高一数学《平面向量》复习知识点

1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区 别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量
就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
?
????
如已知A（1,2），B（4,2），则把向量
AB
按向量
a
＝（－1,3）平移后得到的向量是_____
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：
0
，注意零向量的方向是任意的；
????
????
AB
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量(与
AB
共线的单位向量是
?
????
)；
|AB|
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
a
、
b
叫做平行向量，记作：
a
∥
b
，规定零向量
和任何向量平行。
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两
条直线重合；
?
③平行向量无传递性！（因为有
0
)；
????????
④三点
A、B、C
共线
?
AB、 AC
共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的 相反向量是－
a
。
如下列命题：
??
??
（1）若
a?b
，则
a?b
。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
????????
（ 3）若
AB?DC
，则
ABCD
是平行四边形。
????????
（4）若
ABCD
是平行四边形，则
AB?DC
。
??? ?
??
（5）若
a?b,b?c
，则
a?c
。
? ???
??
（6）若
ab,bc
，则
ac
。其中正确的是_ _____
2、向量的表示方法：
（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
AB
，注意起点在前，终点在后；
（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如
a
，
b
，c
等；
（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与
x
轴、y
轴方向相同的两个单位向量
i
，
j
为基底，则平面内
???
的任一向量
a
可表示为
a?xi?yj?
?
x,y< br>?
，称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标，
a
＝
?
x,y
?
叫做向量
a
的坐标表示。如果向 量
的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e
1
和e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有 且只有
一对实数
?
1
、
?
2
，使a=
?< br>1
e
1
＋
?
2
e
2
。
?
???
如（1）若
a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)
， 则
c?
______
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.
e
1
?(0,0),e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?(5,7)
C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D.
e
1
?(2,?3),e
2
?(,?)

24??
??????????????????
????
（3）已知
AD, BE
分别是
?ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
AD?a ,BE?b
,则
BC
可用向量
a,b
表示为_____
（4）已知
?ABC
中，点
D
在
BC
边上，且
CD ?2DB
，
CD?rAB?sAC
，则
r?s
的值是___
???????????????
???????????????
?????
13
??
?
1
?
?
a?
?
a,
?2
?
当
?
>0时，
?
a
的方向与
a< br>的方向相同，当
?
<0时，
?
a
的方向与
a
的方向相反，当
?
＝0
??
时，
?
a?0
，注意：
?
a
≠0。
5、平面向量的数量积：
4、实数与向量的积：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作
?
a
，它的长度 和方向规定如下：
??????????
（1）两个向量的夹角：对于非零向量
a< br>，
b
，作
OA?a,OB?b
，
?AOB?
?


?
0?
?
?
?
?
称为向量
a
，
b
的夹角，当
?
＝0时，
a
，
b同向，当
?
＝
?
时，
a
，
b
反向，当
?
＝
2
时，
a
，
b
垂直。

1
?

