高中数学 第五章-平面向量知识点总结

高中数学第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法 ．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面
向量的数量积．平面两点间的距离、平 移．
考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
（2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
（ 5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、
角度和垂直的问 题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式， 并且能熟练运用
掌握平移公式．
§05. 平面向量知识要点
1.本章知识网络结构
?
2.向量的概念
?


(1)向量的基本要素：大小和方向.
?
(2)向量的表示：几何表示法
AB
；字母表示：a；
坐标表示法 a＝
ｘｉ
＋
ｙj＝（
ｘ
，
ｙ
）.
?

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
?

(4)特殊的向量：零向量a＝O
?
｜a｜＝O.
?

单位 向量a
O
为单位向量
?
｜a
O
｜＝1.
?

?
x
1
?x
2
(5)相等的向量：大小相等，方向相同?
(
ｘ
1
，
ｙ
1
)＝（
ｘ
2
，
ｙ
2
）
?
?

y?y
2
?
1
(6) 相反向量：a=-b
?
b=-a
?
a+b=0
(7)平行向量(共 线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥
b
.平行向量也称
为共线 向量.
?

3.向量的运算
?
运算类型
向量的
加法
几何方法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
坐标方法 运算性质
??
a?b?(x
1
?x
2
,y
1?y
2
)

????
a?b?b?a

??????
(a?b)?c?a?(b?c)

1

AB?BC?AC

向量的
减法
三角形法则
??
a?b?(x
1
?x
2
,y1
?y
2
)

????
a?b?a?(?b)

????????
AB??BA
,
OB?OA?AB

?
1.
?
a
是一个向量,满足:
数
乘
向
量
??
|
?
a|?|
?
||a|

??
?
(
?
a)?(
??
)a

?
?
a?(
?
x,
?
y)

?? ?
(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a< br>
????
?
(a?b)?
?
a?
?
b

??
?
2.>0时,
?
a与a
同向;
??
?
<0时,
?
a与a
异向;
??
?
=0时,
?
a?0
.
??
a?b
是一个数
向
量
的
数
量
积
????
ab?a?
?
b

????
???

??????
(
?
a)?b?a ?(
?
b)?
?
(a?b)

????
1.
a?0或b?0
时，
??
a?b?0
.
????
a?0且b?0时，
2.
????

a
?
b?|a||b|cos(a,b)
??
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

???????
(a?b)?c?a?c?b?c

?
2
?
2
??
a?|a|即|a|=x
2
?y
2

????
|a?b|?|a||b|

4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
?

e
1
，e
2
是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一
对实数λ
1，
λ
2
，使a＝λ
1
e
1
＋λ
2< br>e
2
.
?

(2)两个向量平行的充要条件
?

a∥b
?
a＝λb(b
≠
0)
?
x
1
y
2
－x
2
y
1
＝O.
?

(3)两个向量垂直的充要条件
?

a⊥b
?
a·b＝O< br>?
x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝ O.
?

(4)线段的定比分点公式
?

设点
P< br>分有向线段
P
1
P
2
所成的比为λ，即
P
1
P
＝λ
PP
2
，则
?

11
OPOP
2
(线段的定比分点的向量公式)
?

OP
＝
1
＋
1?
?
1?
?
2

1图

?
x?
?
?
?< br>?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
,
1?
?
(线段定比分点的坐标公式)
?

y< br>1
?
?
y
2
.
1?
?
当λ＝1时， 得中点公式：
?

x
1
?x
2
?
x?,< br>?
1
?
2

OP
＝（
OP
1
＋
OP
2
）或
?
2
?
y?
y
1
?y
2
.
?
2
?
(5)平移公式
设点
P
(x，y)按向量a＝（
ｈ
，
ｋ
）平移后得到点
P
′（x′，y′），
则
OP
?
＝
OP
+a或< br>?
?
x
?
?x?h,

?
y
??y?k.
曲线y＝f（x）按向量a＝（
ｈ
，
ｋ
）平移后所得 的曲线的函数解析式为：
y－
ｋ
＝f（x－
ｈ
)
(6)正、余弦定理
?

正弦定理：
abc
???2R.

sinAsinBsinC
222
余弦定理：a＝b＋c－2
bc
cos
A
，
?
222
b＝c＋a－2cacos
B
，
?

222
c＝a＋b－2abcos
C
.
?

