高中数学空间向量及其运算

空间向量及其运算（讲义）
知识点睛
一、空间向量的定义及定理
1． 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2． 空间向量的有关定理及推论
（1）共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a ∥b的充要条件是：存在实数λ，使
__________．
[扩充]对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点
共线：
①
PA?
?
PB
；
②对空间任一点O，
OP?OA?tAB
；
③对空间任一点O，
O P?xOA?yOB
?
x?y?1
?
．
（2）共面向量定理 如果两个向量a，b__________，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是：
存在__ ______的有序实数对(x，y)，使____________．
[扩充]对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明
四点共面：
①
MP?xMA?yMB
；
②对空间任一点O，
OP?OM?xMA?yMB
；
③对空间任一点O，

???
????????????
???????? ????
?????????
a
??????
?????????
l
A
B
P
?????????
O
M
a
Ab
p
B
P
OP?xOM?yOA?zOB
?
x?y? z?1
?
；
????????????
O
④
PM
∥
AB
(或
PA
∥
MB
或
PB
∥
AM
)．
???
（3）空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面 ，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，
y，z}，使得_________________ __________．
其中，__________叫做空间的一个基底．



二、空间向量的线性运算
类比平面向量．
三、空间向量的坐标运算
1

a=(a
1
，a
2
，a
3
)，b=(b
1
，b
2
，b
3
)(a，b均为非零向量)：
a+b=_________________，a-b=________________，
λa=_____________；
a?b=__________________，< br>a
=________________；
cos=__________ ________=__________________；
a∥b
?
_____ _____
?
__________________；
a⊥b
?
__________
?
__________________．
四、空间位置关系
1． 直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量： l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称
AB
为直线l的方向向量．
与
AB
平行的任意__________也是直线的方向向量．
（2）平面的法向量
①定义：与平面__________的向量，称作平面的法向量． < br>②确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量
的方程组为____ ___________．
2． 空间位置关系的向量表示
位置关系
直线l
1
，l
2
的方向向量分别为
l
1
∥l
2

m
1
=(x
1
，y
1
，z
1
)，
l
1
⊥l
2

m
2
=(x
2
，y
2
，z
2
)
直线l的方向向量为
m=(x
1
，y
1
，z
1
)，
平面α的法向量为
n=(x
2
，y
2
，z
2
)
平面α，β的法向量分别为
n
1
=(x
1
，y
1
，z
1
)，
n
2
=(x
2
，y
2
，z
2
)

???
???
向量表示
m
1
∥m
2
?
_________
m
1
⊥m
2
?
___________
m⊥n
?
___________
m∥n
?
___________
n
1
∥n
2
?
__________
n
1
⊥n
2
?
_________
l∥α
l⊥α
α∥β
α⊥β
精讲精练
1. 已知空间四边形ABC D的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则
????
1
??
AB?(B D?BC)
=（ ）
2
???
2

A
D
B
G
C
A．
BC

???

C．
AG

???
???
B．
CG

???

???

?
1
??
BC
D．

2
2. 如图，在四 面体OABC中，
OA?a
，
OB?b
，
OC?c
，
D为BC的中点，E为AD的中点，则
OE
=___________．
（用a，b，c表示）
O
???
???
B
D
E
C
A

?????????
3. 已知向量a，b，且
AB?a?2b
，
B C??5a?6b
，
CD?7a?2b
，则一定共线
的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D



4. 下列等式中，使M，A，B，C共面的有__________．
①
OM?OA?OB?OC
；
③
MA?MB?MC?0
；


?????????
????????????
?
1< br>???
1
???
1
??
②
OM?OA?OB?OC< br>；
532
???
④
OM?OA?OB?OC?0
．
????????????
3

5. 已知{a ，b，c}是空间向量的一个单位正交基底，{a+b，a-b，c}是空间的另
31
一个基底 ，若向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(，
?
，3)，则p
22
在基底{a，b，c}下的坐标为__________．

6. 已知a=(x，4，1)，b=(-2，y，-1)，c=(3，-2，z)，a∥b，
b⊥c．
（1）x=_______，y=_________，z=_________；
（2）a+c与b+c所成角的余弦值为______________．


7. 如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，
点E，F分别是AB，A D的中点，则
EF
???
?
DC
???
=（ ）
A
E
F
B
D
C

A．
1
4
B．
?
1
4
C．
33
4
D．
?
4


8. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，
点E，F分别是BC，AD的中点，则AE
???
?
AF
???
的值为（ ）
A
F
B
D
E
C

A．
a
2
B．
1
3
2
2
a
2
C．
1
4
a
2
D．
4
a


9. 若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，则下列结论中正确的是（
A．若l⊥α，则a⊥n B．若l∥α，则a∥n
C．若a∥n，则l⊥α D．若a?n=0，则l⊥α
4

）

10. 已知A(1 ，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n=(1，1，1)，则以n为方
向向量的直 线l与平面ABC的关系是（ ）
A．垂直 B．不垂直
C．平行 D．以上都有可能


11. 若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是（ ）
A．a=(1，0，0)，n=(-2，0，0)
B．a=(1，3，5)，n=(1，0，1)
C．a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1)
D．a=(1，-1，3)，n=(0，3，1)


12. 已知平面α，β的法向量分别为a=(1，1，2)，b=(x，-2，3)，且α⊥β，则x
的值为（ ）
A．-2



13. 已知
AB
=(2 ，2，1)，
AC
=(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是
________ ________________．









14. 如图，在空间直角坐标系中，有直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，
CA?

