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高一数学平面向量知识点与典型例题解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 20:46
tags:高中数学向量

高中数学老师师德培训心得体会-高中数学教师讲课评价语

2020年9月20日发(作者:申茂之)


高一数学 第八章 平面向量
第一讲 向量的概念与线性运算
一.【要点精讲】
1.向量的概念
?
uuur
?
a①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法
AB

a
;坐标表示法?xi?yj?(x,y)

uuur
?
a
向量的模(长度) ,记作|
AB
|.即向量的大小,记作||。
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
r
?
②零向量:长度为0的 向量,记为
0
,其方向是任意的,规定
0
平行于任何向量。(与0的区
别)
③单位向量|
?
a
0
?
?
|=1。④平行 向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作
a

b

?x
1
?
x
2
?
?
?
?
(x, y)?(x,y)
?
y
1
?
y
2

112 2
⑤相等向量记为
a
?
b
。大小相等,方向相同
2.向量的 运算
(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.
uuur
uuur< br>如图,已知向量
a

b
,在平面内任取一点
A
,作< br>AB?
a

BC?
b
,则向量
AC
叫做a

b
uuuruuuruuur
的和,记作
a+b
, 即
a+b
?AB?BC?AC

C
a
a+b
b
B
D
b
a
b
三角形法则
A
a
平行 四边形法则
a+b
C
B
特殊情况:
a
b
a?b(1)
A

a
b
a?b
A
B
(2)< br>CC
A
(3)
B

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:


uuuruuuruuur uuuruuuruuur
AB?BC?CD?L?PQ?QR?AR
,但这时必须“首尾相连 ”。
rrrr
a?b
②向量减法: 同一个图中画出
a?b、
要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
( 1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重
合的那条对角 线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。
(2) 三角形法则的特点是“首尾相 接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有
向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量 的终点指向被减向量的终点.
(3)实数与向量的积
??
?
?
3 .两个向量共线定理:向量
b
与非零向量
a
共线
?
有且只有 一个实数
?
,使得
b
=
?
a

二.【典例解析】
题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念
例1判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
a?b,则a?b

(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
?
??
?
??
a
?
b b
?
c
a
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若,,则
?
c

?
?
?
??
??
?
?
?
??
|a|
?
|b|
(7)若ab

bc
,则
ac
(8)
a
?
b
的充要条件是且
ab

(9) 若四边形ABCD是平行四边形,则
AB?CD,BC?DA


=2DC

”是“四边形ABCD为梯形”的 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中,“AB
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律
例2 化简
(AB?CD)?(AC?BD)
=
练习1.下列命题中正确的是
uuuruuuruuuruuuruuur
A.
OA?OB?AB
B.
AB?BA?0

ruuurruuuruuuruuuruuur
C.
0?AB?0
D.
AB?BC?CD?AD

uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
AC?CD?
BD?AB
得 2.化简
r
uuur
A.
AB
B.
DA
C.
BC
D.
0



3.如图,
D

E
F
分别是△
ABC
的边
AB

BC

CA
的中点,则( )
→→→→→→
A.
AD

BE

CF
=0 B.
BD

CF

DF
=0
→→→→→→
C.
AD

CE

CF
=0 D.
BD

BE

FC
=0

题型三: 结合图型考查向量加、减法
例3在
?ABC
所在的平面上有一点
P
,满足
uuuruuuruuuruuur
PA?PB?PC?AB
,则
?PBC

?ABC
的面积之比是
( )
1123
A

3

B

2

C

3

D

4

例4重心、垂心、外心性质



练习: 1.如图,在ΔABC中,D、E为边AB的两个三等分点,CA =3
a

→→→
CB =2
b
,求CD ,CE .