（7）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a
，
b
，
c
，
其高分别为h
a
，
h
b
，
h
c
，
半周长为P，外接圆、内切圆的半径
为R
，
r.
① S
△
=12ah
a
=12bh
b
=12ch
c②S
△
=Pr③S
△
=abc4R
④S
△
= 12sinC
·
ab=12ac
·
sinB=12cb
·
s inA⑤S
△
=
P
?
P?a
??
P?b
? ?
P?c
?
[
海伦公式
]
⑥S
△=12（b+c-a）r
a
[
如下图
]=12（b+a-c）r
c
=12（a+c-b）r
b

A
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
如图：
A
A
E

c
A
c
b

b
O
a
c
D
B
N
C
F
b
B

E
D
B
a
C
r
F
I

r
C
r
a
E

I
a
a
a
F
C
B
图2
图3
图4


图1中的I为S
△
ABC
的内心， S
△
=Pr

3

图2中的I为S
△
ABC
的一个旁心，S
△
=12（b+c-a）r
a


附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即
a?b?c
]
2
则：①AE=
s?a
=12（b+c-a）
②BN=
s?b
=12（a+c-b）
③FC=
s?c
=12（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
a?b?cab
?
特例：已知在Rt△ABC
，
c为斜边，则内切圆 半径r=（如图3）.
2a?b?c
⑹在△ABC中，有下列等式 成立
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC
.
tanA?ta nB
??tanC
，
?
结论！证明：因为
A?B?
?
?C,
所以
tan
?
A?B
?
?tan
?
?
?C
?
，所以
1?tanAtanB
AC
2
BD?AB
2
BC
?BD?DC
. ⑺在△ABC中，D是BC上任意一点， 则
AD?
BC
2
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有
AD
2
?
AB
2
?
BD
2
?
2
?< br>AB
?
BDcosB?
①
AB
2
?BC
2
?AC
2
?
②，②代入①，化简 在△ABC中，由余弦定理有
co sB?
2AB?BC
AC
2
BD?AB
2
BC
?B D?DC
（斯德瓦定理） 可得，
AD?
BC
2
A
图5①若AD是BC上的中线，
m
a
?
②若AD是∠A的平分线，
t
a
?
③若AD是BC上的高，
h
a
?
⑻△ABC的 判定：
2
a
1
2b
2
?2c
2
?a2
；
2
D
C
2
B
bc?p
?
p?a
?
，其中
p
为半周长；
b?c
p
?p?a
??
p?b
??
p?c
?
，其中
p为半周长.
c
2
?a
2
?b
2
?
△ ABC为直角△
?
∠A + ∠B =
?

2
c
2
＜
a
2
?b
2
?
△ABC为钝角△
?∠A + ∠B＜
c
2
＞
a
2
?b
2
?
△ABC为锐角△
?
∠A + ∠B＞
?

2
?

2
a
2
?b
2
?c
2
附：证明：
cosC?
，得在钝角△ABC中，
cosC?0?a
2
?b
2
?c
2
?0,?a
2
?b
2< br>?c
2

2ab
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a?b
2
?a?b
2
?2(a
2
?b
2
)

4

空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
?
?
OB?OA?AB?a?b

?
?
BA?OA?OB?a?b

?
OP?
?
a(
?
?R)

?
??
?
运算律：⑴加法交换律：
a?b?b?a

?
?
??
?
?
⑵加法结合律：
(a?b)?c?a?(b ?c)

?
?
?
?
⑶数乘分配律：
?
(a ?b)?
?
a?
?
b

3共线向量
表示空间向量 的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
?
?
?
?
行向量．
a
平行于
b
记作
ab
．
?< br>?
?
?
?
?
当我们说向量
a
、
b< br>共线（或
a

b
）时，表示
a
、
b
的 有向线段所在的直线可能是
同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论： < br>?
??
?
?
?
共线向量定理：空间任意两个向量
a< br>、
b
（
b
≠
0
），
a

b< br>的充要条件是存在实数
?
?
λ，使
a
＝λ
b
.
推论：如果
l
为经过已知点A且平行于已知非零向量
a
的直线， 那么对于任意一点O，
点P在直线
l
上的充要条件是存在实数t满足等式
?
?
OP?OA?t
a
．
?
a
其中向量叫做直线
l
的方向向量.
5．向量与平面平行：
????
?
?
已知平面
?
和向量
a
，作
OA?a
，如果直线
OA
平行于
?< br>或在
?
内，那么我们说向
??
量
a
平行于平面
?
，记作：
a
?
．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
5

