高中数学平面向量讲义

专题六 平面向量
一. 基本知识
【1】 向量的基本概念与基本运算
（1）向量的基本概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
??
②零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，
0
与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
ruuuruuur
uuur
r
uuur
r
?
ruuu
（2）向量的加法：设
AB?a,B C?b
，则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC< br>
?
??
?
?
①
0?
a
?
a
?0?
a
；②向量加法满足交换律与结合律；
uuuruuuruuur uuuruuuruuur
AB?BC?CD?
L
?PQ?QR?AR
，但这 时必须“首尾相连”．
（3）向量的减法：
① 相反向量：与
a
长度相等、方向相反的向量，叫做
a
的相反向量
? ?
?
??
?
②向量减法：向量
a
加上
b
的 相反向量叫做
a
与
b
的差，
?
?
?
??
?
③作图法：
a
?
b
可以表示为从
b
的终 点指向
a
的终点的向量（
a
、
b
有共同起点）
（ 4）实数与向量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作λ
a
，它的长度 与方向规定
如下：
（Ⅰ）
?
a
?
?
?
a
； （Ⅱ）当
?
?0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相同；当
?< br>?0
时，λ
??
??
??
?
?
??
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?
0
，方向是任意的

??
?
?
（5）两个向 量共线定理：向量
b
与非零向量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
，使得
b
=
?
a

（6）平面向量的基 本定理：如果
e
1
,e
2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这 一平面内
的任一向量
a
，有且只有一对实数
?
1
,
?
2
使：
a
?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
，其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫
做表示这一平面内所有向量的一组基底
??
?
?????
【2】平面向量的坐标表示
（1） 平面向量的 坐标表示：平面内的任一向量
a
可表示成
a?xi?yj
，记作
a< br>=(x,y)。
r
r
rr
r

（2） 平面向量的坐标运算：
r
rr
r
①若
a?
?
x< br>1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2,y
1
?y
2
?

uuur
②若
A< br>?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
? x
1
,y
2
?y
1
?

③若
a
=(x,y)，则
?
a
=(
?
x,
?
y)
rr
r
r
r
r
④若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x2
,y
2
?
，则
ab?x
1
y
2?x
2
y
1
?0

r
r
r
r
⑤若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

r
r< br>⑥若
a?b
，则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?
0

【3】平面向量的数量积
（1）两个向量的数量积：
r
r
r
r
r
rrr
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，则
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos?
叫做
a
与
b
的
数量积（或内积）
r
r
0
规定
?a?0

r
r
rr
r
a
?
b
（2）向量的投影：︱
b
︱cos
?
=
r
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影投影 的绝对值称
|a|
为射影
r
rr
r
r
bb
（3）数量积的几何意义：
a
·等于
a
的长度与在
a
方向上的投影的乘积
（4）向量的模与平方的关系：
a?a?a?|a|

rrr
2
r
2
（5）乘法公式成立：
?
rr
r
r
r
2
r
2
r
2
r2
r
r
a?b?a?b?a?b?a?b
；
a?b
?? ?
??
2
r
2
r
rr
2
r
2r
rr
2
?a?2a?b?b?a?2a?b?b

（6）平面向量数量积的运算律：
r
rr
r
①交换律成立：
a?b?b?a

rr
r
r
r
r
②对实数的结合律成立：
?
?a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
?
?
?R
?

??
r
r
rrr
r
rr r
r
③分配律成立：
?
a?b
?
?c?a?c?b?c?c ?
?
a?b
?

r
r
rr
r
r< br>特别注意：（1）结合律不成立：
a?
?
b?c
?
?
?
a?b
?
?c
；
r
r
rr
（2）消去 律不成立
a?b?a?c
??
r
r
不能得到
b?c?

r
r
r
r
r
r
（3）
a?b
=0不能得到
a
=
0
或
b
=
0
（7）两个向量的数量积的坐标运算：
r
r
r
r
已 知两个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
a
·
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2

ruuur
r
uuurr
r
（8）向量的夹角：已知两个非零向量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?

