高一数学平面向量知识点及典型例题解析 (1)

高一数学 第八章 平面向量
第一讲 向量的概念与线性运算
一．【要点精讲】
1．向量的概念
?
uuur
?
a①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法
AB
，
a
；坐标表示法?xi?yj?(x,y)
。
uuur
?
a
AB
向量 的模（长度），记作||.即向量的大小，记作｜|。向量不能比较大小，但向量的模
r
?可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，规定
0< br>平行于任何向
量。（与0的区别）
③单位向量｜
?
a
0?
?
｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作
a
∥
b

?
x
1
?
x
2
?
?
?
?
?
y
1
?
y
2
⑤相等 向量记为
a
?
b
。大小相等，方向相同
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)
2．向量的运算（1）向量 加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量
a
，
b
，
uuur
uuur
在平面内任取一点
A
，作
AB?
a，
BC?
b
，则向量
AC
叫做
a
与
b
的和，记作
a+b
，即
uuuruuuruuur
a+b
?AB?BC?AC

C
a
a+b
b
B
D
b
a
b
三角形法则
A
a
a+b
C
B
平行四边形法则
特殊情况：
向量 加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
(1)
A

uuuruuur uuuruuuruuuruuur
AB?BC?CD?L?PQ?QR?AR
，但这时必须“ 首尾相连”。②向量减法： 同一个图
rrrr
a?b
中画出
a?b 、
要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知
向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条
对角线，方 向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个
向量的起点指向最后 一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的
终点指向被减向量的终点.（3） 实数与向量的积

??
?
?
3．两个向量共线定理：向量b
与非零向量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
， 使得
b
=
?
a
。
二．【典例解析】
题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念
例1判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
a?b,则a?b
?
??
?
??
a
?
bb
?
c
a
(5)两相等向量若共起点,则终点也相 同 (6)若，，则
?
c
；
?
?
?
??
??
?
?
?
??
|a|
?
|b|
(7)若
ab
，
bc
，则
ac
(8)
a
?
b
的充要条件是且
ab
；
(9) 若四边形ABCD是平行四边形,则
AB?CD,BC?DA

→
＝2DC
→
”是“四边形ABCD为梯形”的 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“AB
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律
例2 化简
(AB?CD)?(AC?BD)
=
练习1.下列命题中正确的是
uuuruuuruuuruuuruuur
A．
OA?OB?AB
B．
AB?BA?0

ruuurruuuruuuruuuruuur
C．
0?AB?0
D．
AB?BC?CD?AD

uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
AC?CD?
BD?AB
得 2.化简
r
uuur
A．
AB
B．
DA
C．
BC
D．
0

3．如图，
D
、
E
、
F
分别是△
ABC
的边
AB
、
BC
、
CA
的 中点，则( )
→→→→
＋
BE
＋
CF
＝0 －
CF
＋
DF
＝0
→→→→
＋
CE
－
CF
＝0 －
BE
－
FC
＝0
题型三: 结合图型考查向量加、减法
例3在
?ABC
所在的平面上有一点
P
，满足
uuuruuuru uuruuur
PA?PB?PC?AB
，则
?PBC
与
?ABC< br>的面积之比是
( )

1
123
A
．
3

B
．
2

C
．
3

D
．
4

例4重心、垂心、外心性质
→
练习: 1．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA =3
a
，
→→→
CB =2
b
，求CD ，CE ．
2已知
D
E
C
A
rrrr
a?b=a?b
B
uuuruuuruuuruuuruuur< br>3若
O
为
?ABC
的内心，且满足
(OB?OC)?(OB? OC?2OA)?0
，
则
?ABC
的形状为（ ）
rr
求证
a?b

A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角
形
→→→
4．已知
O
、
A
、
B
是平面上的三个点， 直线
AB
上有一点
C
，满足2
AC
＋
CB
＝0，则
OC
＝( )
1
→
2
→→→→→→
1
→
A．2
OA
－
OB
B．－
OA
＋2
OB

