高中数学平面向量及其运算

a·b
则cos θ＝
|a||b|
＝
x< br>1
x
2
＋y
1
y
2
2222
. < br>x
1
＋y
1
x
2
＋y
2
4.平面向 量的三个锦囊
→
(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要 条件是OP
→
＋λOB
→
(其中λ＋λ＝1). ＝λ
1
O A
212
→
与向量OA
→
，(2)三角形中线向量公式：若P为△O AB的边AB的中点，则向量OP
→
的关系是OP
→
＝
1
( OA
→
＋OB
→
). OB
2
(3)三角形重心坐标的求法 ：G为△ABC的重心
0
?
x
A
＋x
B
＋x
C
y
A
＋y
B
＋y
C
?
?
. G
?
，
33
??

热点一 平面向量的线性运算
【例1】 (1)(2018·南京三模)在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3， D，
→
·
→
的值为________. E是线段AC的三等分点，则BDB E
(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，
→
·
→
＝1，则λ的值为________. BC＝3BE，DC＝λDF.若A EAF
?
→
1
→
??
→
1
→
?< br>→→→→→→
?
BC＋
3
CA
?
解析 (1)由题 意得BD·BE＝(BA＋AD)·(BC＋CE)＝
?
BA＋
3
AC
?
·
????
?
→
1
→→
??
→
1
→→
??
1
→
2
→
??
2
→
1
→
?
?
BC＋
3
（BA－BC）
?＝
?
3
BC＋
3
BA
?
·
?
BC＋
3
BA
?
＝
?
BA＋
3
（BC－ BA）
?
·
???????
3
?
2
→
2< br>5
→→
2
→
2
25211
＝
9
BC ＋
9
BC·BA＋
9
BA＝
9
×9＋
9
× 2×3×cos 120°＋
9
×4＝
9
.
(2)法一 如图，
→
＋GB
→
＋GC
→
＝GA

→
＝AB
→
＋BE
→
＝AB
→
＋
1
BC→
，AF
→
＝AD
→
＋DF
→
＝AD
→
＋
1
DC
→
＝BC
→
＋
1
AB
→
，所以AE
→
·
→
＝AEAF
3
λλ< br>1
?
→→
1
→
2
1
→
2
?
1
??
→
1
→
??
→
1
→
??
?
AB＋
3
BC
?
·
?
BC＋λ
AB
?
＝
?
1＋
3λ
?
AB·BC ＋
λ
AB＋
3
BC＝
?
1＋
3λ
?
×2×2×cos
????????

44
120°＋
λ< br>＋
3
＝1，解得λ＝2.
法二 建立如图所示平面直角坐标系.

由题意知：
A(0，1)，C(0，－1)，B(－3，0)，D(3，0).
由BC＝3BE，DC＝λDF，
1
?
1
?
?
2 31
?
??
?
，F
?3
?
1－
λ
?
，－
λ
?
， 可求点E，F的坐标分别为E
?
－，－?
?
?
?
33
??
1
?
1
?
4
?
1
?
1
?
234
?
???< br>?
→→
1－
??1－1＋
?
·
?3
∴AE· AF＝
?
－
＝－2
?
＋
?
＝1，
λ?
，－
λ
－1?
λ
?
λ
?
??
3
??
?
3
，－
3
?
?
?
?< br>解得λ＝2.
11
答案 (1)
9
(2)2
探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用
平面向量的基本定理将条件和结论表 示成基底的线性组合，再通过对比已知等式
求解.
→
＝2DC
→
， AE
→
＝λAC
→
【训练1】 (1)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝ 3，AC＝2，若BD
→
(λ∈R)，且AD
→
·
→
＝－4 ，则λ的值为________. －ABAE
→
＝2MC
→
，BN
→
＝NC
→
.若MN
→
＝xAB
→
＋(2)(20 15·北京卷)在△ABC中，点M，N满足AM
→
，则x＝__________；y＝__ ________. yAC

→
·
→
＝3×2×cos 60°＝ 3，AD
→
＝
1
AB
→
＋
2
AC
→
，则AD
→
·
→
＝解析 (1)ABACAE
33
λ－2
→→
1
→
2
2λ
→
2
λ－212λ
?
1
→
2
→
?
→→
2
?
3
AB＋
3
AC
?
·(λAC－AB)＝
3AB·AC－
3
AB＋
3
AC＝
3
×3－
3< br>×3＋
3
×2
2
??
113
＝
3
λ －5＝－4，解得λ＝
11
.