（
0??
?180
00
）叫做向量
r
a
与
r
b
的夹角
r
r
r
r
x
1
x
2?
y
1
y
2
a
?
b
cos
?
=
cos
?
a,b
??
r
r
=
2222
a
?
b
x
1
?
y
1
?< br>x
2
?
y
2
r
r
r
r
r< br>00
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时，θ=0，当且仅 当
a
与
b
反方向时θ=180，同时
0
与
其它任何 非零向量之间不谈夹角这一问题
r
r
r
r
r
r
0
（9）垂直：如果
a
与
b
的夹角为90则称
a
与< br>b
垂直，记作
a
⊥
b

?
?
??
（10）两个非零向量垂直的充要条件
：
a
⊥
b
?< br>a
·
b
＝O
?
x
1
x
2
? y
1
y
2
?
0
平面向量
数量积的性质

二. 例题分析
【模块一】向量的基本运算
【例1】给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
rruuuruuur
rr
②若
a?b
，则
a?b
③在平行四边形ABCD中一定有
AB?D C
；
rrrrrr
urrrururur
④若
m?n,n?p，则
m?p
； ⑤若
a

b
，
b

c
,则
a

c

rrrrrrr
⑥任一向量与它的 相反下列不相等.⑦已知向量
a?0
，且
a?b?0
，则
b?0
rr
rrrr
rr
rrrr
⑧
a?b
的充要 条件是
a?b
且
a

b
；⑨若
a
与
b
方向相同，且
a?b
，则
a?b
；
⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
其中正确的命题的序号是



uur
rrr
rr
?

【 例2】已知向量
a,b
夹角为
45
，且
a?1,2a?b?10；求
b
的值.

uuruur< br>rr
rr
【变式1】若
a?2
，
b?3
，
a ?b??3
求
a?b
的值.



【变式2】设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值



rr
rrrrrr
o
【例3】已知向量a
、
b
的夹角为
60
，
|a|?3
，
|b|?2
，若
(3a?5b)?(ma?b)
，求
m
的
值 .



rrrr
rr
【例4】若向量
a??
1,2
?
，
b?
?
1,?1
?
求< br>2a?b
与
a?b
的夹角.



【变式 】设
x,y?
R,向量
a?
?
x,1
?
,b??
1,y
?
,c?
?
2,?4
?
,且
a?c,bc
,则
a?b?_______

A．
5



B．
10
C．
25
D．10
（ ）
rrrr
rr
【例5】已知两个非零向量
a,b
满足
a ?b?a?b
，则下列结论一定正确的是 （ ）
rr
rrrrrr
rr
A
a

b
B
a?b
C
a?b
D
a?b?a?b


【变式1】设
a
,
b
是两个非零向量.
A．若|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|,则
a
⊥
b

B．若
a
⊥
b
,则|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|
C．若|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|,则存在实数
λ
,使得
a
=
λb

D．若存在实数
λ
,使得
a
=
λb
,则|
a
+
b
|=|a
|-|
b
|
（ ）
rr
rr
rr
b
的最小值是
_____

【变式2】若平面向量
a,b
满足:
2a?b?3
;则
a
g

r
?
13
?
?
??
r
【例6】设
?
?
?
0,
?
，a?
?
cos
?
,sin
?
?
，
b< br>?
?
,
?

