
?
a?
?
b?0
?
?
?
③
xa?yb?0
（其中实数
x,y
满足
x?y?0
） ④已知梯形
ABCD
，其中
?????????
?
AB?a , CD?b
A.①② B.①③ C.②④ D. ③④
提高型题组
第 - 3 - 页 共 22 页

< br>7．如图对于平行四边形
ABCD
，点
M
是
AB
的中 点，点
N
在
BD
上，且
BN?
求证：
M,N,C< br>三点共线．
D
1
BD
，
3
N
B
C< br>????????????
A
?
?1
，使得8．若向量
OA , OB , OC
终点
A,B,C
共线，则存在实数
?
,?
，且
?
?
M
????????????
OC?
?
OA?
?
OB ,
反之，也成立．
反馈型题组
9．平面向量
a
、
b
共线的充要条件是（ ）
??
?
?
?
?
A．
a
，
b
方向 相同 B.
a
，
b
两向量中至少有一个为零向量
?
?
?
?
?
C.
?
?
?R , b?
?
a
D. 存在不全为零的实数
?
1
,
?
2

，
?
1
a?
?
2
b =0
?
1< br>????????
????????
???
10．在
?ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，若
AD?2DB
，
C D?CA?
?
CB
，则
?
等
3
于（ ）
A．
2112
B. C.
?
D.
?
3333
11．化简以下各式结果为零向量的个数是( )
??? ?????????????????????????????????????
①
AB?B C?CA
；②
AB
；③
O??A?C?BDAO?D
；④
? ????????????????
NQ?Q?PM?N
A．
1
B.
2
C.
3
D. 4
?
?
?
?
12．设
a?6
，
b?2 0
，求
a?b
的大值和最小值．


13．
O是平面上一定点，
A,B,C
是平面上不共线三点，动点
P
满足
????????????????
OP?OA?
?
(AB?AC) ,

?
?
?
0,??
?
，则点
P
的轨迹一定通 过
?ABC
的（ ）
A．外心 B.垂心 C.内心 D. 重心
????????????????????
14． 已知
?ABC
中，点
D
在
BC
上，且
CD?2DB , CD?rAB?sAC
，则
r?s
= ．
第 - 4 - 页 共 22 页

§3.2向量的正交分解及坐标表示
新课标 要求
1了解平面向量基本定理；
2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 ，理解这是应用向量解
决实际问题的重要思想方法；
3．理解平面向量的坐标的概念，掌握平面 向量的坐标运算；
4．会根据向量的坐标，判断向量是否共线；
5．掌握线段的定比分点坐标公 式及线段的中点坐标公式；
重点难点聚焦
重点：1．平面内任一向量都可以用两个不共线非零向 量表示；
2．平面向量的坐标运算；
3．段的定比分点和中点坐标公式的应用
难点：1．平面向量基本定理的理解；
2．向量的坐标表示的理解及运算的准确性；
高考分析及预策
本节考点：
1． 平面向量基本定理；
2． 向量的正交分解；
3． 平面向量的坐标表示极坐标运算；
4． 两向量共线的条件的坐标表示；
5． 利用共线求定比分点坐标．
题组设计
再现型题组
1．下列说法正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量．
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
??
??
??
2．已知
a ?(1,0)
，
b?(1,1)
，
c?(?1,0)
，求
?
和
?
，使
c?
?
a?
?
b
．

第 - 5 - 页 共 22 页

?
????
???
3．已知点
A(0,1)
，
B(1,0)
，
C(1,2)< br>，
D(2,1)
，是判断向量
AB
和
CD
的位置关系 ．





巩固型题组
????????
4．在
?ABC
中，已知
A(2,3),B(6,?4),G(4,?1)< br>是中线
AD
上一点，且
AG?2GD
，则
点
C
的坐标为（ ）
A.
(?4,2)
B.
(?4,?2)
C.
(4,?2)
D.
(4,2)

?
?
?
???
?
???
5．
a?(1,2)
，
b?(x,1)
，
u?a?2b，
v?2a?b
，且
u
?
v
，则
x
的 值为（ ）
1111
B.
?
C. D.
?