2已知
D
E
A
rrrr
a?b=a?b
rr
求证
a?b

B
C
uuuruuuruuuruuuruuur
3若
O

?ABC
的内心,且满足
(OB?OC)?(OB?OC?2OA)?0
,则
?ABC
的形状为
( )
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角


→→→
4.已知
O

A

B
是 平面上的三个点,直线
AB
上有一点
C
,满足2
AC
CB
=0,则
OC
=( )
2

1
1

A.2
OA

OB
B.-
OA
+2
OB
C.
OA

OB
D.-
OA
333
→→→→
2


OB

3



|
AB
|
→→→
5.已知平面 上不共线的四点
O

A

B

C
.若OA
-3
OB
+2
OC
=0,则等于________.

|
BC
|

→→→→
6.已知平面内有一点P
及一个△
ABC
,若
PA

PB

PC

AB
,则( )
A.点
P
在△
ABC
外部 B.点
P
在线段
AB
上 C.点
P
在线段
BC
上 D.点
P
在线段
AC




→→→< br>1
→→
7.在△
ABC
中,已知
D

AB< br>边上一点,若
AD
=2
DB

CD

CA< br>+
λCB
,则
λ
等于( )
3
2112
A. B. C.- D.-
3333
题型四: 三点共线问题
例4 设
e
1
,e
2
是不共线的向量,已知向量
AB?2e
1
?ke
2< br>,CB?e
1
?3e
2
,CD?2e
1
?e
2
,若
A,B,D三点共线,求k的值
→→→
例5已知A、B、C、P为平面内四点, A、B、C三点在一条直线上 PC =mPA +nPB ,
求证: m+n=1.


BC?e
1
?e
2
, CD?2e
1
?e< br>2
,则下列关系一定成立练习:1.已知:
AB?3(e
1
?e
2
),
的是( )
A、A,B,C三点共线 B、A,B,D三点共线
C、C,A,D三点共线 D、B,C,D三点共线
→→→
2.(原创题)设
a

b
是两个不共线的向量,若
AB
=2
a

kb

CB

a

b

CD
=2
a

b
,且
A

B

D
三点共线,则实数
k
的值等于________.


第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
一.【要点精讲】
1.平面向量的基本定理


??
?
e,e
a
12
如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量, 有且只有一对
实数
?
1
,
?
2
使:
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一 组
基底.
2.平面向量的坐标表示
???
??
r
r
如图,在直角坐标系内,我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的_单位向量_
i

j
作为基底
r
r
任作一个向量
a,有且只有一对实数
x

y
,使得
a?xi?yj
…… ……○1,把
(x,y)
叫做向
r
rrr

a
的( 直角)坐标,记作
a?(x,y)
…………○2其中
x
叫做
a

x
轴上的坐标,
y
叫做
a

y
轴上的 坐标,○2式叫做向量的坐标表示
rrr
r

a
相等的向量的坐标 也为
(x,y)
特别地,
i?(1,0)

j?(0,1)

0?(0,0)

特别提醒:设
OA?xi?yj
,则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标;反过来,点
A< br>的坐标
(x,y)
也就是向量
OA
的坐标因此,在平面直角坐标系内, 每一个平面向量都是可以用一对实
数唯一表示
3.平面向量的坐标运算
rr
rrrr
(x?x,y?y)
a?(x,y)b?(x,y)
1212
,< br>a?b
=
(x
1
?x
2
,y
1
? y
2
)

11

22
,则
a?b
=(1)若
r
uuur
(2) 若
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
,则
AB ?
(3)若
a?(x,y)
和实数
?
,则
r
?
a?
(
?
x,
?
y)

??
?
4.向量平行的充要条件的坐标表示:设
a
=(x
1
, y
1
) ,
b
=(x
2
, y
2
) 其中
b
?
a

A
?
??
a

b
(
b
0
)的充要 条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

二.【典例解析】
题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量
11
OC
?
OA,OD
?
OB
C
42
[例1] 在△
OAB
中,,
AD

BC
交于点
M
D
M

B
r
rr
r

OA
=
a

OB
=
b
,用
a
,
b
表示
OM
.
O


练习:1.若已知
e
1

e
2
是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一 组是 ( )
A.
e
1
与—
e
2
B.3
e
1
与2
e
2
C.
e
1< br>+
e
2

e
1

e
2
D.
e
1
与2
e
1

→→→
2.在平行四 边形
ABCD
中,
E

F
分别是边
CD

BC
的中点,若
AC

λAE

μAF
, 其中
λ

μ
∈R,则
λ

μ
=_____ ___.
题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算
例3 已知A(—2,4)、B(3 ,—1)、C(—3,—4)且
CM?3CA
,
CN?2CB
,求点M、N的 坐标及向量
MN
的坐标.

