高一数学向量的概念及表示

高一数学向量的概念及表示
课时6 向量的概念及表示
【
学习目标
】

要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念， 并能作一个向量与已知向量
相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
一、知识梳理

1．数量：仅用一个实数就可以表示的量叫数量。如距离、时间、面积等。
2． 向量： 叫向量。如物理中的位移、速度、力等。
3．向量的表示：常用一条有向线段来表示，
有向线段的长度表示向量的大小，箭头表示所指的方向。
urrr
uuur
a
以A为起点。以B为终点的向量记为
AB
，也可以用
,b,c
来表 示。如
A

B
r
a

r
b

r
b
r
c

注：两个向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小。
uuur
uuur
4．向量
AB
的 叫向量的模。记为
AB

5．特殊向量：零向量：
单位向量：
6、平行向量：
规定：零向量与任一向量平行
7、相等向量：
8、共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上。 故平移向量又称共线向量
rrr
9、相反向量：我们把与
a
的向量叫做
a
的相反向量-
a

规定：零向量的相反向量仍是零向量
二、基础训练
1．下列各题中，哪些是数量，哪些是向量？
质量，密度，角，位移，距离，浮力，速度，功，加速度，温度，电流强度，浓度，向心力



2．判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）温度有零上和零下之分。所以温度是向量 （ ）
（2）
0
=0
（ ）
（3）共线向量就是平行向量
（ ）
rrrr
rr
（4）若
a
，
b
为非零向量，且
a
=
b
，则
a
=
b
（ ）
rrrr
（5）若
a
=-
b
则
a
∥
b
（ ）
rr
r
rrr
r
r
r
（6）对 任意向量
a
，
b
，
c
，若
a
=
b
，
b
=
c
，则
a
=
c
（ ）
1 4

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rrr
rrrr
r
（7）对任意向量
a
，
b
，c
，若
a
∥
b
，
b
∥
c
，则
a
∥
c
（ ）
（8）平行向量方向一定相同 （ ）
（9）共线向量一定在同一条直线上 （ ）
rrrr
（10）若
a
=
b
则
a
∥
b
（ ）
三、典型例题
例1．已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中；
uuur
（1）试找出与
FE
共线的向量
uuur
（2）确定与
FE
相等的向量
uuuruuur
（3）
OA
与
BC
相等吗？



E D

O

F o C


A B
B
1
例2、如图，△ABC和△
A
?
B
?
C
?是在各边的相交的
3
两个全等的正三角形，设正△ABC的边长为a，图
中列出了长度均为
C
?

E
A
D
L
H
G
B
?

a
的若干个向量。
3
uuur
求：（1）与
GH
相等的向量；
uuur
（2）与
GH
共线的向量；
F C
A
?

uuur
（3）与
EA
平行的向量。


uuur
例3、在图4
?
5的方格纸中有一个向量AB
，分别以图中的格点为起点和终点，其中：（1）
uuuruuuruuur
与
AB
相等的向量有多少？（2）与
AB
长度相等的共线向量有多少？(3) 与
AB
共线的向量
uuur
有多少？（
AB
除外）



A






B















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三．课后作业：
1、下列命题中，正确的是
rrrrrrrr
A
a?b?a?b
B
a?b?a?b

rr
C
a?b?ab
D
a?0?a?0

2、下列命题中真命题为
rr
uuuruuur
①向量
AB
的长度与向量
BA
的长度相等；②
ab
，则
a,b
的方向相同或相反；
③两个有共 起点且相等的向量，其终点必相同；④两个有共起点且相等的向量，一定是共
r
uuur
uuu
线向量；⑤
AB
与
CD
是共线向量，则点A、B、C、D必 在同一直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。
uuuruuuruuur3、设O为
?ABC
的重心，则
AO,BO,CO
是
A 相等向量 B 平行向量 C 模相等向量 D 终点相同的向量

4、设ABCD为正方形，则可用同一条有向线段表示的两个向量为
ruuurruuur
uuuuuur
uuu
uuuruuur
uu u
r
A
AB
和
BC
B
BC
和
AD
C
AB
和
CD
D
CD
和
AD

rr
r
5、若
a,b是两个不平行的非零向量，并且
ac,bc
，则
c
=
uuuruuuruuur
?
6、已知ABCD为菱形，
AB
=1，
?DAB?
，求
BD
，
AC

3





uuuruuuruuur
7、在梯形ABCD中 ，若E，F分别为腰AB、DC的三等分点，且
AD
=2，
BC
=5，求EF
。




8、在直角坐标系中，画出下列向量：
r
r
00
（1）
a
=2，
a
的方向与x轴正方向的夹角为
60
，与y轴正方向的夹角为
30
；
r
r
00
（2）
a
=4，
a
的方向与x轴正方向的夹角为
30
，与y轴正方向的夹角为
120
；
r
r
00
（3）
a
=4
2
，
a
的方向与x轴正方向的夹角为
135
，与y轴正方向的夹角为
135；


3 4

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9、如图，D、E、F分别是
VABC
的三边AB、BC、AC的中点，以A、B、C、D、 E、F中
的一点为始点，而另一点为终点的向量中：
A
uuur
（1）写出与
DF
相等的向量；
uuur
（2）写出与
DF
共线的向量。





B
D F
E
C
uuur
10 、如下图
，每格点边长为0.5，以图中各格点为起点和终点的向量中，与向量
AB
u uuruuur
相等的向量共有几个？与向量
AB
平行且模为
2
的向 量共有几个？与向量
AB
方向相同且模为
32
的向量共有几个？







B
A
11、一 辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北
50
走
了 200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点。（1）作出向量
0
u uuruuuruuur
AB,BC,CD
；（2）求










问题
统计
与分
析
题源：

uuur
AD
。

4 4