高中数学平面向量基本概念

平面向量基本概念
一．考试内容：
向量.向量的加法与减法.实数与向 量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面
向量的数量积.平面两点间的距离.平移.
二．考试要求：
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
( 5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度
和垂直的问 题，掌握向量垂直的条件.
(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式， 并且能熟练运用.掌
握平移公式.
【注意】向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何 奠定了必要的基础，同时也为物理
学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切.在高考中的考查主要 集中在两个方面：①向
量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用.
三．基础知识:
1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，
3.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的 两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有
一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2．不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的
一组 基底．

4.向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，
则a
P
b(b
?
0)
? x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
. < br>5.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b |cosθ．
6. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
7.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)设A< br>(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y< br>2
)
,
uuuruuuruuur
则
AB?OB?OA?( x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
，则
?
a=(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y< br>2
)
.
8.两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y< br>2
1
2
1
2
2
2
2
(
a< br>=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2< br>,y
2
)
).
9.平面两点间的距离公式(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
uuuruuuruuur
d
A,B
=
|AB|?A B?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2< br>?y
1
)
2

10.向量的平行与垂直
设a=< br>(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，
则A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?< br>0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
11.线段的定比分公式
u uuruuur
设
P
1
P
2
的分点,
?
是 实数，且
PP
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)< br>是线段
P
1
?
?
PP
2
，则

?
x?
?
?
?
?
y?
?
?x
1
?
?
x
2
uuuruuur
uuurOP?
?
OP
2
1?
?
?
OP?
1< br>?

y
1
?
?
y
2
1?
?
1?
?
uuuruuuruuur
1
（）.
t?
OP?tOP?(1?t)OP
12
1?
?
12.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
? x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3< br>,)
.
33
13.点的平移公式
''
uuur
uuu
r
r
uuu
??
?
x?x?h
?
x ?x?h
''
?OP?OP?PP
?
?

?
''
??
?
y?y?k
?
y?y?k
uuur
注:图形 F上的任意一点P(x，y)在平移后图形
F
上的对应点为
P(x,y)
，且
PP
'
的坐标为
'
'''
(h,k)
.
14.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得
到点
P
'
(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y ?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
'
按向量a=< br>(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析式
y?f (x)
,则
C
'
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x,y)?0
按向量a=
(h,k)< br>平移后得到图象
C
'
,则
C
'
的方程为
f( x?h,y?k)?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.
注意：（1）函数按 向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变
性，可别忘了啊！
15. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则

uuur
2
uuur
2
uuur
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uu uruuuruuurr
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA ?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuuruuuruuurr
（4）
O
为
?ABC
的 内心
?aOA?bOB?cOC?0
.
（5）
O
为
?ABC
的
?A
的旁心
uuuruuuruuur
?aOA?bOB?cOC
.
四．基本概念
1、向量有关概念：
（1）向量的概念
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：
0
，注意零向量的方向是任意的；
uuur
uuur
AB
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量(与
AB
共线的单位向量是
?
uuu

r
)；
|AB|
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
a
、
b
叫做平行向量，记作：
a
∥
b
，规定零向量和任何向量平行。
提 醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线
平行是不同的两 个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线
重合；
r
③平行向量无传递性！（因为有
0
)；
uuuruuur
AC
共线； ④三点
A、B、C
共线
?
AB、
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向 量是－
a
。
2、向量的表示方法：
（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
AB
，注意起点在前，终点在后；
（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如
a
，
b
，c
等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与
x< br>轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
，
j
为基底，则 平面内的任一向量
a
可表示为
rrr
a?xi?yj?
?
x,y
?
，称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标 ，
a
＝
?
x,y
?
叫做向量
a
的坐标表示 。如果向量的起点在
原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3. 实数与向量的积： 实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作
?
a
，它的 长度和方向规定如下：
rr
?
1
?
?
a?
?
a,
?
2
?
当
?
>0时，
?
a
的方向与
a
的方向相同，当
?
<0时，
?
a
的方向 与
a
的方向
rr
相反，当
?
＝0时，
?
a ?0
，注意：
?
a
≠0。
4、平面向量的数量积：
uu urruuurr
（1）两个向量的夹角：对于非零向量
a
，
b
，作
OA?a,OB?b
，
?AOB?
?
?
0?
??
?
?
称为
向量
a
，
b
的夹角，当< br>?
＝0时，
a
，
b
同向，当
?
＝
?
时，
a
，
b
反向，当
?
＝
直。
?
时，
a
，
b
垂
2
rrrr
b
不同向，
a?b?0
是
?
为锐角的必要非充分条件；当
?< br>为钝当
?
为锐角时，
a
?
b
＞0，且
a、< br>rrrr
b
不反向，
a?b?0
是
?
为钝角的必要非充分条件； 角时，a
?
b
＜0，且
a、
（2）
b
在
a< br>上的投影为
6、向量的运算：
如图，在平面斜坐标
r
|b|cos< br>?
，它是一个实数，但不一定大于0。
系
xOy
中，
?xO y?60
o
，平面上任一点P关于斜坐
uuururuururuur
标系的 斜坐标是这样定义的：若
OP?xe
1
?ye
2
，其中
e< br>1
,e
2
分别为与
x
轴、
y
轴同方向的单位
向量，则P点斜坐标为
(x,y)
。
7.线段的定比分点：
当P点在线段 P
1
P
2
上时
?
?
>0；当P点在线段 P
1
P
2
?
的符号与分点P的位置之间的关系：
的延长线上时
?
?
<－1；当P点在线段P
2
P
1
的延长线上时
??1?
?
?0
；若点P分有向线段
uuuuruuuur
1。
PP
12
所成的比为
?
，则点P分有向线段
P< br>2
P
1
所成的比为
?