练习:1. (2008年高考辽宁卷)已 知四边形
ABCD
的三个顶点
A
(0,2),
B
(-1,- 2),
C
(3,1),
→→

BC
=2
AD
,则顶点
D
的坐标为( )
71
A.(2,) B.(2,-) C.(3,2) D.(1,3)
22

uuur
1
MP?
2
MN
, 求P点的坐标; 2.若M(3, -2) N(-5, -1) 且

uuur
1
uuuur
MP?MN
2
3.若M(3, -2) N(-5, -1),点P在MN的延长线上,且 ,
求P点的坐标;

2
(-x,x)
(x,1)
4.(2009年广东卷文)已知平面向量
a
= ,
b
=, 则向量
a?b
( )
A平行于
x
轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
D.平行于第二、四象限的角平分线 C.平行于
y

→→
5.在三角形
ABC
中,已知
A
(2,3),
B
(8,-4),点
G
(2,-1 )在中线
AD
上,且
AG
=2
GD

则点
C
的坐标是( )
A.(-4,2) B.(-4,-2) C.(4,-2) D.(4,2)


6.设向量
a< br>=(1,-3),
b
=(-2,4),
c
=(-1,-2),若表示向 量4
a
、4
b
-2
c
、2(
a

c
)、


d
的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量
d
为( )
A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)
1
→→
7.已知
A
(7,1)、
B< br>(1,4),直线
y

ax
与线段
AB
交于
C
,且
AC
=2
CB
,则实数
a
等于( )
2
45
A.2 B.1 C. D.
53
题型三: 平行、共线问题
1
b?
(,1
?
sin
?
)
2
例4已知向量
a?(1?sin
?
,1)
,,若
a

b
,则锐角
?
等于( )
A.
30?
B.
45?
C.
60?
D.
75?


例5.(2009北京卷文)已知向量
a?(1,0),b?(0,1),c? ka?b(k?R),d?a?b

如果
cd
那么 ( )
A.
k?1

c

d
同向 B.
k?1

c

d
反向
C.
k??1

c

d
同向 D.
k??1

c

d
反向
?
?
练习:1.若向量
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2)共线且方向相同,求x

2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及
OP?OA?tAB

求(1)t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限。
(2)四边形OABP能否构成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理
由。


3.已知向量
a
=(1,2),
b
=(0 ,1),设
u

a

kb

v
=2
a

b
,若
u

v
,则实数
k
的值为( )
11
A.-1 B.- C. D.1
22


m
4.已知向量
a
=(2 ,3),
b
=(-1,2),若
ma

nb

a< br>-2
b
共线,则等于( )
n
11
A.- B.2 C. D.-2
22

→→→
5.已知向量
OA
=(1,-3),
OB
=(2,-1),
OC=(
m
+1,
m
-2),若点
A

B

C
能构成
三角形,则实数
m
应满足的条件是( )
1
A.
m
≠-2 B.
m
≠ C.
m
≠1 D.
m
≠-1
2

6.已知点
A(4,0),B(4,4),C(2,6)
,试用向量方法求直线
AC

OB

O
为坐标原点)交点
P

坐标。


题型四:平面向量综合问题
ur
例6. 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量
m?(a,b)

rur
n?(sinB,sinA)

p?(b?2,a?2)
.
urr
(1) 若
m

n
,求证:ΔABC为等腰三角形;
?
r
ur
u
(2) 若
m

p
,边长c = 2,角C =
3
,求ΔABC的面积 .