2266
?
?
?< br>?
?
?
6．已知
a?(1,2)
，
b?(?3,2)
，当
k
为何值时，
ka?b
与
a?3b
平行？平行 时，它们是同
A.
向还是反向？






第 - 6 - 页 共 22 页

提高型题组
?
??
?
?
???
?
7． 设向量
a?(1,?3)
，
b?(?2,4)
，
c?(?1,?2)
，若表示向量
4a,4b?2c,2(a?c),d
的
?
有向线段首 尾相接能构成四边形，则向量
d
为（ ）
A.
(2,6)
B.
(?2,6)
C.
(2,?6)
D.
(?2,?6)

8．如 图，已知
A(?2,1),B(1,3)
，求线段
AB
中点
M
和三等分点
P,Q
的坐标．





反馈型题组
A
O
P
M
Q
y
B
????
?
2
9．若向量
a?(x?3,x?3x?4)
与
AB
相等，已知
A(1,2),B(3,2)
，则
x
的值为 ．
10．若
a?(6,?8)
，则与
a
平行的单位向量是 ．
?
?
????????????
11．已知向量
OA?(k,1 2),OB?(4,5),OC?(?k,10)
，且
A,B,C
三点共线，则
k
= ．
????????????
12．已知点
O(0,0),A (1,2),B(4,5)
及
OP?OA?tAB

求：⑴
t
为何值时，
P
在第二象限？
⑵四边形
O ABP
能否构成平行四边形？若能，求出相应的
t
值；若不能，请说明理由．






????????
???? ????
13．已知向量
AB?(3,4),AD?(?1,3),
点
A(? 2,1)
，若点
P(3,y)
满足
BP?
?
PD
， 求
y
与
?
的值．
第 - 7 - 页 共 22 页

???? ????
14．已知
A(1,0)
，直线
l:y?2x?6
，点R
是直线
l
上的一点，若
RA?2AP
，求点
P
的
轨迹方程．






§3.3数量积及其应用
新课标要求
1掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4掌握向量垂直的条件
重点难点聚焦
重点：1．平面向量的数量积定义；
2．平面向量数量积及运算规律；
3．平面向量数量积的坐标表示．
难点：1．平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用；
2．平面向量数量积的坐标表示的综合运用
高考分析及预策
本节的主要考点:
1. 两个向量的夹角；
2. 平面向量的数量积的性质；
第 - 8 - 页 共 22 页

3. 向量数量积的运算律；
4. 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件；
5. 向量的长度、距离和夹角公式．
题组设计
再现型题组
?
?
1．设
a,b
是任意的非零平面向量， 且它们相互不共线，下列命题：
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
①
(a?b)?c?(c?a)?b?0
②
a?b?a?b

???
2
?
????
?
?
???
2
③
(b?c)a?(c?a)b
不与
c
垂直 ④
(3a?2b)?(3a?2b)?9a?4b

其中正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
?
?
?
?
?
2．
a?(1,0),b?(1,1) ,
?
为何值时，
a?
?
b
与
a
垂直？

3．已知
a?4,b?3
，
(2a?3b)?(2a?b)?61

?
?
?
?
?
?
?
?
⑴求
a
与
b
的夹角
?
；
?
?
⑵求
a?b
；
????
?
????
?
⑶若
AB?a
，
AC?b
，求
?ABC
的面积．






巩固型题组
??< br>?
?
?
?
?
?
0
4．若向量
a与
b
的夹角为
60
，
b?4,(a?2b)?(a?3b)?? 72
，则向量
a
的模为（ ）
A.
2
B.
4
C.
6
D.
12

5．已知
A(2,5),B(5,2),C(10,7)
，试判断
?ABC
的形状，并给出证明．

第 - 9 - 页 共 22 页

6．已知
a,b, c
为
?ABC
的三个内角
A,B,C
的对边，向量
m?(3 ,?1)
，
n?(cosA,sinA)
，
若
m?n
，且< br>acosB?bcosA?csinC,
则角
B
= ．
提高型题组
7．设两个向量
e
1
,e
2
满足：
e
1
?2,e
2
?1 . e
1
,e
2< br>的夹角为
60
，若向量
2te
1
?7e
2
与 向量
?
?
??
??
????
0
??
??< br>e
1
?te
2
的夹角为钝角，求实数
t
的范围．