11
→→→
1
→
1
→
1
→
1
→→
1
→
1→
(2)MN＝MC＋CN＝
3
AC＋
2
CB＝
3AC＋
2
(AB－AC)＝
2
AB－
6
AC，∴x＝< br>2
，y＝－
6
.
311
答案 (1)
11
(2)
2
－
6

热点二 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)(2018·江苏冲刺卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1).若(a＋λb)⊥a，
则实数λ＝________.
(2)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2， －2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，
则λ＝________.
解析 (1)由 题意可得a＋λb＝(2，1－λ)，则(a＋λb)·a＝(2，1－λ)·(2，1)＝5－λ
＝0 ，解得λ＝5.
1
(2)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b) ，所以1×2＝4λ，即λ＝
2
.
1
答案 (1)5 (2)
2

探究提高 若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不 是以
坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.
3?
→
?
31
?
→
?
1
【训练2】 ( 1)已知向量BA＝
?
，
?
，BC＝
?
，
?
，则∠ABC＝________.
?
22
??
22
?
2
x
－2
??
(2)(2018·常州期末)已知平面向量a＝(4，2)， b＝
?
1，
x
?
，x∈R，若a⊥b，
2
??xx
则|a－b|＝________.
→
·
→
BABC3
→→
解析 (1)|BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝
2
，则∠ABC＝30°.
→→
|BA|·|BC|
2
x
－2
(2)因为a⊥b，所以4＋2 ×
2
x
＝4
x
＋2
x
－2＝0，解得2
x
＝－2(舍)或2
x
＝1，
xx
故a＝(1，1)，b＝(1，－1)，故a－b＝(0，2)，故|a－b|＝2.
答案 (1)30° (2)2
热点三 平面向量的数量积
【例3】 (1)(2 018·苏州自主学习)已知平面向量a＝(2，1)，a·b＝10，若|a＋b|＝
52，则|b| 的值是________.
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ ABC＝60°，动点E

→→→
1
→→→
和F分别在线段BC 和DC上，且BE＝λBC，DF＝
9λ
DC，则AE·AF的最小值为
______ __.
解析 (1)因为50＝|a＋b|
2
＝|a|
2
＋|b|
2
＋2a·b＝5＋20＋|b|
2
，所以|b|＝5.
→
＝AB
→
(2)法一 在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC ＝60°，可得DC＝1，AE
1
→→
，
→
＝AD
→
＋
1
DC
→
，
→
·
→
＝(AB
→
＋λBC
→
)·
→
＋
1
DC
→
)＝AB
→
·
→
＋AB
→
·＋λBCAF∴AEAF(AD AD
9λ9λ9λ
DC
1
→
11
→
·
→< br>＋λBC
→
·＋λBCADDC＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×cos 60°＋λ·
9λ9λ9λ
×cos 120°
2
λ
17
＝
9λ
＋
2
＋
18
≥2
2
λ
172 92
λ
229
·＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为
9λ21818 9λ2318
.
法二 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B (2，
?
3
?
13
?
3
?
→→
， DF
→
＝
1
DC
→
， 0)，C
?
，?
，D
?
，
?
.又BE＝λBC
9λ
?
22
??
22
?
??
1113
?
3
?< br>则E
?
2－
λ，λ
?
，F
?
＋，
?
，λ＞0，
22
???
29λ2
?
1
??
11
?
3172117
→
·
→
＝
?
?< br>2－
2
λ
??
2
＋
9λ
?
＋
λ＝
＋＋
λ≥
＋2所以AEAF
????
4189λ218
2129
9λ
·
2
λ＝
18
，λ＞0，
212 29
→→
当且仅当
9λ
＝
2
λ，即λ＝
3
时取等号，故AE·AF的最小值为
18
.
29
答案 (1)5 (2)
18

探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标 运算、数
量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模
和夹角 ，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a|＝a
2
求向
量的模时 ，一定要把求出的a
2
进行开方.
(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量 的分解转化成已知向量的数量积
计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算 转化成
坐标运算也是一种较为简捷的方法.
【训练3】 (1)(2017·南京、盐城模拟 )如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，
→
·
→
＝2，则AE→
·
→
的值是________. 点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAFBF

(2)(2018·南 通、泰州调研)已知矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1.点P，Q分别在
π
→
·< br>→
的最小值为________. 边BC，CD上，且∠PAQ＝
4
，则APAQ
解析 (1)法一 以A为原点，AB 所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平
面直角坐标系(以射线AB，AD的方向分别为x轴、y轴 的正方向)，则B(2，0)，
→
＝(x，2)，又AB
→
＝(2，0)，∴ AB
→
·
→
＝2x＝2，∴xE(2，1).设F(x，2)，则AFAF< br>→
·
→
＝2. ＝1，∴F(1，2)，∴AEBF
→
·→
＝|AB
→
||AF
→
|cos ∠BAF＝2，
→
|＝2，
→
|cos ∠BAF＝1，
→
法二 ∵ABAF|AB∴|AF即|DF
→
|＝2－1，
→
·
→
＝(AB
→
＋BE
→
)·
→
＋CF
→
)＝AB
→
·
→
＋AB
→·
→
＋BE
→
·
→
|＝1，∴|CF∴AEBF(BC BCCFBC
→
·
→
＝AB
→
·
→
＋BE
→
·
→
＝2×(2－1)×(－1)＋1×2×1＝2. ＋BECFCFBC
(2)法一(坐标法) 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y 轴建
立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1).
1
?
π
??
→
＝(2，2tan θ)，AQ
→< br>＝
?
?
tan
?
4
－θ
?
，1?
，0≤tan θ≤. 设∠PAB＝θ，则AP
2
????
2（1－tan θ）
??
π< br>???
π
?
→→
－θ－θ
??????
因为AP·A Q＝(2，2tan θ)·tan
4
，1＝2tan
4
＋2tan θ＝＋
??????
1＋tan θ
2tan θ＝
44
＋2tan θ－2＝＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ
1＋tan θ1＋tan θ
→
·
→
的最小值为42－4. ＝2－1时，“＝”成立，所以APAQ
x
法二(基底法) 设BP＝x，DQ＝y，由已知得，tan∠PAB＝
2
，tan∠QAD＝y，
t an∠PAB＋tan∠QAD
π
由已知得∠PAB＋∠QAD＝
4
，所以＝ 1，
1－tan∠PABtan∠QAD
x＋2y
xy
所以
2＝1－
2
，x＋2y＝2－xy≥2x·2y，
解得0＜xy≤6－42，当且仅当x＝2y时，“＝”成立.

22
→→
AP·AQ＝
2
·（4＋x
2
）（1＋y
2
） ＝
2
·（xy）
2
＋（x＋2y）
2
－4xy＋4
2
＝
2
·（xy）
2
＋（2－xy）
2
－4xy ＋4＝（xy）
2
－4xy＋4＝2－xy≥42－4.
答案 (1)2 (2)42－4
热点四 平面向量的综合应用
→→
?
→
AC→
?
ABAC
AB
→→→
??
＋
【例4】 ( 1)在△ABC中，已知向量AB与AC满足
?
BC＝0，且·
?
·
→→
→→
||AB||AC
?
|AB||AC|
?
1
＝，则△ABC的形状为________三角形.
2

→→→
ABACAB
→→
解析 (1)，分别为平行于AB，AC的单位向量 ，由平行四边形法则可知
→→→
||AB||AC||AB
→→
?
→
?
ABAC
AC
→
＝0，所以∠BAC的平分线垂直于
??
·
＋
＋为∠BAC的平分线.因为
?
BC
→→
?< br>→
||AC
?
|AB||AC|
?
→
??
A C
→
?
→
AC
→
?
AB
AB1
? ???
·BC，所以AB＝AC.又·＝
?
·cos∠BAC＝
??
→
?
2
，
→
→→
|AB||AC|
?
| AB|
??
|AC|
?

1
π
所以cos∠BAC ＝
2
，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝
3
，所以△ABC为等边三角形.
→
＝(x，1)，OB
→
＝(2，y)，所以OA
→
·→
＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，(2)因为OAOB
不等式组所表示的可行域如 图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标

函数z＝2x＋y过点C(1，1 )时，z
max
＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，
1
a )时，z
min
＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝
8
.
1
答案 (1)等边 (2)
8

探究提高 向量作为工具在平面几 何、解析几何、解三角形中都有着重要的应用，
尤其与三角函数的联系较为紧密，适当选择建系处理有时 也是不错的选择.
【训练4】 设O为坐标原点，C为圆(x－2)
2
＋y
2
＝3的圆心，且圆上有一点M(x，
→
·
→
＝0，则
y< br>＝________. y)满足OMCM
x
→
·
→
＝0，∴ OM⊥CM，∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，解析 ∵OMCM
|2k|y
由＝3，得k＝±3，即
x
＝±3.
1＋k
2
答案 ±3

1.平面向量的数量积的运算有两种形式：
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可
求，可通过选 择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的 等式，从而应
用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.
2.根据平行四边形法则 ，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的
两条对角线长度相等，此时平行四 边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，
b互相垂直.
3.两个向量夹角的 范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向
量夹角可能是0或π的情况，如已知两 个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数
量积小于零，还要求不能反向共线.

一、填空题
1.(2018·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥( ma－b)，则m＝________.
解析 由题意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂 直的充要条件可得1×(m
＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.