1
→→
1
→→→
练习已知点
A
(-1,2),< br>B
(2,8)以及
AC

AB

DA
=-< br>BA
,求点
C

D
的坐标和
CD
的坐
33
标.



第三讲 平面向量的数量积及应用
一.【要点精讲】
(1)两个非零向量的夹角
已知非零 向量
a

a
,作
OA

a

OB

b
,则∠
AOA

θ
(0≤
θ

π
)叫
a

b
的夹角;
说明:两向量的夹角必须是同起点的,范围0≤≤180。

(2)数量积的概念
C
r
r
r
r
r
rr
r
非零向量
a

b

a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
叫做
a

b
的数量 积(或内积)。规定
r
r
0?a?0

r
r
a< br>?
b
rr
r
r
向量的投影:︱
b
︱cos< br>?
=
|a|
∈R,称为向量
b

a
方向上的 投影。投影的绝对值称为射
影;
r
rr
r
r
(3)数量积的几何意义:
a
·b
等于
a
的长度与
b

a
方向上的投影的乘积 .
注意:⑴只要
a

b
就有
a
·
b=0,而不必
a
=
0

b
=
0
. < br>⑵由
a
·
b
=
a
·
c

a
≠0却不能推出
b
=
c
.得|
a
|·|
b
|cosθ
1
=|
a
|·|
c
|cosθ
2
及|
a
|
≠0,只能得到|
b
|cosθ
1=|
c
|cosθ
2
,即
b

c
在< br>a
方向上投影相等,而不能得出
b
=
c
(见
图).
⑶ (
a
·
b
)
c

a
(
b
·
c
),向量的数量积是不满足结合律的.
⑷对于向量
a
b
,有|
a
·
b
|≤|
a
|·|< br>b
|,等号当且仅当
a

b
时成立.
(4)向量数量积的性质
rrr
2
r
2
a
①向量 的模与平方的关系:
?a?a?|a|

②乘法公式成立
?
r< br>r
r
r
r
2
r
2
r
2
r< br>2
a?b?a?b?a?b?a?b
???

?
r
r
a?b
?
2
r
2
r
rr
2
r2
r
rr
2
?a?2a?b?b?a?2a?b?b


③向量的夹角:cos
?
=
r
r
r
ra
?
b
cos
?
a,b
??
r
ra
?
b
x
1
x
2
?
y
1y
2
=
x
1
?
y
1
?
x2
?
y
2
2222

(5)两个向量的数量积的坐标运算
r
r
r
r
xx?yy
a?(x,y),b?(x,y)
12

1122
,则
a
·
b
=
12
已知两个向量
r
r
r
r
r
r
0
(6)垂直:如果
a

b
的夹角 为90则称
a

b
垂直,记作
a

b

?
?
?
?
两个非零向量垂直的充要条件:
a
b
?
a
·
b
=O
?
x
1
x< br>2
?y
1
y
2
?
0

22
222
|a|?x?y
a?(x,y)|a|?x?y
(7)平面内两点间的距离公式 设,则或。
22
|a|?(x?x)?(y?y)
1212
(平面内两点间的距离公式) .
二.【典例解析】
题型一:数量积的概念
例1.判断下列各命题正确与否:
r
r
r
r
rr
r
rr
r
(1)
0?a?0
;(2)
0?a?0
; (3)若
a?0,a?b?a?c
,则
b?c

r
rr< br>r
rrr
r
(4)若
a?b?a?c
,则
b?c当且仅当
a?0
时成立;
r
r
rr
r
rr< br>r
r
(5)
(a?b)?c?a?(b?c)
对任意
a,b, c
向量都成立;
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用
例2
r rrr
已知a?2,b?3,a与b的夹角为120
o
,求
rr
rr r
2
r
2
rrrr
(4)a?b
()1a?b;(2)a? b;(3)(2a?b)(?a?3b)




题型三:向量垂直、平行的判定
例3.已知向量
a?(2,3)

b?(x,6)
,且
ab
,则
x?