?
33xx
?
?
??
8．已知向量
a?(cosx,sinx),b?(cos,?sin),
且< br>x?
?
0,
?
．
2222
?
2
?
?
?
?
?
⑴求
a?b
及
a?b
；
3
?
?
?
?
⑵若
f(x)?a?b?2?
a?b
的最小值是
?
，求
?
的值．
2









反馈型题组
9．
?ABC
为锐角三角形的充要条件是（ ）
第 - 10 - 页 共 22 页

????????????????
????????????????
A．
(AB?AC)?(BA?BC)?0
B．
(AB?AC)?(CA?CB)?0

????????????????????????????????????????
C．
(BA?BC)?(CA?CB)?0
D．
(AB?AC)?(BA?BC)?(CA?CB)?0

10．如图，
E, F,G,H
分别是四边形
ABCD
的所在边的中点，若
?????????? ??????
(AB?BC)?(BA?AD)?0
，则四边形
EFGH
是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形也不是菱形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
11．设
a,b
是两个非零向量，
?
是
a
在
b
的方向上的投影，而
?
是
b< br>在
a
的方向上的投影，
若
a
与
b
的夹角为钝 角，则（ ）
A．
?
?
?
?0
B．
?
?
?
?0
C．
?
,
?
?R
?

D．
?
,
?
?R
?

?
?
??
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
12．若
a?b?a?b?r (r?0)
，则
a
与
b
的夹角为 ；
a?b
=

．
????
?
????
?
????
?
?
??
???
13．在?ABC
中，若
BC?a,CA?b,AB?c,
且
a?b?b?c?c ?a
，则
?ABC
的形状是
（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
?
1
?< br>14．已知向量
a?(sinx,1),b?(cosx,?)
．
2
?
?
?
?
⑴当
a?b
时，求
a?b
的值；
??
?
⑵求函数
f
?
x
?
?a?(a?b )
的值域．







第 - 11 - 页 共 22 页

第3章 平面向量45分钟单元综合检测题
一、 选择题
????????
?
????
1．已知
O, A,B
是平面上的三个点，直线
AB
上有一点
C
，满足
2A C?CB?0
，则
OC
=
（ ）
?
1
??? ??
2
????
????????????????
2
???
1
???
A．
2OA?OB
B.
?OA?2OB
C.
OA?OB
D.
?OA?OB

3333
?
?
?
??
?< br>2．设
a?(1,?2),b?(?3,4),c?(3,2)
，则
(a?2b )?c
=（ ）
A．
(?15,12)
B.
0
C.
?3
D.
?11

?
?
?
?
3．已知向量
a?(2 ,?3),b?(3,
?
)
，若
a
?
b
，则
?
等于（ ）
A．
292
B.
?2
C.
?
D.
?

323
4．已知两点
M(?2,0),N(2,0)
， 点
P
为坐标平面内的动点，
??????????????????
满足< br>MN?MP?MN?NP?0
，则动点
P(x,y)
的轨迹方程为（ ）
A．
y?8x
B.
y??8x
C.
y?4x
D.
y??4x

2222
?????????
????
???
?
333
?
,
?
，则
AB
与
BC
夹角的取值5．在
?ABC中，
AB?BC?3
，
?ABC
的面积
S?
?
42
?
?
?
范围是（ ）
?
??
??
??
??
??
??
??
?
,
?
B.
?
,
?
C.
?
,
?
D.
?
,
?

?
43
??
64
??
63
??
32
?
?
????
?
??
?
6．已知
i
与
j
为互相垂直的单位向量，
a?i?2j,b?i?
?
j
，且
a
与
b
的夹角为 锐角，
A．
?
则实数
?
的取值范围是（ ）
A．
?
??,?2
?
?(?2,)
B.
?
二、 填空题
第 - 12 - 页 共 22 页
1
22
??
2
1
?
??
?
1
??
,??
?
C.
?
?2,
?
?
?
,??
?
D.
?
??,
?