??
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a
，
b
，它们的夹角为
?
，我们把数量
|a||b|c os
?
叫做
a
与
b
的数
??
量积（或内积 或点积），记作：
a
?
b
，即
a
?
b
＝< br>abcos
?
。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是
一个实数 ，不再是一个向量。
如（1）△ABC中，
|AB|?3
，
|AC|?4< br>，
|BC|?5
，则
AB?BC?
_________
?< br>??????
?
?
1
?
1
??
?
（ 2）已知
a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b
，
c
与
d
的夹角为，则
k
等于____
22
4
???? ??
b??3
，则
a?b
等于____ （3）已知
a?2,b? 5,a
?
?????????
???
????
??
（4）已 知
a,b
是两个非零向量，且
a?b?a?b
，则
a与a?b
的夹角为____
?
（3）
b
在
a
上的投影为
|b|cos
?
，它是一个实数，但不一定大于0。
?
（4）
a< br>?
b
的几何意义：数量积
a
?
b
等于
a的模
|a|
与
b
在
a
上的投影的积。
????
①
a?b?a?b?0
；
（5）向量数量积的性质：设两 个非零向量
a
，
b
，其夹角为
?
，则：
如已知< br>|a|?3
，
|b|?5
，且
a?b?12
，则向量
a
在向量
b
上的投影为______
??
??
??
????
?
2
???
2
??
2
②当
a< br>，
b
同向时，
a
?
b
＝
ab
，特别 地，
a?a?a?a,a?a
；当
a
与
b
反向时，
a
?
b
＝－
ab
；
??????
当
?为锐角时，
a
?
b
＞0，且
a、 b
不同向，
a?b?0
是
?
为锐角的必要非充分条件；当
?
为钝角时，
a
?
b
＜0，且
a、 b
??
不反向，
a?b?0
是
?
为钝角的必要非充分条件；
??
????
a?b
③非零向量
a
，
b
夹 角
?
的计算公式：
cos
?
?
??
；④
| a?b|?|a||b|
。
ab
如（1）已知
a?(
?
, 2
?
)
，
b?(3
?
,2)
，如果
a与
b
的夹角为锐角，则
?
的取值范围是______
???? ??
13
（2）已知
?OFQ
的面积为
S
，且
OF ?FQ?1
，若
?S?
，则
OF,FQ
夹角
?
的取 值范围是_________（答：
22
??
(,)
）；
43??????
??
??
??
??
????
??
（3）已知
a?(cosx,sinx),b?(cosy,siny),
a
与
b
之间有关系式
ka?b?3a?kb,其中k?0
，①用
k
表示
a?b
；
??
k
2
?1
??
??
1
(k?0)
；②最小值为，
?
?60
?
） ②求
a?b
的最小值，并求此时
a
与
b
的夹角
?
的大小 （答：①
a?b?
4k
2
6、向量的运算：
（1）几何运算： < br>①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向 量加
????
??????????????
??????????
??法还可利用“三角形法则”：设
AB?a,BC?b
，那么向量
AC
叫做
a
与
b
的和，即
a?b?AB?BC?AC
；
? ???????????????????????
②向量的减法：用“三角形法则”：设
AB ?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA
，由减向量的终点指向被减向
量的终点。注意 ：此处减向量与被减向量的起点相同。
????????????????
???????? ????????????????
如（1）化简：①
AB?BC?CD?
___；②
AB?AD?DC?
____；③
(AB?CD)?(AC?BD)?
___ __
??????????????????
（2）若正方形
ABCD
的 边长为1，
AB?a,BC?b,AC?c
，则
|a?b?c|
＝_____
????????????????????
?ABC
（3）若O是所在平面内一点， 且满足
OB?OC?OB?OC?2OA
，则
?ABC
的形状为____ < br>????
?????????????
|AP|
?
?
?
，
（4）若
D
为
?ABC
的边
BC
的中点，?ABC
所在平面内有一点
P
，满足
PA?BP?CP?0
，设
???
|PD|
?????????????
（5）若点
O
是
△ABC
的外心，且
OA?OB?CO?0
，则
△ABC
的内角
C
为____
则
?
的值为___
??
（2）坐标运算：设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2,y
2
)
，则：

2

??
①向量的加减法运算：
a?b?(x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
)
。
????
如（1）已知点
A(2, 3),B(5,4)
，
C(7,10)
，若
AP?AB?
?
AC(
?
?R)
，则当
?
＝____时，点P在第一、三象限的角< br>平分线上
????????
,)
，则
x?y?

2
?????????
2
???????????
（3）已知作用在 点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F
2
?(2,?5),F
3
?(3,1)
，则合力
F?F
1
?F
2
?F
3
的终点坐标是
（2）已知
A(2 ,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)
，
x,y?(?
（答：（9 ,1））
?
1
???
2
??
?
②实数与向量的积 ：
?
a?
?
?
x
1
,y
1
??
?
?
x
1
,
?
y
1
?。
????
③若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2< br>?x
1
,y
2
?y
1
?
，即一个向量的坐标 等于表示这个向量的有向线段的终点坐
??
④平面向量数量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
。如已知向量
a
＝（sinx，cosx）,
b
＝（sinx，sinx）,
c
＝（－1，0）。
?
3
??
1
,]
， 函数
f(x)?
?
a?b
的最大值为，求
?
的值 （1）若 x＝，求向量
a
、
c
的夹角；（2）若x∈
[?
8423
???
??
????
2
22222
?
⑤向量 的模：
|a|?x?y,a?|a|?x?y
。如已知
a,b
均为单位向量， 它们的夹角为
60
，那么
|a?3b|
＝
⑥两点间的距离：若
A
?
x
1
,y
1
?
,Bx,
?
2
y
?
?
????
1
????
???????标减去起点坐标。如设
A(2,3),B(?1,5)
，且
AC?AB
，
AD?3AB
，则C、D的坐标分别是__________
3
_____
??????????????
?xOy?60
， 平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若
OP?xe
1
?ye
2
，其中
e
1
,e
2
分别为与x轴、y
轴同方向的 单位向量，则P点斜坐标为
(x,y)
。
（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；
（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系
xOy
中的方程。；
7、向量的运算律：
2
?
，则
|AB|?
?
x< br>2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
22
。如如图，在平面斜坐标系
xOy
中，
????< br>??
????
（1）交换律：
a?b?b?a
，
??
a?
?
??
?
a
，
a?b?b?a
；
? ?????????????????
(2)结合律：
a?b?c?a?b?c,a?b?c? a?b?c
，
?
a?b?
?
a?b?a?
?
b；
??????????????
（3）分配律：
?
?
??
?
a?
?
a?
?
a,
?
a?b?< br>?
a?
?
b
，
a?b?c?a?c?b?c
。

