高中数学平面向量知识点总结与常见题型

平面向量
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
??
?
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用
a,b,c
……来表示， 或用有向线段的
?
起点与终点的大写字母表示，如：
AB
几何表示法
AB
，
a
；坐标表示法
?
，记作|
AB
|即向量的 大小，
a?xi?yj?(x,y)
向量的大小即向量的模（长度）
?
记作｜
a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
??
②零向 量：长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，
0
与任意向量平行零向?
?
量
a
＝
0
?

?
｜a
｜＝0由于
0
的方向是任意的，且规定
0
平行于任何向量，故 在有关向量平行
（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
??
向量
a
0
为单 位向量
?
｜
a
0
｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相 同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
?
?
移到同一直线上方向相同或相反的向 量，称为平行向量记作
a
∥
b
由于向量可
以进行任意的平移(即自由 向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向
量也称为共线向量

⑤相等向量 ：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记
?
x
1
?x
2
?
?
为
a?b
大小相等，方向相同
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)
?
?

?
y
1
?y
2
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
?
设
AB?a,BC?b
，则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC

?
??
?
?
（1）
0?a?a?0?a
；（2）向量加法满足 交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形 法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知
向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另 一条对角线，方向是从减向量指向
被减向量
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一 个向量的起点指向最后一个向量
的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被 减向量
的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾 连接时，用三角
形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB?BC?CD??PQ?QR?AR
，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
??
①相反向量：与
a
长度相等、方向相反的向量，叫做
a
的相反向量
?
记作
?a
,零向量的相反向量仍是零向量
?
??
?
?
?
?
关于相反向量有：（i）
?(?a)
=
a
； (ii)
a
+(
?a
)=(
?a)+
a
=
0
；
??
?
?
?
?
?
?
?
(iii)若
a
、
b
是互为相反 向量，则
a
=
?b
,
b
=
?a
,
a
+
b
=
0

?
??
?
②向量减 法：向量
a
加上
b
的相反向量叫做
a
与
b
的差，
?
?
?
?
记作：
a?b?a?(?b)
求 两个向量差的运算，叫做向量的减法
?
?
?
??
?
③作图 法：
a?b
可以表示为从
b
的终点指向
a
的终点的向量（< br>a
、
b
有共同起点）

4实数与向量的积：
??< br>①实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作λ
a
，它的长度与方向规定如 下：
（Ⅰ）
?
a?
?
?a
；
??
?? ??
（Ⅱ）当
?
?0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，λ
a
的方向与
a
??
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
，方向 是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理：
??< br>?
?
向量
b
与非零向量
a
共线
?
有 且只有一个实数
?
，使得
b
=
?
a

6平面向量的基本定理：
??
?
如果
e
1
,e< br>2
是一个平面的两个不共线向量，那么对这一平面的任一向量
a
，有
? ????
且只有一对实数
?
1
,
?
2
使：
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
，其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一
平面所有向 量的一组基底
7特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平 行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行
则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与
其相对位置有关
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：

在直角坐标系中 ，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i,j
作为基底
由平面向量的基本定理 知，该平面的任一向量
a
可表示成
a?xi?yj
，由于
a
与
数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量
a
的坐标，记作
a
=(x,y)，其中
x叫作
a
在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只
与其相对位置有关
2平面向量的坐标运算：
(1)若
a?
?
x
1
, y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?< br>，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

(2)若
A
?
x
1< br>,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

(3)若
a
=(x,y)，则?
a
=(
?
x,
?
y)
(4)若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

(5)若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

若
a?b
，则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?0

3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（积）及其各运算的
坐标表示和性质
运算几何方法 坐标方法 运算性质
类型
向
量
的
加
法
向
量
的
减
法
向
量
的
乘
法
1平行四边形法则
?
???
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a?b?b?a

2三角形法则
?
?
??
?
?
(a?b)?c?a?(b?c)

AB?BC?AC

三角形法则
?
?
?
?
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a?b?a?(?b)

AB??BA

OB?OA?AB

?
a
是一个向量,
满足:
?
?
?
>0时,
?
a
与
a
同向;
?
?
?
<0时,
?
a
与
a
异向;
?
?
a?(
?
x,
?
y)

?
(
?
a)?(
??
)a

???
(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a

?
?
?
?
?
(a?b)?
?
a?
?
b

??

?
?
?
=0时,
?
a
=
0

?
?
?
?
a
∥
b?a?
?
b

?
?
?
?a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

a?b?b?a

?
?
?
?
?
?
(
?
a)?b?a?(
?
b)?
?
(a?b)
向
量
的
数
量
积
?
?
a?b
是一个数
?
?
?
?
a?0
或
b?0
时,
?
?
a?b
=0
?
?
?
?
a?0
且
b?0
时,
?
?
?
?
?
?
a?b?|a||b|cos?a,b?
?
?
???
?
?
(a?b)?c?a?c?b?c

??
?
a
2
?|a|
2
,
|a|?x2
?y
2

?
?
?
?
|a?b|?|a||b|



三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，则
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
叫做
a
与
b
的数量积（或积）规定
0?a?0

2向量的投影：︱
b
︱cos
?
=
a?b
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影投影的绝对
|a|
值称为射影
3数量积的几何意义：
a·
b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的 投影的乘积
4向量的模与平方的关系：
a?a?a
2
?|a|
2

5乘法公式成立：
?
a?b
?
?
?
a?b
?
?a?b?a
?
a?b
?
?a?2a?b?b?a
22
2
22
2
?b
；
?2a?b?b

2
2
2
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
a?b?b?a

????
③分配律成立：
?
a?b
?
?c?a?c?b?c?c?
?
a?b
?