?
??
2
?
?
2
?
?
2
rrrr
（1） 证明
a?b?a?b
；
????
rrrr
（2） 当
2a?b?a?2b
时求角
?
的值.





rr
rr
ab
【例7】设
a
、
b
都是非零向量,下列四个条件中,使
r
?
r
成立的充分条件是（ ）
|a||b|
rr
A．
a??b

rr
B．
ab

rr
C．
a?2b

rr
rr
D．
ab
且
|a|?|b|





【模块二】向量与平面几何
uuuruuur
【例1】在△ABC中，
?A?90
AB?1,AC?2
,设P、Q满足
AP?
?
AB
，
o
uuuruu ur
uuuruuur
AQ?
?
1?
?
?
AC ，
?
?R

BQ?CP?2
，则
?
= （ ）
A











124
B C D
2

333
uuuruuur
uuuru uur
【变式1】已知△ABC为等边三角形，
AB?2
设P、Q满足
AP?
?
AB
，
AQ?
?
1?
?
?
AC
，
uuuruuur
3
?
?R

BQ?CP?
，则
?
= （ ）
2

A










1
?
10
?
3
?
2
1
?
2
1
B C D
22
2
2
uuuruuur
【例2】在△ABC中,AB=2 ,AC=3,
AB
g
BC
= 1则
BC?___
.
A．
3





B．
7
C．
22
D．
23

（ ）
uuuruuur
uuur
BA?2,3CA?4,7
【变式1】若向量??
,
??
,则
BC?

A．
?
?2,?4
?





B．
?
2,4
?
C．
?
6,10
?

（ ）
D．
?
?6,?10
?

1
?
2
?
【例3】若等边
?ABC
的边长为
23
，平面内一点M满足
CM?CB?CA
,则
63
?
MA
?
MB
?________.






??< br>uuurruuurrrrrr
【例4】
?ABC
中,
AB
边 上的高为
CD
,若
CB?a,CA?b,a?b?0,|a|?1,|b|?2
,则
uuur
AD?
（ ）

1
r
1
r
A．
a?b

33





2
r
2
r
B．
a?b

33
3
r
3
r
C．
a?b

55
4
r
4
r
D．
a?b

5 5
uuur
3
?
【例5】在平面直角坐标系中,
O(0,0),P( 6,8)
,将向量
OP
按逆时针旋转后,得向量
4
uuur
OQ
，则点
Q
的坐标是 （ ）
A．
(?72,?2)
B．
(?72,2)
C．
(?46,?2)
D．
(?46,2)






uuu ruuur
?
【例6】在
ABC
中,
M
是
BC的中点,
AM
=3,
BC
=10,则
AB?AC
=__ ____________.







【例7】在平行四边形
ABCD
中,∠
A=
3
, 边
AB
、
AD
的长分别为2、1. 若
M
、
N分别是边
BC
、
?
CD
上的点,且满足
,

|BM||CN|
,则
AM?AN
的取值范围是_________ . < br>?
|BC||CD|
BC?2，
点
E
为
BC
的中点,点
F
在边
CD
【例8】如图,在矩形
ABCD
中,
AB?2，
uuuruuur
uuuruuur
上,若
AB
g
AF?2
,则
AEgBF
的值是____.

uuur uuur
【例9】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则
DE?CB的值为
uuuruuur
________;
DE?DC
的最大值为__ ______.

【例10】已知直角梯形
ABCD
中，
AD

BC
,
?ADC?90
0
,
AD?2,BC?1
,
P
是腰
uuuruuur
DC
上的动点，则
PA?3PB
的最小值为___________






uuuruuur
uuur
【 例11】如图，在
VABC
中，
AD?AB
,
BC?3BD
,
AD?1
,
uuuruuur
则
AC
g
AD?< br>
3
.





rrr
1
uuu
1
uuu
3
uuu
r
u uur
uuu
ur
BA
?
uuur
BC
?
uuur
BD
，【例12】 (15)在四边形ABCD中，
AB
=
DC
=（1，1），
uu
BABCBD
则四边形ABCD的面积是





uuuruuur
VABC
【 例13】在中，若
AB?
?
2,3
?
,AC?
?
6 ,?4
?
，则
VABC
面积为

【例14】（201 2年河北二模）在
VABC
中，AB边上的中线CD=6，点P为CD上（与C,D）
uuuruuuruuur
不重合的一个动点，则
PA?
的最小值是
??
A 2 B 0 C -9 D -18