向量在高中数学中的应用

向量在高中数学中的应用
在高中数学新课程教材中，平面向量是高中数学的新增内 容，也是新高考的一个亮点。
学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不 多，很多学生在
学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。向量知识 、
向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的
“双 重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识
交汇点。距离如下 ：
1、利用向量证明等式
材料一：已知

、

是任意角，求证：

。
，终边交单位圆于A，以

轴为始边作角

，所以有：

又

即

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有

向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。
2、利用向量证明不等式

或符合向量的坐标运算形式，可运用

，终证明：在单位圆上，以

轴为始边作角

边交单位圆于B，有

材料二：

是正数。求证：


证明：设

由数量积的坐标运算可得：



又因为

， 所以

成立。
点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：

，

3、利用向量求值
，构造向量解之。
材料三：已知

，求锐角

。

解析：由条件得

设

，

，

则

，

，

，
由

，得

，即

，
则

，即

，同理

（因为

、

为锐角）
点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。
4、利用向量求函数值域
材料四：若

解析：构造向量

由

，得

，求

，

的最小值。


即

，


当且仅当

时，

有最小值


点评：巧 妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的
条件最值问题，用向量 证明更有独特之处。
5、利用向量解决析几何问题
材料五：过点

。
（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）、是否存在这样的直线，使

解析：（1）、设直线

的方程为

代入

得

若存在，求出

的方程；若不存在说明理由。
，
，
，作直线

交双曲线

于A、B不同两点，已知

当

时，设

，

，则

，

设

，由

，则

，解之得


再将

当

代入

得

……………………（1）
时，满足（1）式；
满足（1）式，故所求轨迹方程为

，其轨当斜率不存在是，易知

迹为双曲线；
当

（2）

即

时，

与双曲线只有一个交点，不满足题意。
，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是

。
，

，不满足上式。
，
当

不存在时，A、B坐标分别为

又


化简得：

，此方程无实数解，故不存直线

使OAPB为矩形。
点评：平面向量和 平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此
类题应注重从向量积的定义和向 量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的
共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问 题有效解决。
随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇< br>与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新
的视角 。 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量

（2）给出

与

或

相交,等于已知

，要会求出直线的斜率；
过

的中点;

（3）给出

（4）给出

,等于已知

是

的中点;
与

的中点三点共线;
三点共线.
；③若存在实数

,等于已知

（5） 给出以下情形之一：①

；②存在实数

,等于已知

（6） 给出

（7） 给出

，等于已知

,等于已知

,等于已知

是

的定比分点，为定比，即

,即

是直角,给出

,等于已知


是钝角, 给出

是锐角。
（8）给出

（9）在平行四边形

形;
（10） 在平行四边形

,等于已知

中，给出

是

的平分线
，等于已知

是菱
中，给出

，等于已知

是

是矩形;
的重心（三
是

的
（11）在

中，给出

，等于已知

是
接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在

中，给出

，等于已知

角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在

中，给出

的外心（三角形外
，等于已知

垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在

中，给出

等于已知

通过

的内心；
（15）在

中，给出

等于已知

是

的内心（三
角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在

中，给出

,等于已知

是

中

边的中线
著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺 激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学
生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要 性，如果我们能重视向量的教学，
必然能引导学生拓展思路，减轻负担。