激发农村高中数学兴趣-高中数学要刷题吗
高中数学-平面向量及常见题型
向量知识点
??
☆零向量:长度为0的向量,记为
0
,其方向是任意的,
0
与
任意向量平行
☆单位向量:模为1个单位长度的向量 向量
a
0
为单
位向量
?
|
a
0
|=1
??
☆平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量
r
uuuruu
ur
uuu
☆向量加法
AB?BC
=
AC
向量加法有“三角
形法则”与“平行四边形法则”:
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
AB?
BC?CD?
L
?PQ?QR?AR
,但这时必须“首尾相连”.
☆实数与向量的积:
①实数λ与向量
a
的积是一个向量,记作λ
a
,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)
?
a
?
?
?
a
;
??<
br>??
?
?
????
?
a?
0
,
(Ⅱ
)当
?
?0
时,λ
a
的方向与
a
的方向相同;当<
br>?
?0
时,λ
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
方向是任意的
☆两个向量共线定理:
??
?
?
向量
b
与非零向量
a
共线
?
有且只有一
个实数
?
,使得
b
=
?
a
☆平面向量的基本定理:
如果
e
1
,e
2
是一个
平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量
a
,有且只有一对实数
?1
,
?
2
使:
??
?
???
??a
?
?
1
e
1
?
?
2
e2
,其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内
所有向量的一组基底
☆平面向量的坐标运算:
r
r
r
r
r
r
(1) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x<
br>2
,y
1
?y
2
?
,
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2
uuur
(2) 若
A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
(3)
若
a
=(x,y),则
?
a
=(
?
x,
rr
?
y)
r
r
r
r
(4) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
r
r
r
r
(5) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2<
br>?
,则
a?b
,
x
1
?x
2
?y<
br>1
?y
2
?
0
☆向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质
☆两个向量的数量积:
r
r
r
r
r
r
已知两个非零向量
a
与
b
,它
们的夹角为
?
,则
a
·
b
=︱
a
︱·︱<
br>b
︱cos
?
r
r
r
r
叫做a
与
b
的数量积(或内积) 规定
0?a?0
rr
rr
r
a
?
b
☆向量的投影:︱
b
︱cos
?
=
r
∈R,称为向量
b
在
a
方
向上的投影投影的绝对值称为射影
|a|
r
rr
r
r
☆数量积的几何意义:
a·
b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的
投影的乘积
☆向量的模与平方的关系:
a?a?a?|a|
rrr
2
r
2
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
☆乘法公式成立:
a?b?a?b?a?b?a?b
;
????
?
r
ra?b
?
2
r
rr
2
r
2
r
rr
2
r
2
?a?2a?b?b
?a?2a?b?b
uuur
r
uuurr
r
r
r
00
☆向量的夹
角:已知两个非零向量
a
与
b
,作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?
(
0?
?
?180
)叫做向量
a
与
r
b
的夹角
r
r
r
x
1
x
2
?
y
1
y
2
r
a
?
b
cos
?
=
co
s
?
a
,
b
??
r
r
=
2222
a
?
b
x
1
?
y
1
?
x
2
?
y
2
r
r
r
r
r
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时,θ=00,当且仅当
a
与
b
反方向时θ=1800,同时
0
与其它任何非零向
量之间不谈夹角这一问题
补充:
线段的定比分点
设P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?x
2
,y
2
?
,分点P
?
x,y
?<
br>,设P
1
、P
2
是直线
l
上两点,P点在
??
l上且不同于P
1
、P
2
,若存在一实数
?<
br>,使P
1
P
??
PP
2
,则
?
叫做
P分有向线段
?
P
1
P
2
所成的比(??
0
,
P
在线段
P
1
P
2
内,??
0
,
P
在
P
1
P
2
外),且
x
1
??
x
2
x
1
?
x
2
?
?
x
?
x
?
?
?
??
1
??
2
,P为P
1
P
2
中点时,
?<
br>
?
y
??
yy
?
y
22
?
y
?
1
?
y
?
1
?
?
1
??
2
?
?
如:?ABC,A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
y
?
y
2
?
y
3
??
x
?
x
2
?
x
3
则?ABC重心G的坐标是
?
1
,
1?
??
33
经典例题
例1.已知是所在平面内一点,为边中点, 且,那么( )
A. B. C. D.
命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力.
解:
. 故选A.
例2.在平行四边形
示)
中,,M为BC的中点,则______.(用表
命题意图:
本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.
解:由得,,所以
。
例3.如图所示,D是△ ABC的边AB上的中点,则向量( )
(A)
(B) (C) (D)
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.
解:,故选A.
例4.设平面向量、、的和.如果向量、、,满足
且顺时针旋转后与同向,其中,则( )
(A)
(C)
(B)
(D)
命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.
常规解法:∵
重合,故
巧妙解法:令
,∴
,应选D.
,则,由题意知,从而排除B,C,同理排除A,故选D.
故把2 (i=1,2,3),分
别按顺时针旋转30后与
点评:巧妙解法巧在取,使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方
法来解决.
例5.设向量与的夹角为,且,,
则 _.
命题意图:
本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问
题.
解:设,由
得
∴时,,故填
例6.已知抛物线的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且
(),过A、B两
点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明为定值;
的表达式,并求S的最小值. (Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出
命题意图:本小题
主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识,考查
推理和运算能
力.
解:
(Ⅰ)由已知条件,得
设,
,
,则
.
,.
由,得
,
即
代入得 (3)
将(1)式两边平方并把
解(2)(3)式得,,且有,
抛物线方程为,求导得.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是,
即,.
解出两条切线的交点M的坐标为即.
∵,
所以
所以为定值,其值为0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,,,
因而
.
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,
所以
于是,
由知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.