3
??
3
2
?
??
?
2
??

11
?
= ．
ab
?
?
?
?
8．设向量
a?(1,0),b?(cos
?
,sin
?
),
其中
0?
?
?
?
，则
a?b
的最大值是 ．
7．若三点
A(2,2),B(a,0),C(0,b )(ab?0)
共线，则
9．设
i,j
是平面直角坐标系内
x
轴、
y
轴正方向上的单位向量，
??
?????
??
? ??
??
且
AB?4i?2j,AC?3i?4j
，则
?ABC面积的值等于 ．
?
??
?
?
?0
10．已知向量
a
与
b
的夹角为
120
，< br>a?1,b?3
，则
5a?b
= ．

三、 解答题
11．设
A,B
为圆
x
2
?y2
?1
上两点，
O
为坐标原点（
A,O,B
不共线）
????????????????
⑴求证：
OA?OB
与
OA?O B
垂直．
?????
3
?
??
?
???
⑵当
?xOA?,?xOB?
?
,
?
?
?
?,?
且
OA?OB?
时，求
sin
?
的值．
5
4
?
44
?
?








????????
12．已知
O
为坐标原点，
A(0,2),B(4,6),OM?t
1
OA?t
2
AB

⑴求点
M
在第一象限或第三象限的充要条件；
⑵求证：当< br>t
1
?1
时，不论
t
2
为何实数，
A,B, M
三点都共线．









第 - 13 - 页 共 22 页

§3．1 向量的概念及线性运算（解答部分）
再现型题组
⒈ 【提示或答案】
如图
D
C
????< br>????????
?
OC
是
OA
的相反向量，∴
OC ??a

????
????????
?
OD
是
OB
的相反向量，∴
OD??b

????????????
?
?
????????????
?
?
DC?DO?OC?b?a
（或< br>DC?OC?OD?b?a
）
A
???????????????????? ?
?
??
?
???
．
BC?BO?OC??b?a
（
BC?OC?OB?a?b
）
⒉ 【提示或答案】B．
【基础知识聚焦】
⑴向量是既有大小又有方向的量，不能用“>” 或“<” 连接；
⑵向量加法的三角形法则的应用；
⑶单位向量的概念．
3. 【提示或答案】C．
【基础知识聚焦】
⑴实数与向量的积的意义；
⑵向量共线的条件．
巩固型题组
4.【解法一】
C
D
O
B
【基础知识聚焦】相反向量的概念；向量加法的几何表示；向量减法的几何表示．
????
2
????
????????
∵
BD?2DC
∴
BD?BC

3
A
????????????????
2
????????
2
?????????
2
????
1?
2
?
1
???
∴
AD?AB?BD?AB?BC?A B?(AC?AB)?AB?AC?c?b
．
333333
【解法二】
过
D
作
DE?AC
交
AB
于点
E

C
D
B
????
1
????????
2
? ???
则
AE?AB , ED?AC

33< br>????????????
1
?
2
?
∴
AD?AE? ED?c?b

33
A
E
B
【点评】解法二利用了共线向量 的性质，使过程得到了简化．解题过程中应注意条件
????????
BD?2DC
的 使用，它表明了点
D
的位置．
第 - 14 - 页 共 22 页

????????
【变式与拓展】在
?ABC
中， 已知
D
是
AB
边上一点，若
AD?2DB
，
??? ?
1
????????
CD?CA?
?
CB
，则
?
等于（ ）
3
2112
A． B. C.
?
D.
?
．
3333
????????????????
???
???
5. 解：∵
BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB

∴
A,B,D
三点共线．
【点评】判断三点共线往往借助于两个共点向量共线．
??
1
?
?
10
?
1
?
??
????
e
，则
a??b
，则6． 解：①由
2a?3b?4e
且
a?2b??3e
，得
a??e,b?
7710
?
?
a
?
b
；
?
?
?
?
?
??
?
②∵存在相异实数
?
,
?
使
?
a?
?
b? 0
，∴不妨设
?
?0
，则
a??b
，则
a
?
b
；
?
?
?
③有可能是
x?y?0
，所以不能判断
a
?
b
；
④
AB,CD
不一定是梯形的两底，有可能是梯形的两腰．