OA
－
OB
D．－
OA
＋
OB

333
→
|
AB|
→→→
5．已知平面上不共线的四点
O
，
A
，
B
，
C
.若
OA
－3
OB
＋2
OC＝0，则等于________．
→
|
BC
|
→→→→
6．已知平面内有一点
P
及一个△
ABC
，若
PA
＋PB
＋
PC
＝
AB
，则( )
A．点
P
在△
ABC
外部 B．点
P
在线段
AB
上 C．点
P
在线段
BC
上 D．点
P
在线段
AC
上
→→→
1
→→
7 ．在△
ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，若
AD
＝2
DB
，
CD
＝
CA
＋
λCB
，则
λ
等于( )
3
12
C．－ D．－
33
题型四: 三点共线问题
例4 设
e
1
,e
2
是不共线的向量,已知向量
AB?2e
1
?ke
2
,CB?e
1
?3e
2
,CD?2e
1
?e
2
,若
A,B,D三点共线,求k的值
→→→
例5已知A、B、C、P为平面内四点， A、B、C三点在一条直线上 PC =mPA +nPB ，求证： m+n=1．
BC?e
1
?e
2
, CD?2e
1
?e< br>2
，则下列关系一定成立练习：1．已知：
AB?3(e
1
?e
2
),
的是（ ）

A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线
C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线
→→→
2．(原创题)设
a
，
b
是两个不共线的向量，若
AB
＝2
a
＋
kb
，
CB
＝
a
＋
b
，
CD
＝2
a
－
b
，且
A
，
B
，
D
三点共线，则实数
k
的值等于________．
第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
??
e
一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果
1
,e
2
是一个 平面内的两个不共线向量，那么对
???
?
?
,
?
a
?
?
e
?
?
e
1122
其中不共线的向量这一平 面内的任一向量
a
，有且只有一对实数
12
使：
??
e1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2．平面向量的坐标表示
r
r
如图，在直角坐标系内，我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的_单位向量_
i
、
j
作为基底
r
r
任作一个向量
a，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
a?xi?yj
…… ……○1，把
(x,y)
叫做向
r
rrr
a?(x,y)
y
量
a
的（直角）坐标，记作…………○2其中
x
叫做
a在
x
轴上的坐标，叫做
a
在
y
轴上的坐标，○2式叫做 向量的坐标表示
rrr
r
与
a
相等的向量的坐标也为
(x ,y)
特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0?( 0,0)

特别提醒：设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的 坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标；反过来，点
A
的坐
标
(x,y)
也就是向量
OA
的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平 面向量都是可以用一对
实数唯一表示
3．平面向量的坐标运算
rr
rrr r
(x?x,y?y)
a?(x,y)b?(x,y)
1212
，
a ?b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

11
，
22
，则
a?b
=（1） 若
r
uuur
a?(x,y)
和实数
?
，则（2） 若A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y< br>2
)
，则
AB?
（3）若
r
?
a?
(
?
x,
?
y)

??< br>??
4．向量平行的充要条件的坐标表示：设
a
=(x
1
, y
1
) ，
b
=(x
2
, y
2
) 其中
b
?
a

?
??
a
∥
b
(
b
?
0
)的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1< br>?0

二．【典例解析】
C
O
A
M
D
B

题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量
1 1
OC
?
OA,OD
?
OB
42
[例1] 在△
OAB
中，，
AD
与
BC
交于点
M
，
r
rr
r
设
OA
=
a
，
OB=
b
，用
a
,
b
表示
OM
.
e
2
是平面上的一组基底，练习:1．若已知
e
1
、则下列各组向 量中不能作为基底的一组是 ( )
A．
e
1
与—
e
2
B．3
e
1
与2
e
2
C．
e
1< br>＋
e
2
与
e
1
—
e
2
D．
e
1
与2
e
1