向量常见题型
类型(一):向量的夹角问题
1.平面向量
a,b
,满足
a?1,b?4
且满足
a.b?
2
,则
a与b
的夹角为
b?(b?2a
)
2.已知非零向量
a,b
满足
a?b,
,则
a与b
的夹角为
(a?b).(2a?b)??4且a?2,b?4
且,则
a与b
的夹角为
3.已知平面向量
a,b
满足
4.设非零向量
a
、
b
、
c
满足
|a|?|b|?|c|,a?b?c
,则
?a,b??
5.已知
a?2,b?3,a?b?
类型(二):向量共线问题
7,求a与b的夹角。
(?2,?18),
(2,3x)
1. 已
知平面向量
a?
,平面向量
b?
若
a
∥
b
,则实数
x
(2,1),b?(2,3)
2. 设向量a?
若向量
?
a?b
与向量
c?(?4,?7)
共线,
则
?
?
(1,1),b?(2,x)
3.已知向量a?
若
a?b与4b?2a
平行,则实数
x
的值是( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
则k
?
_____
4.
已知向量OA
?
(k,12),OB
?
(4,5),OC
?
(
?
k,10),且A,B,C三点共线,
5.已知
a
=
(1,2),
b
=(-3,2)若k
a
+2
b
与2
a
-4
b
共线,求实数k的值;
6.已知
a
,
c
是同一平面内的两个向量,其中
a
=(1,2)若
类型(三):
向量的垂直问题
1.已知向量
a?(x,1),b?(3,6)且a?b
,则实数<
br>x
的值为
2.已知
a
=(1,2),
b=(-3,2)若k
a
+2
b
与2
a
-4
b<
br>垂直,求实数k的值
3.已知
a?(4,2),
求与
a
垂直的单位向量的坐标。
4. 已知向量
a?(?3,2),b?(?1,0)且向量
?
a?b与a?
2b垂直,则实数
?
的值为
5.
a?(3,1),b?(1,3),c?(k,2),若(a?c)?b,则k?
6. ∥
b
,
c?(a?b),则c?___
a?(1,
2),b?(2,?3),若向量c满足于(c?a)
c?25
,且
a
∥c
,求
c
的坐标
类型(四)投影问题
1.
已知
a?5,b?4,
,
a与b
的夹角
?
2. 在
Rt
△
ABC
中,
?C?
?
2
?
,则向量
b
在向量
a
上的投影为
3
?
2
,AC?4,
则
?
3.关于
a.b?a.c
且
a?0
,有下列几种说法:
①
a?(b?c)
; ②
b
?
c
;③
a.(b?c)?0
④
b
在
a
方向上的投影等于
c
在
a
?
a
;⑥
b?c
其中正确的个数是 ( ) 方向上的投影
;⑤
b?
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
类型(五)求向量的模的问题
1.
已知零向量
a?(2,1),a.b?10,a?b?52,则b?
2.
已知向量
a,b
满足
a?1,b?2,a?b?2,则a?b?
3.
已知向量
a
?(1,3)
,
b?(?2,0),则a?b?
4.已知向量
a?(1,sin
?
),b?(1,cos
?
),则a?b
的最大值为
6. 设向量
a
,<
br>b
满足
a?b?1
及
4a?3b?3
,求
3a?5b
的值
类型(六)平面向量基本定理的应用问题
1.若
a
=(1,
1),
b
=(1,-1),
c
=(-1,-2),则
c
等于
( )
1313
?
a
?
b
(B)
?a?b
2222
3131
(C)
a
?
b
(D)
?a?b
2222
(A)
2.已知
a?(1,0
),b?(1,1),c?(?1,0),求
?
和
?
的值,使c?
?
a?
?
b
3.设
e
,
e
12<
br>是平面向量的一组基底,则当
?
1
?
_____,
?
2
?
_____
时,
?
1
e
?
?
2
e
?
0
12
4.下列各组向量中,可以作为基底的是(
)
(A)
e
1
?
(0,0),
e
?
(1
,
?
2)
(B)
2
1
e
1
?
(
?
1,2),
e
?
(5,7)
2
(C)
e
?
(3,5),
e
?
(6,10)
(D)
2
e
1
?
(2,
?
3),
e?
(
2
13
,
?
)
24
(1,1),b?(?1,1),c?(4,2),则c?()
5.
a?
(A)
3a?b
(B)
3a?b
(C)
?a?3b
(D)
a?3b
类型(七)平面向量与三角函数结合题
urr
urr
xxx
1.已
知向量
m?
(2sin,cos)
,
n?
(cos,3)
,
设函数
f(x)?m?n
424
⑴求函数
f(x)
的解析式
(2)求
f(x)
的最小正周期;
(3)若
0?x??
,求
f(x)
的最大值和最小值.
2. 已知
?ABC
的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c,平面向量<
br>m?(1,sin(B?A))
,平面向量
n?(sinC?sin(2A),1).<
br>
(I)如果
c?2,C?
?
3
,
且?ABC
的面积S?
3,
求a的值;
(II)若
m?n,
请判断
?ABC
的形状.
3. 已知向量a?
(2,sin
x
),
b?
(sin
(1)求
f(x)
的周期和单调增区间;
(2)若在
?ABC
中,角
A,
B,C
所对的边分别是
a,b,c
,
(2a?c)cosB?bcosC,求
f(A)
的取值范围。
2
x
,2cos
x
)
,函数
f(x)?a?b
AAAA
4.已知a,b,c分别为
?
ABC的内角A,B,C的对边,m
?
(
?
cos,si
n),n
?
(cos,sin),且
2222
1
m.n
?<
br>.(1)求角A的大小;(2)若a
?
23,
?
ABC的面积为S?
3,求b
?
c的值.
2
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