提高型题组
D
N
A
B
M
C
????
?
??? ?
?
7. 解：设
AB?a,AD?b

则< br>?????????????????
1
????
1
????
1
?????????
1
????
1
?
1
?
1
???
MN?MB?BN?MB?BD?AB?(AD?AB)?AB?AD?a?b；
3236363

????????????????
1
????????
1
?????????
2
????
1
???
1
?
2
?
CN?CB?BN??AD?BD??AD ?(AD?AB)??AD?AB??a?b

333333
?????????
?????????
∴
CN??2MN
∴
CN
?
MN
∴
M,N,C
三点共线．
????????
????????
8. 解：∵
A,B,C
共线 ∴
AB
?
BC
∴
?t?R
，使
BC?tAB

????????????????????????????
∴
OC?OB?t(OB?OA)
∴
OC?(1?t)OB?tOA

????????????
令
?
?1?t,
?
??t
，则
?
?
??1
，使
OC?
?
OA?
?
OB
．
????????????
反之，若存在实数
?
,
?
，且
?
?
?
?1
，使得
OC?
?
OA?
?
OB ,

????????????????????????????????
则
OC?
?
OA?
?
OB =
?
OA?(1?< br>?
)OB?OB?
?
OA?
?
OB

????????????????
∴
OC?OB?
?
(OA?OB)

????????
????????
∴
BC?
?
BA
∴
BC
?
BA
∴
A,B,C
共线
第 - 15 - 页 共 22 页

【变式与拓展】平面直角坐 标系中，
o
为坐标原点，已知
A(3,1),B(?1,3)
，若点
C
满
足
OC?
?
0A?
?
OB
，其中?
,
?
?R
，且
?
?
?
?1
，则点
C
的轨迹方程为( )
A.
3x?2y?11?0
B.
(x?1)
2
?(y?2)
2
?5

C.
2x?y?0
D.
x?2y?5?0


课堂小结
本节课重点是向量的加减法运算的几何表示，实数与向量的乘积的意义，向量共线的
条件，在解题过程中应注意使用数形结合的方法．
反馈型题组
A
9．D 10．A 11．D
12．提示:利用向量加法的三角形法则，三角形三边之间的关系，
O
?
?
14?a?b?26
．
B
D
C< br>?????????????
13．提示:（如图
AB?AC=2AD
）D.
14．1．

§3.2向量的正交分解及坐标表示（解答部分）
再现型题组
1．【提示或答案】D
【基础知识聚焦】本题考查的是基底的概念以及构成基底的条件．
注意：零向量不可作为基底中的向量．
2．【提示或答案】待定系数法
?
??
解：∵
c?
?
a?
?
b
∴
(-1,0)=
?
(1,0)+
?
(1,1)=(
?+
?
,
?
)

∴
?
?
?1?
?
?
?
?
?
??1
∴
?

?
0?
?
?
?
?0
【基础知识聚焦】本题考查的是平面向量基本定理的坐标表示．
3．【提示或答案】
?????
???
已知点
A(0,1)
，
B(1,0)
，
C(1,2)
，
D(2,1)
，是判断向量
AB
和
CD
的位置关系．
????????
????????
解：∵
AB?(1,?1)
，
CD?(1,?1)
∴
AB?CD

第 - 16 - 页 共 22 页

????????
∴
AB
?
CD

【基础知识聚焦】本题考查的是向量共线的条件的坐标表示．
巩固型题组
4．【解法一】
A
????
3
????
3
??? ?????
∵
AG?2GD
∴
AD?AG?(2,?4)?(3,?6)

22
????????????
∴
BD?AD?AB?(3,?6)?(4,?7)?(?1,1)

G
B
C
D
????????????
∴
AC?AB?2BD?(4,?7)?2(?1,1)?(2,?5)

????????????
∴
OC?OA?AC?(2,3)?(2,?5)?(4,?2)