答案 －1
→
＝
1
(AB
→
＋AC
→
)，则A B
→
与AC
→
的夹角为2.已知A，B，C为圆O上的三点，若AO
2
________.
→
＝
1
(AB
→
＋AC< br>→
)，可得O为BC的中点，
→
解析 由AO故BC为圆O的直径，所以AB
2
→
的夹角为90°与AC.
答案 90°
3.(2018·南京、盐城二模)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
→
＝λBA
→
＋μBD
→
(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝__ ______. E为线段AO的中点，若BE

→
＝BA
→
＋AE
→
＝BA
→
＋
1
AC
→
解析 因为O， E分别是AC，AO的中点，所以BE
4
→
＋
1
(BC
→< br>－BA
→
)＝
3
BA
→
＋
1
BC< br>→
.又BE
→
＝λBA
→
＋μBD
→
＝λB A
→
＋μ(BC
→
＋CD
→
)＝(λ＋＝BA
44 4
→
＋μBC
→
，故λ＋μ＝
3
.
μ)BA
4
3
答案
4

4.已知O是平面上的一 定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P
→
＝OA
→
＋λ(A B
→
＋AC
→
)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的满足 OP
________(填重心、垂心、内心或外心).
→
－OA
→
＝λ(AB
→
＋AC
→
)，即AP
→
＝λ(AB
→
＋AC
→
)，根据平行四边形法解析 由已知，得OP
→
＋AC< br>→
＝2AD
→
，则，设△ABC中BC边的中点为D，知AB所以点P的轨迹必 过△ABC
的重心.故填重心.
答案 重心
5.(2017·苏、锡、常、镇调研 )在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若
→
＝AB
→
＋ λAC
→
，且BP
→
·
→
＝1，则实数λ的值为_____ ___. 点P满足APCP
解析 由AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，得BC
2
＝AB
2
＋AC
2
－2AB·AC·cos A＝3，

→→
即BC＝3.又AC
2
＝AB
2
＋BC
2
， 所以∠B＝90°.以点A为坐标原点，AB，BC的方
→
向分别为x轴，y轴的正方向建立平 面直角坐标系，则B(1，0)，C(1，3).由AP
→
＋λAC
→
，得P (1＋λ，3λ)，则BP
→
·
→
＝(λ，3λ)·＝ABCP(λ，3λ－ 3)＝λ
2
＋3λ(λ－
1
1)＝1，即4λ－3λ－1＝0，解得λ＝－< br>4
或λ＝1.
2
1
答案 －
4
或1
→< br>＝3PD
→
，6.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8 ，AD＝5，CP
→
·
→
＝2，则AB
→
·
→的值是________. APBPAD

→
＝AD
→
＋DP
→
＝AD
→
＋
1
AB
→
解析 由题图可 得，AP
4
→
＝BC
→
＋CP
→
＝BC
→
＋
3
CD
→
＝AD
→
－
3
AB< br>→
. ，BP
44
→
1
→
??
AD
→
3
→
?
→
2
1
→→
3
→
2
→
·
→
＝
?
?
AD＋
4
AB
?
·
?
－
4
AB
?
＝AD∴APBP－A D·AB－AB＝2，
216
????
1
→→
3
→
·
→
＝22. 故有2＝25－
2
AD·AB－
16
×64，解得ADAB
答案 22
→
＝DC
→
，AE
→
＝
1
7.(2 018·苏北四市一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，AD
2
→
.若 BD
→
·
→
＝－
1
，则CE
→
·
→
＝________. EBACAB
2

3a
?
→·
→
＝
?
?
2
，
2
?
·解析 建立如图所示的直角坐标系，且设A(0，a)，a＞0，则BDAC(1，
??
44
?
→
3a
2
1
→
＝
?
?
－
3
，
3
?
，AB－a)＝
2
－
2
＝－< br>2
，解得a＝2，所以CE＝(－1，－2)，
??

→
·
→
＝－
4
. 所以CEAB
3
4
答案 －
3

8.(2018·天津卷改 编)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD
→
·
→的最小值为________. ＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AEBE

解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，

因为在平面四边形A BCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，
?
13
?
33
?
→
?
13
?
→
＝
?
?
，m－
?
，AD0)，D
?
－，
?
.设 C(1，m)，E(x，y)，所以DC＝
?
－，
?
，
2
? ?
22
??
2
?
22
?
313
??
33
??
13
?
3
?
?
－，
?
＝0，则×(－)＋
?
m－
?
＝0，因为AD⊥CD，所以
?
，m－
?
·
222
?
2
??
22
?2
??
2
3－y
3
解得m＝3，即C(1，3).因为E在CD 上，所以≤y≤3，由k
CE
＝k
CD
，得
2
1－x
3
3－
2
→
＝(x，y)，BE
→
＝(x－1，y)，所 以AE
→
·
→
＝(x，＝，即x＝3y－2，因为AEBE
1
1＋
2
y)·(x－1，y)＝x
2
－x＋y
2
＝(3y －2)
2
－3y＋2＋y
2
＝4y
2
－53y＋6，令f( y)＝4y
2
?
3
??
353
?
?
上单调 递－53y＋6，y∈
?
，3
?
.因为函数f(y)＝4y
2
－53y＋6在
?
，
8
??
2
??
2