→→→
2．在平行四 边形
ABCD
中，
E
和
F
分别是边
CD
和
BC
的中点，若
AC
＝
λAE
＋
μAF
， 其中
λ
、
μ
∈R，则
λ
＋
μ
＝_____ ___.
题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算
例3 已知A（—2,4）、B（3 ,—1）、C（—3,—4）且
CM?3CA
,
CN?2CB
,求点M、N的 坐标及向量
MN
的坐标.
练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形< br>ABCD
的三个顶点
→→
A
(0,2)，
B
(－1， －2)，
C
(3,1)，且
BC
＝2
AD
，则顶点
D
的坐标为( )
71
A．(2，) B．(2，－) C．(3,2) D．(1,3)
22
uuur
1
MP?
2
MN
, 求P点的坐标； 2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且
uuur
1
uuuur
MP?MN
2
3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P在MN的延长线上，且 ,
求P点的坐标；
2
（－x,x）
（x,1）
4.(2009年广东卷文)已知平面向量
a= ，
b
=， 则向量
a?b
( )
A平行于
x
轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
D.平行于第二、四象限的角平分线 C.平行于
y
轴
→→
5．在三角形
ABC
中，已知
A
(2,3)，
B
(8，－4)，点
G
(2，－1 )在中线
AD
上，且
AG
＝2
GD
，
则点
C
的坐标是( )
A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2)
6．设向量
a
＝(1，－3) ，
b
＝(－2,4)，
c
＝(－1，－2)，若表示向量4
a
、4
b
－2
c
、2(
a
－
c
)、
d
的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量
d
为( )

A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6)
1
→→
7．已知
A
(7,1)、
B< br>(1,4)，直线
y
＝
ax
与线段
AB
交于
C
，且
AC
＝2
CB
，则实数
a
等于( )
2
A．2 B．1
题型三: 平行、共线问题
1
b?
(,1
?
sin
?
)
2
例4已知向量
a?(1?sin
?
,1)
，，若
a
∥
b
，则锐角
?
等于（ ）
A．
30?
B．
45?
C．
60?
D．
75?

例5．（2009北京卷文）已知向量
a?(1,0),b?(0,1),c?ka?b(k ?R),d?a?b
，
如果
cd
那么 ( )
A．
k?1
且
c
与
d
同向 B．
k?1
且
c
与
d
反向
C．
k??1
且
c
与
d
同向 D．
k??1
且
c
与
d
反向
?
?
练习：1．若向量
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2)共线且方向相同，求x
2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及
OP?OA?tAB
，
求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。
(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。
3 ．已知向量
a
＝(1,2)，
b
＝(0,1)，设
u
＝a
＋
kb
，
v
＝2
a
－
b
， 若
u
∥
v
，则实数
k
的值为( )
1
A．－1 B．－ D．1
2
4．已知向量
a
＝(2,3)，
b
＝(－1,2)，若
m a
＋
nb
与
a
－2
b
共线，则等于( )
1
A．－ B．2 D．－2 2
→→→
5．已知向量
OA
＝(1，－3)，
OB
＝( 2，－1)，
OC
＝(
m
＋1，
m
－2)，若点
A
、
B
、
C
能构成三角形，
则实数
m
应满足 的条件是( )
1
A．
m
≠－2 B．
m
≠ C．
m
≠1 D．
m
≠－1
2
6．已知点
A(4,0),B(4,4),C(2 ,6)
,试用向量方法求直线
AC
和
OB
（
O
为坐 标原点）交点
P
的
坐标。
题型四：平面向量综合问题
m
n

urr
例6． 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量
m?(a,b)
，
n?(sinB,sinA)
，
ur
p?(b?2,a?2)
.
r
?
urrur
u
1
→→
1
→→
若
mnm
p
3
练习已知点
A
(－1,2)，
B< br>(2,8)以及
AC
＝
AB
，
DA
＝－
BA
，求点
C
、
D
的坐标
33
→
和
C D
的坐标．
第三讲 平面向量的数量积及应用一．【要点精讲】（1）两个非零向量的夹角已 知非零向量
a
与
a
，作
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，则∠
AＯA
＝
θ
（０≤
θ< br>≤
π
）叫
a
与
b
的夹角；
说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。
C
（2）数量积的 概念非零向
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
量
a
与
b
，
a
·
b
=︱a
︱·︱
b
︱cos
?
叫做
a
与
b< br>的数量积（或内积）。规定
0?a?0
；向
r
r
a
?
b
rr
r
r
量的投影：︱
b
︱cos
?< br>=
|a|
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影。投影 的绝对值称为射影；

