高中数学2017-2018高三专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)

向量专题一三角形四心与向量关系
-内心、外心、重心、垂心（附向量知识点）
一、三角形四心知识点
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点
??
☆零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向 是任意的，
0
与任意向量平行
??
☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量
a
0
为单位向量
?
｜
a
0
｜＝1
☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量

☆向 量加法
AB?BC
=
AC
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
AB?BC?CD?

?PQ?QR?
，但这时必须“首尾相连”．
A
☆实数与向量的积：
??
①实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作λ
a
，它的长度与方 向规定如下：
（Ⅰ）
?
a
?
?
?
a
；
??
????
（Ⅱ）当
?
?0
时，λ
a
的 方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?
?
?0
时，
?a?0
，方向是任意的

☆两个向量共线定理：
??
?
?
向量
b
与非零向量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
，使得
b
=
?
a

☆平面向量的基本定理：
??
?
如果
e
1
,e< br>2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a
，有且只有 一
1

??
???
对实数
?
1
,
?
2
使：
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
，其中不共线的向量< br>e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
☆平面向量的坐标运算：
(1) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

(2) 若
A
?
x1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
?x
1
, y
2
?y
1
?

(3) 若
a
=(x,y)，则
?
a
=(
?
x,
?
y)
(4) 若
a?
?
x
1
,y1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

(5) 若
a?
?
x
1
,y
1?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b
，
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?0

☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各 运算的坐标表示和
性质
☆两个向量的数量积：
已知两个非零向量
a与
b
，它们的夹角为
?
，则
a
·
b
= ︱
a
︱·︱
b
︱cos
?

叫做
a
与
b
的数量积（或内积） 规定
0?a?0

☆向量的投影：︱
b
︱cos
?
=
a?b
∈R，称 为向量
b
在
a
方向上的投影投影的绝对值称为射影
|a|

☆数量积的几何意义：
a
·
b
等于
a
的长度与< br>b
在
a
方向上的投影的乘积
☆向量的模与平方的关系：
a?a?a
2
?|a|
2

☆乘法公式成立：
a?b?a?b?a?b?a?b
；
22
?? ??
2
2
?
a?b
?
2
?a
2
? 2a?b?b
2
?a?2a?b?b

2
2
☆向量的夹角： 已知两个非零向量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?
（
0
0?
?
?180
0
）
叫做向量
a
与
b< br>的夹角
2

cos
?
=
cos
?a
,
b??
a?b
a?b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
2222
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时，θ=0
0
，当 且仅当
a
与
b
反方向时θ=180
0
，同时
0与其
它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
补充：
线段的定比分点

设P
1
?
x
1
，y
1
?
，P2
?
x
2
，y
2
?
，分点P
?
x，y
?
，设P
1
、P
2
是直线
l
上两 点，P点在

??
l上且不同于P
1
、P
2
，若存 在一实数?，使P
1
P??PP
2
，则?叫做P分有向线段

?
P
1
P
2
所成的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且

x
1
??x
2
x
1
?x
2
?
?< br>x?
x?
?
?
??
1??
2

?

，P为P
1
P
2
中点时，
?
y??yy?y
22
?
y?
1
?
y?
1
?
?
1??2
?
?

如：?ABC，A
?x
1
，y
1
?
，B
?
x
2
， y
2
?
，C
?
x
3
，y
3
?
y?y
2
?y
3
??
x?x
2
?x
3

则?ABC重心G的坐标是
?
1
，
1
?

??
33


3

三、三角形四心与向量关系典型例题：
例1：
O
是平面上一定点 ，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OP?OA?< br>?
(AB?AC)
，
?
?
?
0,??
? ，则点
P
的轨迹一定通过
?ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
?ABC
，
D、E
分别为边
BC、AC
的 中点.
?AB?AC?2AD
?
OP?OA?2
?
AD

?OP?OA?AP?AP?2
?
AD
?AP

AD

?
点
P
的轨迹一定通过
?ABC
的重心，即选
C< br>.
例2：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的 三个点，动点
P
满足
OP?OA?
?
(
AB
AB< br>?
AC
AC
)
，
?
?
?
0,??< br>?
，则点
P
的轨迹一定通过
?ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：
?
ABAC
分别为
AB
、
、AC
方向上的 单位向量，
ABAC
AC
AC
平分
?BAC
,
?
AB
AB
?
?
点
P
的轨迹一定通过
?A BC
的内心，即选
B
.
例3：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OP?OA?
?
(
AB
ABcosB
?
AC
ACcosC

)
，
?
?
?
0,??
?
，则点
P
的轨迹一定通过
?ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
A
(
AB
ABcosB
?
AC
ACcosC
)
?BC

E
B
4

D
C

=
AB?BC
ABcosB
?
AC?BC
ACc osC

=
?ABBCcosB
ABcosB
?
ACBCc osC
ACcosC
=
?BC
+
BC
=0
?点
P
的轨迹一定通过
?ABC
的垂心，即选
D
.
三、四心与向量的结合
（1）
OA?OB?OC?0?
O
是
?ABC
的重心. < br>证法1：设
O
(
x
,
y
),
A
(< br>x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
C
(
x
3
,
y
3
)

A
OA?OB?OC?0?
O
E
?
(x
1
?x)?(x
2
?x)?(x
3
?x)? 0
?
?
(y
1
?y)?(y
2
?y)?(y
3
?y)?0
BDC
x
1
?x
2
?x
3
?
x?
?
?
3
?
?

?
O
是
?ABC
的重心.
?
y?
y1
?y
2
?y
3
?
3
?
证法2：如图
?
OA?OB?OC?OA?2OD?0

?
AO?2OD

?
A、O、D
三点共线，且
O
分
AD
为2：1
?
O
是
?ABC
的重心
（2）
OA?OB?OB ?OC?OC?OA?
O
为
?ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0
?OB?AC
同理
OA?BC
，
OC?AB
?
O
为
?ABC
的垂心
（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的 三条边长，O是
?
ABC的内心
B
A
E
O
DC
5

aOA?bOB?cOC?0?O
为
?ABC
的内心.
证明：
?
AB
c
、
AC
b
分别为
AB、AC
方向上的单位向量，
?
ABAC
c
?
b
平分
?BAC
, ?AO?
?
(
ABAC
c
?
b
)，令
?
?
bc
a?b?c

?
AO?
bc
AB
a?b?c
（
c
?
AC
b
)
化简得
(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

?
aOA?bOB?cOC?0

（4）
OA?OB?OC
?
O
为
?ABC
的外心。
6

A
E
BDC

7