【解法二】
????????
∵
AG?2GD

AD
是中线
∴
G
点是
?ABC
的重心
∴
x
G
?
x
A
?x
B
?x
C
y?y
B
?y
C
，
y
G
?
A

33
∴
x
C
?4,y
C
??2

【点评】本题考查的是向量线性运算的坐标表示，解法二利用了重心坐标公式，使问题得
到 简化，可见数形结合魅力和善于观察的重要性．
5．【解法一】
∵
u
?
v
∴
?
?
?0
，使
u?
?
v
，即
a?2b?
?
(2a?b)
??
??
?
?
?
?
?
??
?
∴
(1?2
?
)a?(
?
?2)b
∴
a
?
b

∴
2x?1
∴
x?
【解法二】
∵
1

2
?
? ?
u?a?2b?(1,2)?2(x,1)?(1?2x,4)

??
??
?
v?2a?b?2(1,2)?(x,1)?
?
2?x,3
?
且
u
?
v

∴
3(1?2x)?4(2?x)
∴
x?
1

2
??
?
?
【点评】本题考查了向量共线的条件的坐标表示．解法已 从
u
?
v
看出了
a?b
，使运算得
第 - 17 - 页 共 22 页

到简化．
6．【提示或答案】
k??
提高型题组
7．【提示或答案】
1
?
?
?
?
时，
ka?b
与
a?3b
平行，且方向相反．
3
?
?
???
?
∵表示向量
4a,4b?2c,2(a?c),d
的有向线段首尾相接能构成四边形
?
??? ?
?
?
∴
4a?4b?2c?2(a?c)?d?0

??
??
∴
d??6a?4b?4c??6(1,?3)?4(?2,4)?4(?1,? 2)?(?2,?6)

【点评】本题考查的是向量加法的几何表示，通过几何表示找出能构成 四边形的条件，又
考查了向量加法的坐标表示．
8．【提示或答案】
?????
1
????
设
M(x,y)
，则
AM?AB

2
31
??
x?2?x??
1
??
即
(x?2,y?1)?(3,2)
∴
?
2
∴
?
2

2
??
?
y?1?1
?
y?2
∴
M
点的坐标为
(?
1
,2)

2
53
7
3
????????
【变式与拓展】已知
A(?2,1), B(1,3)
，点
P
满足
AP?
?
PB
，求点P
的坐标．
同样可求得
P
点坐标为
(?1,)
，Q
点坐标为
(0,)

课堂小结
本节课重点是平面向量 基本定理，向量线性运算的坐标表示，向量共线的条件的坐标
表示，以及利用向量共线证明三点共线，求 定比分点的坐标等，解题过程中应注意使用数形
结合的方法．
反馈型题组
42

53
21
12．⑴
??k??
时，
P
在第二象限；
33
9．
?1
10．
(,?)
11．
k??
⑵不能构成四边形．
3
5
????
????
∵
OA?(1,2)

PB?(3?3t,3?3t)

第 - 18 - 页 共 22 页

????
????
∴不论
t
为何值
OA
都不可能和
PB
平行．
13．
y?
111
，
?
??

23
14．解：设点
P(x,y)
，
R(a,b)

则
b?2a?6

????????
∵
RA?2AP

∴
(1?a,?b)?2(x?1,y)

?
1?a?2x?2
∴
?

?b?2y
?
∴
?
?
a??2x?3

?
b??2y
∴
?2y?2(?2x?3)?6

§3.3数量积及其应用（解答部分）
再现型题组
1．【提示或答案】D
【基础知识聚焦】向量数量积的运算律，向量垂直的条件，向量减法的几何表示的应用．
2．【提示或答案】
?
??1
时，
a?
?
b
与
a
垂直
【基础知识聚焦】向量垂直的条件的坐标表示．
?
?
?
2
?
?
?
3．【提示或答案】⑴
?
?
；⑵
a?b?1 3
；⑶
S
?ABC
?33
．
3
【基础知识聚焦】向量数量积的定义，求模的方法，求面积公式．
巩固型题组
4．【提示或答案】
?
?
??
2
??
2
?
?
?
2
?
0
解：∵
(a?2b)?(a?3b) ?a?a?b?6b?a?a?4cos60?6?16??72

