搞笑高中数学老师-53高中数学难不难
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高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念:
①向量:
既有大小又有方向的量向量一般用……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写
字母表示,如:几何表
示法 ,;坐标表示法 向量的大小即向量的模(长度),记作||即向
量的大小,记作||
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行零向量=||=0 由
于
的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清
楚是否有“非零
向量”这个条件.(注意与0的区别)
③单位向量:模为1个单位长度的向量
向量为单位向量||=1
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行
向量都可以移到同一直
线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(
即自由向
量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量
数学
中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必
须区分清楚共线向量中
的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平
行”与几何中的“平行”是不一样
的.
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为大小相等,
方向相同
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,则+==
(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向
量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的
始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是
从减向量指向被减向量
(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个
向量的终
点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当
两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
则.向量加法的三角形
法则可推广至多个向量相加:
,但这时必须“首尾相连”.
3向量的减法
① 相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量
记作,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有: (i)=; (ii) +()=()+=;
(iii)若、是互为相反向量,则=,=,+=
②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,
记作:求两个向量差的运算,叫做向量的减法
③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)
4实数与向量的积:
①实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ);
(
Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是
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任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理:
向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=
6平面向量的基本定理:
如果是一
个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实
数使:,其中不共线的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件
(3)向量平行与直线平
行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线
(重合)的情况
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置
有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几
何问题,
特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算
向量的模、两点的距离
、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往
往会与三角函数、数列、不等式、解
几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点
例1 给出下列命题:
①
若||=||,则=;
②
若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③
若=,=,则=,
④=的充要条件是||=||且;
⑤ 若,,则,
其中正确的序号是
例2
设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:
①,② ③
例3设非零向量、不共线,=k+,=+k (k?R),若∥,试求k
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向
相同的两个单位向量作
为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量可表示成,由于与数对(x
,y)是一一对
应的,因此把(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y),其中x叫作在x轴上的坐
标,y叫做在y轴
上的坐标
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位
置有关
2平面向量的坐标运算:
(1) 若,则
(2) 若,则
(3)
若=(x,y),则=(x, y)
(4) 若,则
(5) 若,则
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若,则
a?b
3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(
内积)及其各运算的坐标表示
和性质
运算几何坐标运算
类型 方法 方法 性质
向
量
的
加
法
向
量
的
减
法
向
量
的
乘
法
1平行四边形法则
2三角形法则
三角形法则
是一个向量,
满足:
>0时,与同向;
<0时,与异向;
=0时, =
∥
向 是
量 一
的 个
数 数 ,
量 或
积
时,
=0
且
时,
例1
已知向量,,且,求实数的值
例2已知点,试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标
三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积(或内积)
规定
2向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义: ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:
5乘法公式成立:
;
6平面向量数量积的运算律:
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①交换律成立:
②对实数的结合律成立:
③分配律成立:
特别注意:(1)结合律不成立:;
(2)消去律不成立不能得到
(3)=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量,则·=
8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则∠AOB= ()叫做向量与的夹角
cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=0
0
,当且仅当与反方
向时θ=180
0
,同时与其它任何
非零向量之间不谈夹角这一问题
0
9垂直:如果与的夹角为90则称与垂直,记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件
:
⊥·=O平面向量数量积的性质
例1
判断下列各命题正确与否:
(1);(2);
(3)若,则;
⑷若,则当且仅当时成立;
(5)对任意向量都成立;
(6)对任意向量,有
例2已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角
例3
已知,,,按下列条件求实数的值
(1);(2);
高一数学平面向量测试题
1.已知向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=
( )
A.3 B. 9
C . 12 D. 13
2.已知点O为三角形ABC所在平面内一点,若,则点O是三角形ABC的
( )
A.重心 B. 内心
C. 垂心 D. 外心
3.设a=(2,-3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x等于
( )
A.-3 B. 3
C. D.
4.已知∥,则x+2y的值为 ( )
A.0 B. 2 C.
D. -2
5.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直,且|a|≠0,|
b|≠0,则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
6.在三角形ABC中,点D是AB的中点,且满足,则
7.(12分)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值
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8.(14分)已知|a|=,|b|=3,a与b夹角为,求使向量a+b
与a+b的夹角是锐角时,的取
值范围
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