高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨(向东来)

高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探
讨
在高中数学的学习中，同学们接触 到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表
示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可 进一步深化，引入向量的叉乘运算，
能够提升对向量的理解，方便问题的解决。
【】
1.叉乘的定义
1

要确定一个向量，需要知道它的模和方向。
如图1，对于给定的向量
a
和
b
，规定向量
c?a?b，满足：
（1）模：
c?absina,b

（2）方向：向量
c
的方向垂直于向量
a
和
b
（向量
a
和
b
构成的平面），且符合右手定则：
用右手的食指表示向量
a
的方向，然后手 指朝着
手心的方向摆动角度
?
(0?
?
?
?
)到向量
b
的
方向，大拇指所指的方向就是向量
c
的方向。
这里的
?
也就是
a,b
。
图1
c
b
θ
a
这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数
量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。
给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。
2.叉乘的性质
（1）显然有
a?a?0

（2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满 足反交换律，即
a?b??b?a
，这是
因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆 动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则
一定要将手倒过来才能满足
0?
?
?
?
，也就使得积向量反向。
（3）易得对数乘的结合律，即
?
?
a
?
?
b
?a?(
?
b)?
?
(a?b)

（4）可以证明分配律：
(a?b)?c?a?c?b?c
或< br>a?(b?c)?a?b?a?c

3.叉乘的几何意义
如图2，在平面上取 点
O，作OA?a,OB?b,
a?b?absina,b
，由三角形面积
公 式
S?
1
absin
?
可知
a?b
表示以
OA,OB
为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是
2

A
O A
O
C
以
OA,OB
为两边的平行四边形的面积。
即
a?b?2S
△OAB
?S
OABC

OB
B

图2
4.叉乘的坐标表示
将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步， 因为如果能在空间直角坐标
系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。
要想得到 叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基——单位正交基底出
发。给定一组单位正交基底< br>?
i,j,k
?
，为满足运算要求，应使
i,j,k
符
右手定则，即建立一个右手系，如图3。这样一来就有
z
y
合
i?j?kj?i??k
i?k??j

k?i?j

j?k?ik?j??i
从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。
k
O
i
j
x
图3
可设
a?a
1
i?a
2
j?a
3
k?(a
1
,a
2,a
3
),b?b
1
i?b
2
j?b
3
k?(b
1
,b
2
,b
3
)

则
a?b?
(a
1
i?a
2
j?a
3
k)?(b< br>1
i?b
2
j?b
3
k)

由向量叉乘的分配律可知，
原式?
a
1
b
2
i? j?
a
1
b
3
i?k?
a
2
b
1
j?i?
a
2
b
3
j?k?
a
3
b
1
k?i?
a
3
b
2
k?j
?
a
1
b
2
k?
a
1
b
3
(?j) ?
a
2
b
1
(?k)?
a
2
b
3
i?
a
3
b
1
j?
a
3
b
2
(?i)
?(a
b
?
ab
)i?(
ab
?
ab
)j?(
ab
?
ab
)k
?(
a b
?
ab
,
ab
?
ab
,
ab
?
ab
)
2
33231131221
233231131221

即
(a
1
,a
2
,a
3
)?(b< br>1
,b
2
,b
3
)?(
ab
?
ab
,
ab
?
ab
,
ab
?
ab
)< br>
233231131221
这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。
5.叉乘的实际应用
（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面 积问题得到了
极大简化。
【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD，且A(1,3,2) ，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平行
四边形的面积。
【分析】按照常规解法，应 用求空间角的公式求出
AB和AC
的夹角，再用
S?
1
absin< br>?
等相关公式计算。有了向量叉乘的帮助，可直接求
AB?AC
，即为所求面< br>2
积，从而使问题得到了极大简化，也减少了运算量。

【解答】
AB?(1,0,?1)
，
AC?(4,3,1)

?AB?AC?(3, ?5,3)
?AB?AC?3
2
?(?5)
2
?3
2
?43

?S
ABCD
?43
（2）推荐一种计算空间内点到直线 距离的方法。
2

如图4，对于给定的直线
l
和点C，可在
l
上取点
【】
B
(D)
A
A,B
，则
图４
C
d(C,AB)?
AB?AC
AB

这是 因为
AB?AC
表示平行四边形
ABCD
的面积，又等于
AB?d( C,AB)
，整理即
可得上式。
【例２】已知点A(1,3,2)，B(2,3,1)，求点C到直线AB的距离
【解答】
AB?(1,0,?1)
，
AC?(4,3,1)

?AB?AC?(3,?5,3)
?AB?AC?3
2
?(?5)
2
?3
2
?43

?d(C,AB)?
AB?AC
AB?
43
2
?
86
2
（3）求平面的法向量
由 于向量叉乘运算
c?a?b
中
c?a且c?b
，由立体几何知识可知，如果选 取一个平
面内两个不共线的向量，计算它们的叉乘，那么其积向量就
z
可以作为平面的 法向量。正是由于法向量在立体几何中的广
泛应用，这种方法也就可以大展身手。
【例3】A BCD为边长为4的正方形，
GC?
平面
ABCD，GC=2，E、F分别是AD、A B的中点，求点B到平
面EFG的距离。
G
【分析】这是高中数学的常见问题。按照 常规做法，应
利用数量积求出平面GEF的法向量，再利用点到平面距离
D
公式求解。 引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF
x
B
E
F
A
的法向量。下面列出两种解法，以供比较。
【解法1】如图5，建立空间直角坐标系（坐标原点为
图５
C），则A（4，4，0 ），B（0，4，0），D（4，0，0），E（4，
2，0），F（2，4，0），G（0，0，2） 。设平面EFG的一个法向量为
y
n?(x,y,z),则n?EF?n?GF?(x,y,z )?(?2,2,0)?(x,y,z)?(2,4,?2)?0

?3x?3 y?z
令x?1，则y?1,z?3
?n?(1,1,3)
?d(B,EFG)?n?BF
n
?
22
?11
11
11

【解法2】空间直角坐标系的建立同解法1.
?
EF?(?2,2,0),GF?( 2,4,?2)
?平面EFG的法向量为n?EF?GF?（?4,?4,?12)
?d(B, EFG)?

n?BF
n
?
8
411
?
2
11
11
B
６.叉乘的物理意义
正如向量的数量积对应于物理学中 的外力做功等物
I,L
θ
理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系，下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为
例作简要说明。
如图6，在磁感应 强度为B，方向水平向左的匀强
磁场中，有一段长为L的导线通有电流强度为I的电流，导线与磁场成角
?
。
图6
由物理学规律可知
F?BILsin
?
。
从数学的角度理解，虽然 中学物理中电流强度I被定义为标量，但由于电流有方向，不
妨把I理解为矢量
I
，则
F?BILsin
?
?LBIsin
?
。又F垂直于B和L所成的平 面，
且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”），故
F?L(I?B )

这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密结合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。
总之，在高中数学所学知识的基础之上，引入向量 的叉乘运算，又一次拓展了同学们的
视野，令人感受到数学的无穷魅力。

参考文献：
【１】 http:
【２】 向量_-_向量叉乘_向量点乘.doc
来自http:

（向东来）