例4.已知

r
a?
?
4,3
?

r
b?
?
?1,2
?
r
r
rr
r
r
m?a?
?
b,
n?2a?b
,按下列条件求实数
?< br>的值。 ,
rr
rrrr
(3)m?n
(1)
m?n
;(2)
mn
;。



例5.已知:
a

b

c
是同一平面内的三个向量,其中
a
=(1,2)
(1) 若|
c
|
?25
,且
ca
,求
c
的坐标;
5
,
b
2
(2)若||=且
a?2b

2 a?b
垂直,求
a

b
的夹角
?
.
ur ururur
rr
ur
u
ur
u
?
?
?< br>?
?
?
?
练习1 若非零向量
?

?
满足,证明:
?
?
?



2 在△ABC中,
AB
=(2, 3),
AC
=(1,
k
),且△ABC的一个内角为直角,

k



1)

b?(2 , n)
,若
|a?b|?a?b
,则
n?
( ) 3.已知向量
a?(1 ,
A.
?3
B.
?1
C.
1
D.
3


4.

rrrrrrr
已知a?1,b?2,且a?b与a垂直,求a与b的夹角。

5.知
a,b,c

△ABC
的三个内角
A,B,C
的对 边,向量
m?(3,?1),n?(cosA,sinA)
.若
m?n
,且< br>acosB?bcosA?csinC
,则角
A,B

大小分别为( )
A.
ππ

63
2ππ

36
ππ< br>,
36
ππ

33
B. C. D.



题型四:向量的夹角
例6已知向量
a
=(cos
?
,sin
?
),
b
=(cos
?< br>,sin
?
),且
a
??
b
,求
a?b
a?b
的夹角


r
rrr
rrr
r
r
r
0
c?2a?b,d?3b?a
练习1已知两 单位向量
a

b
的夹角为
120
,若,试求
c
d
的夹角。


2.|
a
|=1,|
b
|=2,
c
=
a
+
b
,且
c

a
,则向量
a

b
的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°


3.设非零向量
a

b

c
满足|
a
| =|
b
|=|
c
|,
a

b

c
,则〈
a

b
〉=( )
A.150° B.120° C.60° D.30°


5
4.已知向量
a
=(1,2),
b
=(-2,-4),|
c
|=5,若(
a

b

c
=,则
a

c
的夹角为( )
2
A.30°或150° B.60°或120° C.120° D.150°

ruuur
uuuruuur
uuu
AE?yAC
xy?0
,5.过△
ABC
的重心任作一直线分别交
AB

AC
于点
D

E
.若
AD?xAB
,,
11
?xy
的值为( ) 则
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
11
?
xy
=3.选B. 解析:取△ABC为正三角形易得
?
?
?
?
?
4. 设向量
a

b
的夹角为
?

a?(3,3)
,< br>2b?a?(?1,1)
,则
cos
?
?


→→→→
5.在△
ABC
中,(
BC

BA

AC
=|
AC
|
2
,则三角形
A BC
的形状一定是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
.

6已 知向量
a?(sin
?
,?2)

b?(1,cos
?)
互相垂直,其中
?
?
?
(0,)
2


(1)求
sin
?

cos
?
的值;
(2)若
sin(
?
?
?
)
?
10
?
,0
?
?
?
102
,求
cos
?的值.




题型五:求夹角范围
rrrrr
rr
2
例7已知
|a|? 2|b|?0
,且关于
x
的方程
x?|a|x?a?b?0
有实根, 则
a

b
的夹角的取值
范围是
?
?
?
2
?
?
[,
?
][,][,
?
]
A.
[
0,
6
]
B.
3
C.
33
D.
6



练习1. 设非零向量
a
=
?
x,2x
?

b
=?
?3x,2
?
,且
a

b
的夹角为钝角,求
x
的取值范围
2.已知
a?(
?
,2
?
)

b?(3
?
,2)
,如果
a

b的夹角为锐角,则
?
的取值范围是

??
? ?
????
??
??
eeee
|
e
|
?< br>2|
e
|
?
1
2te
?
7e
23.设两个向量
1

2
,满足
1

2

1

2
的夹角为60°,若向量
1
??
e
与向量
1
?
te
2
的夹角为钝角,求实数
t
的取值范围.