r
rr
r
r
（3）数量积的几何意义：
a
·b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的投影的乘积 .注意：⑴只要
a
⊥
b
就有
a
·
b
=0， 而不必
a
=
0
或
b
=
0
．
⑵由
a
·
b
=
a
·
c
及
a
≠ 0却不能推出
b
=
c
．得|
a
|·|
b
| cosθ
1
b
c
=|
a
|·|
c
|cos θ
2
及|
a
|≠0，只能得到|
b
|cosθ
1< br>=|
c
|cosθ
2
，即
b
、
θ
1
θ
2
c
在
a
方向上投影相等，而不能得出
b
=
c
(见图)．
⑶ (
a
·
b
)
c< br>≠
a
(
b
·
c
)，向量的数量积是不满足结合律的．
⑷对于向量
a
、
b
，有|
a
·
b
|≤|
a
|·|
b
|，等号当且仅当
a
∥
b
时成立．
a

rrr
2
r
2
a
（ 4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：
?a?a?|a|
。
②乘法公式成 立
?
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
a?b?a?b?a?b?a?b
???
?
r
r
a?b
?
2
③向量的夹角：cos=
（5）两个向量 的数量积的坐标运算
r
2
r
rr
2
r
2
r
rr
2
?a?2a?b?b?a?2a?b?b
；
r
r
r
r
a
?
b
x
1
x
2
?
y
1
y
2
cos
?
a,b
??
r
r
2222
a
?
b
x
?
y
?x
?
y
1122
?
=
；
。
r
r
r
r
xx?yy
a?(x,y),b?(x,y)
12
。
1122
，则
a
·
b
=
12
已知两个 向量
r
r
r
r
r
r
0
（6）垂直：如果< br>a
与
b
的夹角为90则称
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b
。
?
?
?
?
两个非零向 量垂直的充要条件：
a
⊥
b
?
a
·
b
＝O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0

22
222
|a|?x?y
a?(x,y)|a|? x?y
（7）平面内两点间的距离公式设，则或。
|a|?(x
1
?x2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
(平面内两点间的距离公式) .
二．【典例解析】
题型一：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否：
r
r
r
r
rr
r
rr
r
a?0,a?b?a?c
（1）
0?a?0
；（2 ）
0?a?0
； （3）若，则
b?c
；
r
rr
r
rr
r
rr
r
r
r
r
r r
r
r
（4）若
a?b?a?c
，则
b?c
当且仅 当
a?0
时成立；（5）
(a?b)?c?a?(b?c)
对任意
a ,b,c
向量都成立；
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用
例2 rrrr
已知a?2，b?3，a与b的夹角为120
o
，求
rr
rrr
2
r
2
rrrr
（4）a?b
（）1a?b；（2 ）a?b；（3）（2a?b）（?a?3b）
；
题型三：向量垂直、平行的判定
例3．已知向量
a?(2,3)
，
b?(x,6)
，且
ab
，则
x?
。
例4．已知

r
a?
?
4,3
?
，
r
b?
?
?1,2
?
r
r
rr
r
r
m?a?
?
b,
n?2a ?b
，按下列条件求实数
?
的值。 ，
rr
rrrr
(3) m?n
（1）
m?n
；（2）
mn
；。

例5．已知：
a
、
b
、
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=（1，2）
（1） 若|
c
|
?25
，且
ca
，求
c
的坐标；
5
,
b
2
（2）若||=且
a?2b
与
2 a?b
垂直，求
a
与
b
的夹角
?
.
ur ururur
rr
ur
u
ur
u
?
?
?< br>?
?
?
?
练习1 若非零向量
?
、
?
满足，证明:
?
?
?

2 在△ABC中，
AB
=(2, 3)，
AC
=(1,
k
)，且△ABC的一个内角为直角，
求
k
值
1)
，
b?(2 , n)
，若
|a?b|?a?b
，则
n?
（ ） 3．已知向量
a?(1 ,
A．
?3
B．
?1
C．
1
D．
3

4 .
rrrrrrr
已知a?1，b?2，且a?b与a垂直，求a与b的夹角。
5．知
a，b，c
为
△ABC
的三个内角
A，B，C
的 对边，向量
m?(3，?1)，n?(cosA，sinA)
．若
m?n
，且
acosB?bcosA?csinC
，则角
A，B
的
大小分别为（ ）
A．
ππ
，
63
B．
2ππ
，
36
C．
ππ
，
36
D．
ππ
，
33