?
?
?
?
?
如果两个向量
a,b
不共线，
p
与向量< br>a,b
共面的充要条件是存在实数
x,y
使
?
??
p ?xa?yb

?????????????????????????????
O< br>MP?xMA?yMB
或对空间任一点，有
OP?OM?xMA?yMB
①
①式叫做平面
MAB
的向量表达式
推论：空间一点
P
位于 平面
MAB
内的充分必要条件是存在有序实数对
x,y
，使


7空间向量基本定理：
?
?
?
?
如果三个向量
a,b,c
不共面，那么对空间任一向量
p
，存在一个唯一的有序实数组?
???
x,y,z
，使
p?xa?yb?zc

推论 ：设
O,A,B,C
是不共面的四点，则对空间任一点
P
，都存在唯一的三个
????????????????
有序实数
x,y,z
，使
OP? xOA?yOB?zOC

8空间向量的夹角及其表示：
????
?
????
?
?
?
?
O
已知两非零向量
a,b，在空间任取一点，作
OA?a,OB?b
，则
?AOB
叫做向量
a
?
?
??
?
?
?
?
?
b与的夹角，记作
?a,b?
；且规定
0??a,b??
?
，显然 有
?a,b???b,a?
；若
?
?
?
?
?
?
?
a
?a,b??
，则称与
b
互相垂直，记作：
a?b
.
2
9．向量的模：
????
????
??
?
设
OA?a
，则有向线段
OA
的长度叫做向量a
的长度或模，记作：
|a|
.
?
?
?
?< br>?
?
10．向量的数量积：
a?b?
|a|?|b|?cos?a,b ?
．
????
?
?
l
e
AB?a
已知向 量和轴，是
l
上与
l
同方向的单位向量，作点
A
在
l
上的射影
A
?
，
?????????
?
?
作点
B
在
l
上的射影
B
，则
A
?
B
?
叫做向量
AB
在轴
l
上或在
e
上的 正射影.
?????
?????????
????
可以证明
A< br>?
B
?
的长度
|A
?
B
?
|?|A B|cos?a,e??|a?e|
．
11．空间向量数量积的性质：
?
?
?
?
?????
?
2
??
（1）a?e?|a|cos?a,e?
．（2）
a?b?a?b?0
．（3）
|a|?a?a
．
12．空间向量数量积运算律：
?
?
???
?
?
?
?
??
?
??
?
? ?
a?b?b?a
（1）
(
?
a)?b?
?
(a? b)?a?(
?
b)
．（2）（交换律）（3）
a?(b?c)?a?b?a ?c
（分配律）．
空间向量的坐标运算
6

一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对
应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令
a
=(a< br>1
,a
2
,a
3
),
b?(b
1
, b
2
,b
3
)
，则
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3< br>)
?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)a?b?a
1< br>b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a
∥
b?a
1
?
?
b
1
,a< br>2
?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
(
?
?R)
?
a
1
a
2
a
3
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

??
b
1
b
2
b
3
a?a?a?a
1
2
?a
2
2
?a
3
22
(用到常用的向量模与向量之间的转化：
a?a?a?a?a?a
)
?
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?
?< br>a?b
cos?a,b??
?
?
?

222222< br>|a|?|b|
a
1
?a
2
?a
3
?b1
?b
2
?b
3
②空间两点的距离公式：
d?(x2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
（2）法向量：若向量
a
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量垂直于平面< br>?
，记作
a?
?
，
如果
a?
?
那么 向量
a
叫做平面
?
的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面
?
的法向量，AB是平面
?< br>的一条射
线，其中
A?
?
，则点B到平面
?
的距离为
|AB?n|
|n|
.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设
n
1
,n
2
分别是二面角
?
?l?
?
中平面
?
,
?
的法向量，
则
n
1
,n
2
所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（
n
1
,n
2
方向相同，则为补角，
n
1
,n
2
反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线
a??
平面
?
，
A?B?a, C?D?
?
，且CDE三点不共线，
则a∥
?
的充要条件是存在有序 实数对
?
?
?
使
AB?
?
CD?
?
CE
.（常设
AB?
?
CD?
?
CE
求
解
?
,
?
若
?
,
?
存在即证毕，若
?
,
?
不存在，则直线AB与平面相交）.
A
n
▲B
B
?
C
A
▲
n
1
C
DE
?
n
2
?
?


7