高中数学经典解题技巧和方法平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量
一、向量的有关概念及运算
解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：
（1）正确理解相等向量、共线向量、相 反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻

（3）用已知向 量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还
要充分利用平 面几何的一些定理，充分联系其他知识。
（p,q)
，例1：（2010·山东高考理科·Ｔ 12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的
a=(m,n)
，
b?令
a
⊙
b
?mq?np
，下面说法错误的是（ ） < br>A.若
a
与
b
共线，则
a
⊙
b
?0
B.

a
⊙
b
?

b
⊙
a

C.对任意的
?
?R
，有
(
?
a)
⊙b
?

?
(a
⊙
b)
D. (
a
⊙
b
)
?(a?b)?ab

【命题立 意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决
问 题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B，若
a
与
b
共线，则有
a
⊙
b
?mq?np?0
，故A 正确；因为
b
⊙
a

?pn?qm
,，而
a
⊙
2
2
22
b
?mq?np
，所以有
a
⊙
b
?

b
⊙
a
，故选项B错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基 本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相
似性和一致性
二、与平面向量数量积有关的问题
解题技巧：与平面向量数量积有关的问题
1．解 决垂直问题：
a?b?ab?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0,其中a、b
均为非零向量。这一条件不能忽视。
2
22
2．求长度问题：
|a|?aa
，特别地
A(x
1
,y1
),B(x
2
,y
2
),则|AB|?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
。
3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据
cos(a,b)?
ab
?|a||b|
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
22
.

uuuruuur
例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 在
Rt?ABC
中，
?C
=90°AC=4，则
AB?AC
等于（ ）

A、-16 B、-8 C、8 D、16
【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于
?C
=90，因此选向量CA，CB为基底.
uuuruuur
【规范解答】
选D .
AB?AC
=(CB- CA)·(-CA)=-CB·CA+CA
2
=16.

【方法技巧】平面向 量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定
理.二是考查 数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.
2. （2010·广东高考文科·Ｔ 5）若向量
a
=(1,1)，
b
=(2，5)，
c
=(3， x)满足条件(8
a
—
b
)·
c
=30，则
x=< br>( )

A．6 B．5 C．4 D．3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出
8a?b
，再由向量的数量积列出方程，从而求出
x.

【规范解答】选
C
.
8a?b
?8(1,1)?(2,5)?(6 ,3)
，所以
(8a?b)?c?(6,3)?(3,x)

?30
. 即：
18?3x?30
，解得：
x?4
，故选
C
.
三、向量与三角函数的综合
例3．在直角坐标系
xOy中,已知向量a?(?1,2),又点A(8,0),B(ksin
?
,t)(0??
?
（I）若
AB?a,且|OA|?|AB|,求向量OB
；
?
2
.t?R).

（II）若向量
AB与向量a< br>共线，当
k?4,且tsin
?
取最大值为4时,求OA?OB.
< br>【解析】（1）
AB?(ksin
?
?8,t),?AB?a,??ksin< br>?
?8?2t?0
…………2分
又
?|OA|?|AB|,?64?(ksin
?
?8)?t
22
??
40?16540?165
ksin
?
?ksin?
?
??
??
55
解得
?
………………4分
,或
?
?
t?
85
?
t??< br>85
??
55
??
?OB?(
40?1658540?165 85
,)
或
OB?(,?)
…………6分
5555
（II）
?AB与向量a共线,?t??2ksin
?
?16
………………8分
432

?tsin
?
?(?2ksin
?
?16)sin
?
??2k(sin
?
?)
2
?
kk
4432
又k?4,?0??1,?sin
?
?时,tsin
?
取最大值为
…………10分
kkk

由
32
?
?4,得k?8,此时
?
?,OB?(4,8)

k6
?OA?OB?(8,0)?(4,8)?32
………………12分 注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化
为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。
例4．（2 010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量
a
，
b
满足
a?b?0,a ?1,b?2
，则
2a?b?
（ ）
A．0 B．
22
C．4 D．8
【命题立意】本小题考查向量的 基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思
想方法.
【思路点拨】根据公式
a?a
进行计算，或数形结合法，根据向量的
2
三角形法则、平行四边形法则求解.
【规范解答】选B （方法一）
2a?b?(2a?b)?4a?2a?b?b

2
22


?4?0?4?22
；（方法二）数形结合法：由条件
a?b?0
知，以向量
a
，
b
为邻边的平行四边形为矩形，又因为
a?1,b?2
，所以
2a=2
，
则
2a?b
是边长为2的正方形的一条对角线确 定的向量，其长度为
22
，如图所示.
【方法技巧】方法一：灵活应用公式
a?a
，
2
方法二：熟记向量
a?b?a?b?0
及向量和的三角形法则
例5．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）△ABC中，点D在
边AB上，CD平分∠ACB，若
CB
=
a
,
CA
=
b
,
a?1,b?2
， 则
CD
=（ ）
（A）
12213443
a
+
b
（B）
a
+
b
（C）
a
+
b
（D）
a
+
b

33335555
【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2
这样可以用向量
a
,
b
表示
CD
。

【规范解答】 选B，由题意得AD:DB =AC；CB=2:1,AD=
22
AB,所以
CD
?
CA
+
AD
?
b
+
AB

33
?
a
+
1
b

3
【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
例6．（2010· 浙江高考文科·Ｔ13）已知平面向量
?
,
?
,
?
?1,< br>?
?2,
?
?(
?
?2
?
),
则< br>2
?
?
?
的值是 。

【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。
【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。
【规范解答】 由题意可知
?
?
?
-2
?
?0
，结合
?< br>2
??
2
?1，
?
?4
，解得
?
?
?
?
2
1
，
2
所以
2
?
?
?
=
4
?
?4
?
?
?
??
?4?2?4?10
，开方可知答案为
10
.
【答案】
10

【方法技巧】（1）
a?b?a?b?0
；（2）
|a|?

22
a?a
。