题型四：向量的夹角例6已知向量
a=(cos
?
,sin
?
),
b
=(cos
?
,sin
?
),且
a
??
b
，求
a?b< br>与
a?b
的夹角
r
rrr
rr
r
r
r
r
0
c?2a?b,d?3b?a
练习1已知两单位向量
a与
b
的夹角为
120
，若，试求
c
与
d
的夹角。

2．|
a
|=1，|
b
|=2，
c
=
a
+
b
，且
c
⊥
a
，则向量
a
与
b
的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．设非零向量
a
、
b
、
c
满足|
a
|＝|
b
|＝|
c
|，
a
＋
b
＝
c
，则〈
a
，
b
〉＝( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
5
4．已知向量
a
＝(1,2)，
b
＝(－2 ，－4)，|
c
|＝5，若(
a
＋
b
)·
c
＝，则
a
与
c
的夹角为( )
2
A．30°或150° B．60°或120° C．120° D．150°

ruuur
uuuruuur
uuu
AE?y AC
5.过△
ABC
的重心任作一直线分别交
AB
，
AC< br>于点
D
、
E
．若
AD?xAB
，，
xy?0
，
11
?
xy
的值为（ ）则（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取△ABC为正三角形易
11
?
xy
＝3．选B． 得
?
?
?
?
?
4. 设向量
a
与
b
的夹角为
?
，
a?(3,3)
，
2b?a?(?1,1)
，则
cos
?
?
．
→→→→
2
5．在△
ABC
中，(
BC
＋
BA
)·
AC＝|
AC
|，则三角形
ABC
的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
.
6已知向量
a?(sin
?
,?2)与
b?(1,cos
?
)
互相垂直，其中
（1）求
si n
?
和
cos
?
的值；
?
?
?
(0,)
2
．
sin(
?
?
?
)
?
（2）若
题型五：求夹角范围
10
?
,0
?
?
?
102
，求
cos
?
的值．
rrrrr
rr
2
例7已知
|a |?2|b|?0
,且关于
x
的方程
x?|a|x?a?b?0
有实 根,则
a
与
b
的夹角的取值
范围是
?
?
?
2
?
?
[,
?
][,][,
?
]A.
[
0,
6
]
B.
3
C.
33
D.
6

练习1．设非零向量
a
=
?
x,2x
?
，
b
=
?
?3x ,2
?
，且
a
，
b
的夹角为钝角，求
x
的 取值范围
2．已知
a?(
?
,2
?
)
，
b?(3
?
,2)
,如果
a
与
b
的夹角为锐角,则
?
的取值范围是
??
??
????
??
??
eeee
|
e
|
?
2|
e
|
?
1
2te
?
7e
2
与3．设两个向量
1
、
2
，满足
1
，
2
，
1
、
2
的夹角为60°，若向量
1
??
e
向量
1
?< br>te
2
的夹角为钝角，求实数
t
的取值范围.
与BC
4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=
a
，若长为2
a
的线段PQ以点A为中点，问
PQ

的夹角
?
取何值时
BP?CQ
的值最大？并求出这个最大值.
（以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）
题型六：向量的模
C
a
r
rrr
rr
a?3,a?b?13,
b
o
ab
120
例8．已知向量与的夹角为，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
0
A
练习1平面向量a与b的夹角为
60
，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于
（ ）
A.
3

3

?
?
?
2 ．已知平面上三个向量
a
、
b
、
c
的模均为1，它们相互之 间的夹角均为120°，
?
?
?
?
?
?
（1）求 证：
(a
?
b)
⊥
c
；（2）若
|ka?b?c| ?1
(k?R)
，求
k
的取值范围.
rr
rr
r r
r
a?(4,?3),|b|?1
a,b
3．平面向量中，已知，且
a?b?5
，则向量
b?
______.
4．已知|
a
|=|
b
|=2，
a
与
b
的夹角为60，则
a+
b
在
a
上的投影为 。
0
rrrrrr
rr
|a|?|b|?1,|3a?2b|?3
，则
|3a?b|?
。 5．设向量
a,b
满足
rr
rr
rr
|2a?b|?< br>___ ___。 6．已知向量
a,b
的方向相同，且
|a|?3 ,|b|?7
，则
OA?OB?OC,NA?NB?NC?0
?ABC
7、已 知O，N，P在所在平面内，且，且
PA?PB?PB?PC?PC?PA
，则点O，N，P依 次是
?ABC
的
A.重心 外心 垂心
C.外心 重心 垂心
题型七：向量的综合应用
B.重心 外心 内心
D.外心 重心 内心
（ )
→→→→
例9．已知向量
OA
＝(2,2)，
OB
＝(4,1)，在
x
轴上一点P
，使
AP
·
BP
有最小值，则
P
点的坐标是________．
|
a
|
练习1．已知向量
a
与向量
b
的夹角为120°，若向量
c
＝
a
＋
b< br>，且
a
⊥
c
，则的值为( )
|
b
|
C．2
→→
2．已知圆
O
的半径为
a
，
A
，B
是其圆周上的两个三等分点，则
OA
·
AB
＝( )