??
???
??
???
??
??
??? ?
?
2
??
2
?
2
?
2
??2
?
2
???
2
⑧
(a?b)?a?b
；⑨< br>(a?b)?a?2a?b?b
。其中正确的是______
如下列命题中：①
a?(b?c)?a?b?a?c
；②
a?(b?c)?(a?b)?c
；③
(a?b)
?|a|
???
??
??
???
??
????
??
2< br>2
a?bb
?2|a|?|b|?|b|
2
；④ 若
a?b? 0
，则
a?0
或
b?0
；⑤若
a?b?c?b,
则
a?c
；⑥
a?a
；⑦
?
2
?
?
；
a
a
???????????
??
2
提醒：（1）向量运 算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以
一个实数， 两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向
量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
a(b?c)?(a?b)c
， 为什么？
????
??
2
??
2
8、向量平行(共线)的 充要条件：
ab?a?
?
b
?(a?b)?(|a||b|)
?x< br>1
y
2
?y
1
x
2
＝0。
??< br>??
如(1)若向量
a?(x,1),b?(4,x)
，当
x
＝_____时
a
与
b
共线且方向相同
???????????? ????
ABACABAC
(
????
?
????
)?(< br>????
?
????
)
。
ABACABAC
??? ???
??
??
（2）已知
a?(1,1),b?(4,x)
，u?a?2b
，
v?2a?b
，且
uv
，则x＝______；
????????????
（3）设
PA?(k,12),PB?(4,5),PC? (10,k)
，则k＝_____时，A,B,C共线
????????
9、向量垂 直的充要条件：
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x
1x
2
?y
1
y
2
?0
.特别地
??? ?????
????????
如(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)< br>，若
OA?OB
，则
m?

（2）以原点O和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，
?B?90?
，则点B的坐标是_____ ___

3

???
???
??
?（3）已知
n?(a,b),
向量
n?m
，且
n?m
， 则
m
的坐标是________
10.线段的定比分点：
（1）定比分点 的概念：设点P是直线P
1
P
2
上异于P
1
、P
2
的任意一点，若存在一个实数
?
，使
PP?
?
PP
2
，则
1
????????
??????????
?
叫做 点P分有向线段
PP
?
的定比分点；
12
所成的比，P点叫做有向 线段
PP
12
的以定比为
（2）
?
的符号与分点P的位置之 间的关系：
当P点在线段 P
1
P
2
上时
?
?
>0；
当P点在线段 P
1
P
2
的延长线上时
?
?
<－1；当P点在线段 P
2
P
1
的延长线上时
??1?
?
?0
；
??????????
1
?
若点P分有向线段
PP
所成的比 为，则点P分有向线段所成的比为。
PP
1221
?
????????3
如若点
P
分
AB
所成的比为，则
A
分
BP
所成的比为_______
4
x
1
?
?
x
2
?
x?
?
?????
?
1?
?
?
（3）线段的定比分点公式：设
P
、，分有向线段所成的比为，则，
P(x ,y)
(x,y)P(x,y)
PP
?
111222
12
y ?
?
y
2
?
y?
1
?
1?
??
x
1
?x
2
?
x?
?
?
2
?
特别地，当
?
＝1时，就得到线段P
1
P
2的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确
(x,y)
，
?
y?
y
1
?y
2
?
?2
(x
1
,y< br>1
)
、
(x
2
,y
2
)
的意义，即 分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分
点和终点，并根据 这些点确定对应的定比
?
。
???
1
???
如（1）若M （-3，-2），N（6，-1），且
MP??MN
，则点P的坐标为_______
3
?????????
1
（2）已知
A(a,0),B(3,2?a)，直线
y?ax
与线段
AB
交于
M
，且
AM? 2MB
，则
a
等于_______
??
x
?
?x ?h
f(x,y)?0
11.平移公式：如果点
P(x,y)
按向量
a?
?
h,k
?
平移至
P(x
?
,y
?< br>)
，则
?
；曲线按向量
a?
?
h,k
??
k
?
y
?
?y?
2
平移得曲线
f( x?h,y?k)?0
.
注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？
（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
??
如（1）按向量
a把
(2,?3)
平移到
(1,?2)
，则按向量
a
把点
(?7,2)
平移到点______
（2）函数
y?sin2x
的 图象按向量
a
平移后，所得函数的解析式是
y?cos2x?1
，则
a
＝________
12、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
??
??
?
??????
????
b
同向或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
（2）
|| a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
，特别地，当
a、
??
???
????
????
????
b
反向或有
0
?
|a?b|?|a?
b
不共线；当
a、
?
||a|?|b||?|a?b|
；当
a、
|b|
?
|a|?|b|?|a|?|b
??????
).
?
|a|?| b|?|a|?|b?a|?|
(这些和实数比较类似
b
?
x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?（3）在
?ABC
中，①若
A
?
x
1
,y1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
, C
?
x
3
,y
3
?
，则其重心的坐标为
G
?
1
,
?
。如
33
??
若⊿ABC的三边 的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______
????????????????
?????????????
1
②
PG?(PA?PB?PC)?
G
为
?ABC
的重心，特别地
PA ?PB?PC?0?P
为
?ABC
的重心；
3
????????? ???????????????
③
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
为?ABC
的垂心；
????
????
AC
AB
??
????
)(
?
?0)
所在直线过
?ABC
的内心(是
?BAC
的角平分线所在直线)；
④向量
?
(
???
|AB||AC|
4