与BC
4. 如图,在Rt△ABC中,已知BC=
a
,若长为2
a
的线段PQ以点A为中 点,问
PQ
的夹角
?
取何值时
BP?CQ
的值最大?并求出 这个最大值.
(以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系)


题型六:向量的模
C
a
r
rrr
rr
A
a?3,a?b?13,
b
o< br>ab
120
例8.已知向量与的夹角为,则等于( )
A.5 B.4 C.3 D.1


练习1平面向量a与b的夹角为
60
,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |等于


( )
D.12
0

A.
3


B.2
3
C.4
?< br>?
?
2.已知平面上三个向量
a

b

c< br>的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°,
?
?
?
?
?
?
(1)求证:
(a
?
b)

c
;(2 )若
|ka?b?c|?1
(k?R)
,求
k
的取值范围.



rr
rr
rr
r
a?(4,?3) ,|b|?1
a,b
3.平面向量中,已知,且
a?b?5
,则向量
b?
______.
4.已知|
a
|=|
b
|=2,a

b
的夹角为60
0
,则
a
+
b< br>在
a
上的投影为 。

rrrr
rr
rr
|3a?b|?

|a|?|b|?1,|3a?2b|?3
5.设向量
a,b
满足,则< br>
rr
rr
rr
|2a?b|?
___ ___。 6.已知向量
a,b
的方向相同,且
|a|?3,|b|?7
,则

7、已知O,N,P在
?ABC
所在平面内,且
OA?OB?OC,NA?N B?NC?0
,且
PA?PB?PB?PC?PC?PA
,则点O,N,P依次是?ABC
的 ( )
A.重心 外心 垂心
C.外心 重心 垂心


题型七:向量的综合应用
B.重心 外心 内心
D.外心 重心 内心
→→→→
例9.已知向量
OA
=(2,2),
OB
=(4 ,1),在
x
轴上一点
P
,使
AP
·
BP
有最小值,则
P
点的
坐标是________.


|
a
|
练习1.已知向量
a
与向量
b
的 夹角为120°,若向量
c

a

b
,且
a

c
,则的值为( )
|
b
|
123
A. B. C.2 D.3
23

→→
2 .已知圆
O
的半径为
a

A

B
是其圆周 上的两个三等分点,则
OA
·
AB
=( )
333
2
3
A.
a
2
B.-
a
2
C.
a
D.-
a
2

2222

→→→→
4.(原创题) 三角形
ABC

AP

BC
边上的中线,|
AB< br>|=3,
AP
·
BC
=-2,则|
AC
|=
________.

3
A
3
AA
5.在△
AB C
中,角
A

B

C
所对的边分别为
a< br>,
b

c
.已知
m
=(cos,sin),
n
=(cos,
222
sin),且满足|
m

n
|=3.
2
(1)求角
A
的大小;


A15
6.在
?ABC
中,
AB?AC?0

?ABC< br>的面积是
4
,若
|AB|?3

|AC|?5
,则< br>?BAC?
( )

?
3
?
5
?< br>2
?
(A)
6

(B)
3

(C)
4

(D)
6

7.已知< br>O
为原点,点
A,B
的坐标分别为
A(a,0)

B (0,a)
,其中常数
a?0
,点
P
在线段
AB
上 ,且有
AP?tAB
(0?t?1)
,则
OA?OP
的最大值为( )
(A)
a

(B)
2a

(C)
3a

(D)
a
2



rr
33xx
a?(cosx,sinx)b?(cos, ?sin)
22

22
。 8.已知向量
?
rrrrx?
[0,]
2
,求
a?b,|a?b|
; (1)当
3
?
?
?
?
?
(2)若
f(x)
?
a
?
b
?
2m|a
?
b|

2
对一切实数
x
都成立,求实数
m
的取值范围。



9. 若正方形
ABCD
边长为1,点
P
在线段
AC
上运动,则
AP?(PB?PD)
的取值范围
1
是 .[-2,
4
]


10. 已知
a,b
是两个互相垂直的单位向量, 且
c?a?1
,
c?b? 1
,
|c|?2
,则对任意的正实数
1
|
c?
t< br>a?b
|
t
,
t
的最小值是
22
.