a
2
B．－
a
2
a
2
D．－
3
2
3
2
a

2
→→→→
4．(原创题)三角形
ABC
中
AP
为
BC
边上的中线，|
AB
|＝3，
AP
·
BC
＝－2，则|
AC
|＝________.
3
A
3
AA
5．在△
ABC< br>中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
.已知
m
＝(cos，sin)，
n< br>＝(cos，
222
sin)，且满足|
m
＋
n
|＝ 3.
2
(1)求角
A
的大小；
A
15
6．在< br>?ABC
中，
AB?AC?0
，
?ABC
的面积是
4
，若
|AB|?3
，
|AC|?5
，则
?BAC?
( )
7．已知
O
为原点，点
A,B
的坐标分别为
A(a,0)
，
B(0,a)
，其中常数
a?0
，点
P在线段
AB
上，且有
AP?tAB
(0?t?1)
，则
OA?OP
的最大值为（ ）
rr
33xx
a?(cosx,sinx) b?(cos,?sin)
22
，
22
。 8．已知向量
?
rrrr
x?
[0,]
2
，求
a?b,|a?b|
； （ 1）当
3
?
?
?
?
?
（2）若
f(x)< br>?
a
?
b
?
2m|a
?
b|
≥2
对一切实数
x
都成立，求实数
m
的取值范围。
9. 若正方形
ABCD
边长为1，点
P
在线段
AC
上运动，则< br>AP?(PB?PD)
的取值范围
1
是 ．[-2，
4
]
10. 已知
a,b
是两个互相垂直的单位向量, 且
c?a?1
,
c?b?1
,
|c|?2
,则对任意的正实 数
1
|
c?
t
a?b
|
t
,
t< br>的最小值是
22
.

各区期末试题
10. 在矩形
ABCD
中，
AB?3
，
BC?1
，
E是
CD
上一
D
E
C
uuuruuur
u uuruuur
点，且
AE?AB?1
，则
AE?AC
的值为（ ）
A
19.如图，点
P
是以
AB
为直径的圆
O
上动点，
P
?
是点
P
关于
B
P
AB
的对称点，
AB?2a(a?0)
.
uuuruuur
?
（Ⅰ）当点
P
是弧
AB
上靠近
B
的三等分点时 ，求
AP?AB
的
值；
A
O
B
uuuruuur
（Ⅱ）求
AP?OP
?
的最大值和最小值. uuur
（6）如图所示，点
C
在线段
BD
上，且
BC =3CD
，则
AD=
（ ）
uuuruuuruuuruuur
（A）
3AC?2AB
（B）
4AC?3AB

D
C
r
1
uuurr
2
uuur
4
uuu
1
uuu
AC? ABAC?AB
3333
（C） （D）
AB
(16) 在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
A(3,3)
，
B(5,1)< br>，
P(2,1)
，点
M
是直线
OP
上的
一个 动点.
（Ⅰ）求
uuuruuur
PB-PA
的值；
（Ⅱ）若四边形
APBM
是平行四边形，求点
M
的坐标；
uuuruuur
（Ⅲ）求
MA×MB
的最小值.
A
?< br>3，0
?
B
?
0，3
?
C
?
cos
?
，sin
?
?
3已知
A
、
B
、
C
三点的坐标分别为
⑵ 若
、、，且
?
?
?，
?
π
?
2
3π
?
?
2
?< br>.
uuuruuur
AC?BC
，求角
?
的值；
2
2sin
?
?
sin2
?
uuuruuur
1< br>?
tan
?
⑵ 若
AC?BC??1
，求的值.