特别注意：（1）结合律不成立：
a?
?
b?c
?
?< br>?
a?b
?
?c
；
（2）消去律不成立
a?b?a?c
不能得到
b?c?

② 对实数的结合律成立：
?
?
a
?
?b?
?
a?b? a?
?
b
?
?
?R
?

（ 3）
a?b
=0不能得到
a
=
0
或
b
=< br>0

7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
a
·
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2

8向量的夹角：已知两个非零向量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则 ∠AOB=
?
（
0
0
?
?
?180
0）叫做向量
a
与
b
的夹角
cos
?
=
cos?a,b??
a?b
a?b
=
x
1
x
2< br>?y
1
y
2
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
2222

当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时，θ=0
0
，当且仅当
a
与
b
反方向时θ=180
0
，
同时
0
与其它任何非零向量之间不谈夹角这 一问题
9垂直：如果
a
与
b
的夹角为90
0
则称
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b

10两个非零向量垂直的充要条件
：
?
?
?
?
a
⊥
b
?
a
·
b
＝O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
平面向量数量积的 性质
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD
.
（5）若
AB?CD
，则A、B、C、D四点构成平行四边形.
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.
（7）若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共 线.
（8）若
ma?mb
，则
a?b
.
（9）若
ma?na
，则
m?n
.
（10）若
a
与
b
不共线，则
a
与
b
都不是零向量.
（11）若
a?b?|a|?|b|
，则
ab
.
（12）若
|a?b|?|a?b|
，则
a?b
.
题型2.向量的加减运算
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?
.

2.化简
(AB?MB)?(BO?BC)?OM?
.
3. 已知
|OA|?5
,
|OB|?3
,则
|AB|
的最大值和 最小值分别为、.
4.已知
AC为AB与AD
的和向量，且
AC?a,BD ?b
，则
AB?
，
AD?
.
5.已知点C在线段AB上，且
AC?
题型3.向量的数乘运算
1.计算： （1）
3(a?b)?2(a?b)?
（2）
2(2a?5b?3c)?3(?2a? 3b?2c)?

1
2.已知
a?(1,?4),b?(?3,8)
，则
3a?b?
.
2
题型4.作图法球向量的和
13
已 知向量
a,b
，如下图，请做出向量
3a?b
和
2a?b
.
2
2
3
AB
,则
AC?BC
，
AB?BC
.
5
a

b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量
AC
表示
AD
. 1.已 知在
?ABC
中，
D
是
BC
的中点，请用向量
AB ，
2.在平行四边形
ABCD
中，已知
AC?a,BD?b
，求AB和AD
.

题型6.向量的坐标运算
1.已知
AB?( 4,5)
，
A(2,3)
，则点
B
的坐标是.
2.已知< br>PQ?(?3,?5)
，
P(3,7)
，则点
Q
的坐标是.
3.若物体受三个力
F
1
?(1,2)
,
F
2?(?2,3)
,
F
3
?(?1,?4)
,则合力的坐标为.
4.已知
a?(?3,4)
，
b?(5,2)
，求
a?b< br>，
a?b
，
3a?2b
.

5.已知
A( 1,2),B(3,2)
,向量
a?(x?2,x?3y?2)
与
AB
相等，求
x,y
的值.
6.已知
AB?(2,3)
，
B C?(m,n)
，
CD?(?1,4)
，则
DA?
.
7. 已知
O
是坐标原点，
A(2,?1),B(?4,8)
，且
AB?3 BC?0
，求
OC
的坐标.

题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知
e
1
,e
2
是平面的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A.
e
1
?e
2
和e
1
?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e
2
?6e
1
C.
e
1
?3e
2
和e
2
?3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1

2.已知
a?(3,4)
，能与
a
构成基底的是（）
3443344
A.
(,)
B.
(,)
C.
(?,?)
D.
(?1,?)

55
55553
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知
O是坐标原点，点
A
在第二象限，
|OA|?2
，
?xOA?15 0
，求
OA
的坐标.
2.已知
O
是原点，点
A< br>在第一象限，
|OA|?43
，
?xOA?60
，求
OA的坐标.



题型9.求数量积
1.已知
|a| ?3,|b|?4
，且
a
与
b
的夹角为
60
，求（ 1）
a?b
，（2）
a?(a?b)
，
1
（3）
(a?b)?b
，（4）
(2a?b)?(a?3b)
.
2


2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
，求（1）
|a |,|b|
，（2）
a?b
，（3）
a?(2a?b)
，
（4）
(2a?b)?(a?3b)
.


题型10.求向量的夹角
1.已知
|a|?8,|b|?3
，
a? b?12
，求
a
与
b
的夹角.
2.已知
a?(3 ,1),b?(?23,2)
，求
a
与
b
的夹角.
3.已 知
A(1,0)
，
B(0,1)
，
C(2,5)
，求
cos?BAC
.
题型11.求向量的模
1.已知
|a|?3,|b| ?4
，且
a
与
b
的夹角为
60
，求（1）
|a?b|
，（2）
|2a?3b|
.