各区期末试题
10. 在矩形
ABCD
中,
AB? 3

BC?1

E

CD
上一
D
E
C
uuuruuur
uuuruuur
点,且
AE? AB?1
,则
AE?AC
的值为( )


< br>19.如图,点
P
是以
AB
为直径的圆
O
上动点,< br>P
?
是点
P
关于
A
B
P
AB
的对称点,
AB?2a(a?0)
.
uuuruuur
?
(Ⅰ)当点
P
是弧
AB
上靠近
B
的三等分点时 ,求
AP?AB

A
O
B
P
?


值;
uuuruuur
(Ⅱ)求
AP?OP
?
的最大值和最小值.


uuur
(6)如图所示,点
C
在线段
BD< br>上,且
BC=3CD
,则
AD=
( )
uuuruuuruuuruuur
(A)
3AC?2AB
(B)
4AC?3AB

r
1
uuurr
2
uuur
4
uuu
1
uuu
AC?ABAC?AB
33
(C)
3
(D)
3

(16) 在平面直角坐标系
xOy
中,已知点
A(3,3)

B(5,1)< br>,
P(2,1)
,点
M
是直线
OP
上的一
个 动点.
(Ⅰ)求
uuuruuur
PB-PA
的值;
(Ⅱ)若四边形
APBM
是平行四边形,求点
M
的坐标;
uuuruuur
(Ⅲ)求
MA×MB
的最小值.

< br>A
?
3,0
?
B
?
0,3
?
C?
cos
?
,sin
?
?
3已知
A

B

C
三点的坐标分别为
⑵ 若
、、,且
??
?

?
π
?
2

?
?< br>2
?
.
uuuruuur
AC?BC
,求角
?
的值;
2
2sin
?
?
sin2
?
uuuruuur
1
?< br>tan
?
⑵ 若
AC?BC??1
,求的值.





2已知二次函数
f
?
x
?
对任意
x?R
,都有
f
?
1?x
?
?f
?
1?x
?
成立,设向量


1
??
a
?
?
sinx,2
?
,b
?
?
2sinx,
?
,c
?
?
cos2x,1
?
,d
?
?
1,2
?
x?
?
0,π
?
2
??
,当时,求不等式
f
?
a?b
?
?f
?
c?d?
的解集.
uuuur
3
uuur
1
uuur
AM?AB?AC
S:S
?
ABC
43
2.若点
M

?ABC
所在平面内一点,且满足,则
?
ABM
等于
( )
1111
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

6.已知O
为一平面上的定点,
A

B

C
为此平面上 不共线的三点,若
uuuruuuruuuruuur
BC?(OB?OC?2OA)?0, 则
?ABC
的形状是 .
3
a?(sinx,)
2

b?(cosx,?1)
. 8 .已知向量
(1)当
a

b
时,求
cosx?sin2x< br>的值;
2
(2)设
x
1

x
2
为 函数
f(x)??
2
?(a?b)?b
x?x
2
4
的两个零点,求
1
的最小值.


(5)如图,用向量
e
1

e
2
表示向量
a
-
b

(A)-2
e
2
-4
e
1

(B)-4
e
2
-2
e
1

(C)
e
2
-3
e
1

(D)-
e
2
+3
e
1


( )
uuuur
2
uuur
1
uuur
r
uuuu v
uuu
OMOAOB
(12)已知=
3
+
3
,设
AM

AB
,那么实数λ的值是____________.
( 16)已知向量
a
=(1,
3
),
b
=(-2,0). < br>(Ⅰ)求向量
a
-
b
的坐标以及
a
-
b
a
的夹角;(Ⅱ)当
t
∈[-1,1]时,求|
a
-
tb
|的取值范围.

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