∴
a?6

【点评】本题考查了数量积定义的变式，还可以利用数量积定义求夹角．
?
??
???
?
?
?
【变式与拓展】已知
a?4,b?3,(2a ?3b)?(2a?b)?61
，求
a
与
b
的夹角
?
．
5．【提示或答案】
第 - 19 - 页 共 22 页

????????????
解：∵
AB?(3,?3),AC?(8,2),BC?( 5,5)

????????
∴
AB?BC?0

????????
∴
AB?BC

∴
?ABC
为直角三角形．
【点评】本题考查了数量积的应用．
【变式与拓展】反馈型题组9
6．【提示或答案】
解：∵
m?n
∴
3cosA?sinA?2sin(
∴
A?
??
?
3
?A)?0

?
3

∵
acosB?bcosA?csinC

∴
sinAcosB?sinBcosA?sinC

∴
sin(A?B)?sin
2
C
又
sin(A?B)?sinC,sinC?0

∴
sinC?1

∴
C?
2
?
2
∴
B?
?
6

【点评】本题以向量共线垂直的坐标表示为载体，考察 了正弦定理和两角和的正弦公式．这
也是高考重要的考察方式．
提高型题组
7．【提示或答案】
解：∵
????????
(2te
1
?7e
2
)?(e
1
?te
2
)?2te
12
?(2t
2
?7)e
1
?e
2
?7te2
2
?2t?4?2t
2
?7?7t?2t
2
?15t ?7

且向量
2te
1
?7e
2
与 向量
e
1
?te
2
的夹角为钝角
∴
2t?15t?7?0

2
??
??
71
?t??

22
?
?
?
?
8．【提示或答案】⑴
a?b?cos2x
，
a? b?2cosx

∴
?
⑵
?
?
1

2
第 - 20 - 页 共 22 页

课堂小结
本节课重点数量积的定义、运算律、坐标表示、向量垂直 的条件及其坐标表示，以及
以数量积为载体，考查和本学科其他知识的总和．
反馈型题组
9．D 10．B 11．C 12．
?
1
2
；
r
13．A
3
2
?
22
?
?
?
3
,2?
14．⑴
a?b?
；⑵
f(x)
?
2?
?
．
22
2
??
第3章 平面向量45分钟单元综合检测题
1．C 2．C 3．C 4．B 5．D 6．D
7．
1
； 8．
2
； 9．
5
； 10．
7
．
2
11．⑴证明：设
A(cos
?
,sin
?
),B(cos
?
,sin
?
)

????????
则
OA?OB?(cos
?
?cos
?
,sin
?
?sin
?
),

????????

OA?OB?(cos
?
?cos
?
,sin
?
? sin
?
)

????????????????
∴
(OA?OB)?(OA?OB)?cos
2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?0

????????????????
∴
OA?OB
与
OA?OB
垂直．
⑵解：∵
?xOA?< br>?
?
??
?
,?xOB?
?
,
?
?
?
?,
?

4
?
44
?
∴
A(cos
?
,sin),B(cos
?
,sin
?
)< br>
44
?
????????
???
3
∴
OA ?OB?coscos
?
?sinsin
?
?sin(?
?
)?

4445
∵
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
,
?
∴
?
??
?
0,
?

4
?
2??
44
?
?
4
)?
4

5
∴
cos(
?
?
∴
sin
?
?sin(
?
?
??????
2
?)?sin(
?
?)cos?cos(
?
?)sin??

44444410
?
t
1?3t
2
?0
12．⑴点
M
在第一象限的充要条件为
?
；
t?0
?
2
?
t
1
?3t
2
?0
点
M
在第三象限的充要条件为
?

t?0
?
2
第 - 21 - 页 共 22 页

??????????????????
⑵∵
AM?OM?OA?t
2
AB

?????????
∴不论
t
2
为何实数，
AM
?
AB

∴不论
t
2
为何实数，
A,B,M
三点都共线．
第 - 22 - 页 共 22 页