1?
?
??????????
????
1
?MP< br>2
； 点
?MP?
MP
2
????????????
????????????
（4）向量
PA、 PB、 PC
中三终点
A、B 、C
共线
?
存在实数
?
、
?
使得
PA?< br>?
PB?
?
PC
且
?
?
?
?1.如平面直
?????????????????????????
⑤
|AB|P C?|BC|PA?|CA|PB?0?P
?ABC
的内心；
??????????
?????
????
MP?
?
MP
2
，特别地P
为
PP
的中
?
，点
M
为平面内的任一点，则
MP?
1
（3）若P分有向线段
PP
12
12
所成 的比为
角坐标系中，
O
为坐标原点，已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
,若点
C
满足
OC?
???
?
1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?
2
?R
且
??????
????????
?
??? ?
1．已知
O,A,B
是平面上的三个点，直线
AB
上有一点
C
，满足
2AC?CB?0
，则
OC
=（ ）
?< br>1
?????
2
????
????????????????
2
???
1
???
A．
2OA?OB
B.
?OA?2OB
C.
OA?OB
D.
?OA?OB

3333
?
?
?
??
?< br>2．设
a?(1,?2),b?(?3,4),c?(3,2)
，则
(a?2b )?c
=（ ）
A．
(?15,12)
B.
0
C.
?3
D.
?11

?
1
?
?
2
?1
,则点
C
的轨迹是_______（答：直线AB）
?
?
?
?< br>3．已知向量
a?(2,?3),b?(3,
?
)
，若
a?
b
，则
?
等于（ ）
292
B.
?2
C.
?
D.
?

323
??????????????????
4．已知 两点
M(?2,0),N(2,0)
，点
P
为坐标平面内的动点，满足
MN?MP?MN?NP?0
，则动点
P(x,y)
的轨迹
A．
方 程为（ ）
A．
y?8x
B.
y??8x
C.
y?4x
D.
y??4x

2222
?????????
????
???
?
333
?
,
?
，则
AB
与
BC
夹角的取值范围是（ ） 5．在
?ABC
中，
AB?BC?3
，
?ABC
的面积
S?
?
?
?
42
??
??
??
??
??
??
??
??
?
,
?
B.
?
,
?
C.
?
,
?
D.
?
,
?

?
43
??
64
??< br>63
??
32
?
?
????
?
?
?
?
6．已知
i
与
j
为互相垂直的单位向量，且
a< br>与
b
的夹角为锐角，则实数
?
的取值范围是（ ）
a?i?2j,b?i?
?
j
，
A．
?
A．
???,?2
?
?(?2,)
B.
?
1
22
??
2
1
?
??
?
1
??
,??
?
C.
?
?2,
?
?
?
,??
?
D.
?
??,
?

3
??
3
2
?
??
?
2
??
11
?
= ．
ab
?
?
?
?
0?
?
?
?< br>8．设向量
a?(1,0),b?(cos
?
,sin
?
),
其中，则
a?b
的最大值是 ．
7．若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab?0)
共线，则
?????
? ?
??
???
??
9．设
i,j
是平面直角坐标系内
x
轴、
y
轴正方向上的单位向量，且
AB?4i?2j,AC?3i?4j
，则
?ABC
面积的
值等于 ．
?
??
?
?
?
0
10．已知向量
a
与
b< br>的夹角为
120
，
a?1,b?3
，则
5a?b
= ．
11．设
A,B
为圆
x?y?1
上两点，
O
为 坐标原点（
A,O,B
不共线）
22
?????
3
??? ?????????????
?
?
??
?
???
⑴求证：< br>OA?OB
与
OA?OB
垂直．⑵当
?xOA?,?xOB?
?
,
?
?
?
?,
?
且
OA?OB?
时，求
sin
?
的
5
4
?
44
?

5