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高中数学向量的表示和共线

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 20:51
tags:高中数学向量

高三学生如何学好高中数学-高中数学课堂规范要求

2020年9月20日发(作者:茅镇岱)



向量
一.基础知识回顾
1.平面向量基本定理
对 于任意a,若以不共线的向量e
1
,e
2
作为基底,则存在唯一的一组实数对 λ,μ,使a
=λe
1
+μe
2
.
2.共线向量定理 < br>向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b=λ·a.如果向量a=(x
1

y
1
),b=(x
2
,y
2
),则a∥ b 的充要条件是x
1
y
2
=x
2
y
1
或 者x
1
y
2
-x
2
y
1
=0,即用坐标表 示的两个
向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时,这个x
2
y
2
充要条件也可以写为=,即对应坐标的比值相等.
x
1
y
1
→→→
如果OA=xOB+yOC,则A,B,C三点共线的 充要条件是x+y=1.
3.向量的坐标运算
a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),则a+b=(x
1
+x
2
,y
1
+y
2
),a-b=(x
1
-x
2
,y
1
-y
2
),λa=(λx
1
,λ y
1
).


二.例题分析
1.向量的表示与基本定理
uuuruuuruuur
例1.如图,平面内有三个向量
OA

O B

OC
,其中与
OA

OB
的夹角为120°,
OA

OC
uuuruuur
的夹角为30°,且|
OA< br>|=|
OB
|=1,|
OC
| =
23
,若
OC

λ
OA
+
μ
OB

λ,μ
∈R),

λ
+
μ
的值为 .
例2 .在?ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=________. →→→
例3.(2013年绍兴模拟)如图,点M是△ABC的重心,则MA+MB-MC等于( )

A.0

C.4MF

例4:如图,设点P、Q是线段AB的三等分点,
uuuruuur
uuur
OBOP

OA
=a,=b,则= ,
b
a
O
→→→→→

B.4ME


D.4MD

B
A
F
M
D
B
E
C
Q
P
2
uuur
OQ
= (用a、b表示)




例5.如图,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H, M为AH的中
→→→
点,若AM=λAB+μBC,则λ+μ=________.

→→
例6.(2013年菏泽质检)如图,已知AB是圆O的直径,点C、D等分AB,已知A B=a,AC

=b,则AD等于( )
1
A.a-b
2
1
C.a+b
2
1
B.a-b
2
1
D.a+b
2
uuurruuurrrrrr
uuur
例7.

?AB C
中,
AB
边上的高为
CD
,若
CB?a,CA?b,a? b?0,|a|?1,|b|?2
,则
AD?
( )
1
r
1
r
2
r
2
r
3
r
3
r
4
r
4
r
A.
a?b
B.
a?b
C.
a?b
D.
a?b

33335555

例8.(2013年苏北四市联考)如图,在四边形ABCD中, AC和BD相交于点O,设AD=a,
→→→→
AB
=b,若AB=2DC,则AO= ________(用向量a和b表示).

r
rr
r
例9.(2 013广东卷文10)设
a
是已知的平面向量且
a?0
,关于向量
a
的分解,有如下四个
rr
rrr
命题:①给定向量
b
,总存 在向量
c
,使
a?b?c

rr
rrr
②给定向 量
b

c
,总存在实数
?

?
,使
a?
?
b?
?
c

rr
rrr
③给定 单位向量
b
和正数
?
,总存在单位向量
c
和实数
?
,使
a?
?
b?
?
c

rr
r rr
④给定正数
?

?
,总存在单位向量
b
和单位 向量
c
,使
a?
?
b?
?
c

rrr
上述命题中的向量
b

c

a
在同一平面内 且两两不共线,则真命题的个数是
A.1


B.2 C.3 D.4

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