高中数学向量基础知识

高中数学的平面向量知识
向量的概念
既有方向又有大小的量叫做向量（物理 学中叫做矢量），向量可以用a，b，c，.......表
示，也可以用表示向量的有向线段的起点和 终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量（物
理学中叫做标量）。在自然界中，有许多量既有大小 又有方向，如力、速度等。我们为了研究
这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这 样，研究清楚了向量的性质，
当然用它来研究其它量，就会方便许多。

向量的几何表示
具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作A B。（AB是印刷体，
也就是粗体字母，书写体是上面加个→）
有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，
向量a、b平行，记作ab，零向量与任意向量平行，即0a，
在向量中共线向量就是平行向量 ，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量
共线就是指两条是平行向量）
长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别
的）
零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。
模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

平面向量的坐标表示
在 直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作
一个向量a，由 平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得
a=xi+yj
我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作
a=（x，y），
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
注意：平面向量的坐标与点 的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对
的。若一向量的起点在原点，例如该向量为 （1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）
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表示。即， 若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标
的比例关系是
一样的
。


向量的运算
加法运算
向量加法的定义
已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量A C，则向量AC叫做a与b的和，
记做a+b，即a+b=AB+BC=AC
AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点) 同样，作< br>AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，连接DC，因为AD∥BC，且AD=BC，所以四 边形ABCD为平行
四边形，AC叫做a与b的和，表示为：AC=a+b. 这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。（共起点，对
角连）。
已知两个从同一点O 出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起
点的对角线OC就 是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
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减法运算
AB- AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量）
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方
向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－
(λa) = λ(－a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
坐标运算
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则
a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。
同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。
这就是说， 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
由此可以得到：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
根据上面的结论又可得
若a=(x,y),则λa=(λx,λy)
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
向量的数量积
向量数量积定义：
（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a， 向量OB=b，则角AOB=θ叫
做向量a与b的夹角。
（2）已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，θ是a与b的夹
角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,则a·b=x1x2+y1y2
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向量的数量积的性质
(1)a·a=∣a∣^2≥0
(2)a·b=b·a
(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
(4)a·(b+c)=a·b+a·c
(5)a·b=0<=>a⊥b
（6）a=kb<=>ab
（7）e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ
向量的混合积
定义：给 定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b )·c
混合积具有下列性质：
1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对 值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、
b、c构成右手系时混合积是正数；当a、 b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成
右手系时ε=1；当a、 b、c构成左手系时ε=-1）
2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4、(a×b)·c=a·(b×c)

平面向量的基本定理
如果e1和e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一
对实数λ、μ，使a= λ*e1+ μ*e2。


相关练习
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0. 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 错（当a
⊥b时，a · b=0） 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 错（当a和b都不为零，且a⊥b时，a · b=0） 4．若
a · b=0，则a · b中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当a⊥b时，a · b=0成立） 5．若a≠0，a · b=
b · c，则a=c 错（当b=0时） 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． 错（a≠0且同时垂直
于b，c时也成立） 7．对任意向量 a 有a*a=∣a∣* ∣a∣

向量与三角形有关的特殊规律
1.三角形ABC内一点O，向量OA·向量OB=向量OB·向量OC=向量OC·向量OA，则 点O是
三角形的垂心。
2.若O是三角形ABC的外心,点M满足向量OA+向量OB +向量OC=向量OM，则M是三角形ABC
的垂心。
3若O和三角形ABC共面，且满足向量OA+向量OB+向量OC=零向量，
则O是三角形ABC的重心。
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来源
向量 又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的 平行四边
形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的 是英国大科学家牛顿．
课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头 表示方向．但是在高等数学中还有更广
泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间 ，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，
要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的 ．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数
学对象或物理对象．这样，就可以指导线 性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已
成了数学中最基本的概念和线 性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量
及其线性运算也为 “向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．
从数学发展史来看，历史上很长一段时 间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，
人们才把空间的性质与向量运 算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首 先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐
标平面上的点来表示复数a ＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示
出来，并把向 量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平
面 中的向量，向量就这样平静地进入了数学．
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面 ，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所
谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世 纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），
以代表空间的向量．他的工作 为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理
学家麦克思韦尔把 四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．
三维向量分析的开创，以 及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成
的．他们提出，一 个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积
和向量 积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，< br>成为了一套优良的数学工具.

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