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如何利用向量的几何表示三角形的各种心
向量的几何表示是高考的热点问题 ，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题
的素材，常见的结论如下：
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①
PG?
1
(PA?PB?PC)?
G< br>为
?ABC
的重心，
3
特别地
PA?PB?PC?0?P
为
?ABC
的重心；
?
(AB?AC),
?
?[0,??)
是BC边上的中线AD上的任 意向量，过重心；
AD?
1
AB?AC,
等于已知AD是
?ABC
中BC边的中线.
2
??
②
PA?PB?PB?PC?PC?PA ?P
为
?ABC
的垂心；
?
(
ABAC
?)?
?[0,??)
是△ABC边BC的高AD上的任意向量，过垂心.
|AB|cosB|AC|cosC
③
|AB|PC?|BC|P?A|C|A?PB0?

?ABC
P
的内心；
向量
?
(
AB
?< br>AC
)(
?
?0)
所在直线过
?ABC
的内心(是< br>?BAC
的角平分线所在直线).
|AB||AC|
④
(OA?OB )?AB?(OB?OC)?BC?(OC?OA)?CA?0

?OA?OB?OC?OA< br>2
?OB
2
?OC
2
?
O
为
?AB C
的外心.
4.向量与平行四边形相关的结论
向量的加法的几何意义是通过 平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形
ABCD
中，设
AB?a,AC ?b
，则有以下的结论：
①
AB?AC?a?b?AD,
通过这个公式可以 把共同起点的两个向量进行合并；若
AB?DC
,可判断四边形为平行四边形；
②< br>a?b?AD,a?b?CB,
若
a?b?a?b?a?b?0
对角线相等或邻 边垂直，则平行四
边形为矩形；
(a?b)?(a?b)?0?a?b
对角线垂直.则 平行四边形为菱形；
③
a?b?a?b?2a?2b
说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；
2222
b
同向或有
0
④
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
，特别地，当
a、

b
反向或有
?
|a?b|?|a|?|b|< br>?
||a|?|b||?|a?b|
；当
a、
0
?
| a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；
当
a、 b
不共线
?
||a|?|b||?|a?b|?|a|?| b|
(这些和实数比较类似).
5.解析几何与向量综合时可能出现的结论
（1） 给出直线的方向向量
u?
?
1,k
?
或
u?
?m,n
?
；
（2）给出
OA?OB
与
AB
相 交,等于已知
OA?OB
过
AB
的中点;
??
?
（3）给出
PM?PN?0
,等于已知
P
是
MN
的中点;
（4）给出
AP?AQ?
?
BP?BQ
,等于已知
P,Q< br>与
AB
的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①
ABAC
；
②存在实数
?
,使AB?
?
AC
；
③若存在实数
?
,
?
,且
?
?
?
?1,使OC?
?
OA?
?
OB
,
等于已知
A,B,C
三点共线.
??
（6） 给出
OP?
OA?
?
OB
，等于已知
P
是
AB
的定比 分点，
1?
?
?
为定比，即
AP?
?
PB

（7） 给出
MA?MB?0
,等于已知
MA?MB
,即
? AMB
是直角,给出
MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是钝角, 给出
MA?MB?m?0
,
等于已知
?AMB
是锐角,
??
?
MAMB
?
（8）给出
?
?
?
?< br>?MP
,等于已知
MP
是
?AMB
的平分线
?
MAMB
?
??
（9）在平行四边形
ABCD
中，给出
( AB?AD)?(AB?AD)?0
，
等于已知
ABCD
是菱形;
（10） 在平行四边形
ABCD
中，给出
|AB?AD|?|AB?AD|
，
等于已知
ABCD
是矩形;
（11）在
?ABC
中，给出
OA?OB?OC
，

222
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等于已知O
是
?ABC
的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在
?ABC
中，给出
OA?OB?OC?0
，
等于已知
O
是
?ABC
的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在
?ABC
中，给出
OA?OB?OB?OC?OC?OA
，
等于已 知
O
是
?ABC
的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在
?ABC
中，给出
OP?OA?
?
(
ABAC< br>?)
(
?
?R
?
)

|AB||AC|
等于已知
AP
通过
?ABC
的内心；
（15）在
?ABC
中，给出
a?OA?b?OB?c?OC?0,

等于已知
O
是
?ABC
的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心 是三角形三条角平
分线的交点）；
（16在
?ABC
中，给出
AD?
1
AB?AC
,
2
??
等于已知
AD
是
?ABC
中
BC< br>边的中线;