CC1
?2CB
，则直线
BC
1
与直线
AB
1夹角的余弦值为（ ）
???
???
B．-4 C．3 D．4
5

z
B
O
(C)
A
x
5

5
B
1
C
1
y
A
1

C．
25

5
A．



B．
5

3

3
D．
5
15. 如图 ，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E，F分别是BB
1
，
D
1
B
1
的中点，求证：EF⊥DA
1
．
D
1
F
A
1
B
1
D
A
E
B
C
1
C















16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F，G分别为A
1
B
1
，B
1
C
1
，
C
1
D
1
的中点．
（1）求证：AG∥平面BEF；
（2）在棱BB
1
上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．
6

D
1
A
1
E
D
A




















回顾与思考
_ __________________________________________________ _____
________________________________________ ________________
_____________________________ ___________________________
【参考答案】
知识点睛
一、2．（1）a=λb；
（2）不共线 唯一 p=xa+yb
（3）p=xa+yb+zc {x，y，z}
三、(a
1
+b
1
，a
2
+b
2
，a
3
+b
3
) (a
1
-b
1
，a
2
-b
2
，a
3
-b
3
)
7

G
C
1
F
B
1
C
B

(λa
1
，λa
2
，λa
3
) a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3< br>
a?b
a

a
2
a
22
1< br>b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
1
?
2
?a
3

ab

a< br>2
?a
2
?a
2
b
2
?b
2
?b
2

123123
a=λb a
1
=λb
1
，a
2
=λb
2
，

a
3
=λb
3

a?b=0 a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3b
3
=0
四、1．（1）非零向量；（2）垂直

?
?
n?a?0
?
n?b?0

2．a
1
=λb
1
，a
2
=λb
2
，a
3
=λb
3
x
1
x
2
+y
1
y
2
+z
1
z
2
=0
x
1
x
2
+y
1
y
2
+z
1
z
2
=0

a
1
=λb
1
，a
2
=λb2
，a
3
=λb
3

a
1
=λ b
1
，a
2
=λb
2
，a
3
=λb
3
x
1
x
2
+y
1
y
2
+z
1
z
2
=0
精讲精练
1．C 2．
1
2
a+
1
4
b+
1
4
c 3．A 4．①③
5．(1，2，3) 6．（1）2、-4、2 （2）
?
2
19

7．B 8．C 9．C 10．A
11．D 12．B
13．(
13
，
?
2
3
，
2
3
)或(
?
1
22
3
，
3
，
?
3
)
14．A 15．略
16．（1）略 ；（2）M为BB
1
的中点



空间向量及其运算（随堂测试）
1．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，
P，Q是MN的三等分点， 用向量
OA
???
，
OB
???
，
OC
? ??
表示
OP
???
和
OQ
???
．








8

O
M
A
Q
P
C
N
B

2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量
是（ ）
A．(1，1，-1)
C．(1，1，1)










3．如图，在 长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中， 底面ABCD是正方形，
AA
1
?2AB
，
求AB
1
与D
1
B所成角的余弦值．
D
1
A
1
B
1
C
1
333
，
?
，
)
333






B．(
D． (
?
333
，
?
，
?
)
333
D
A
B
C




9

【参考答案】

?
1
???
1
???
1< br>??
1．
OP
=
OA?OB?OC

633< br>???
?
1
???
1
???
???
1
??
OA?OB?OC
OQ
=


366
2．D
3．


3

6
空间向量及其运算（作业）
例1： 如图，在正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，点E为上底面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，若
AE?AA
1< br>?xAB?yAD
，则x，y的值分别为（ ）
????????????D
1
A
1
D
A
A．x=1，y=1

B．x=1，y=
10
1

2
E
B1
C
1
C
B

11
，y=
22
【思路分析】
C．x=
????????????
D．x=
1
，y=1
2
???????
1
??????< br>1
??
AE?AA
1
?A
1
E?AA
1?(A
1
B
1
?A
1
D
1
)?AA< br>1
?(AB?AD)
22

???
1
???
1
???
?AA
1
?AB?AD ，
22
∵
AE?AA
1
?xAB?yAD
，
????????????
11
∴
x?，y?
，
22
故选C．

例2： 如图，在平行六面体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，AB=2，
AA
1
=2，AD=1，且AB，AD，AA
1
的两两夹角都是60°，
则
AC
1
?
BD
1
=________．
【思路分析】
平行六面体中AB，AD，AA
1
的长度和夹角都清楚，选取
AB
，
???
??????
D
1
A
1D
A
B
C
1
B
1
C
AD
，< br>AA
1
作为一组基底，表达
AC
1
和
BD
1
，利用数量积的
运算法则进行计算．
【过程示范】
设
AB
=a，
AD
=b，
AA
1
=c，
∴
AC
1
=
AB
+
BC
+
CC< br>1
=
AB
+
AD
+
AA
1
=a+b +c，
BD
1
=-
AB
+
AD
+
DD< br>1
=-a+b+c，
AC
1
?
BD
1
=( a+b+c)
?
(-a+b+c)=-a
2
+b
2
+c2
+2b
?
c
??????
???
???
? ?????
??????
???
???
???
???
???
??????
???
???
??????
???
1
=3．
2
例3： 如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E，F分别是
=-4+1+4+2×1×2×
A
1
B
1
，C
1
D
1
的一个四等分点， 求BE与DF所成角的余弦值．







11

D
1
A
1
F
E
B
1
C
1
D
C
B
A

【思路分析】
利用空间向量，将线线角转化为直线的方向向量的夹角问题．
【过程示范】
设正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
DC ， DD
1
为单位正交基底建立空间直角如图，分别以
DA ，
?????????
z
坐标系Dxyz，
则B(1，1，0)，E(1，
3
4
，1)，D(0，0，0)，F(0，
故
BE
???< br>=(1，
3
4
，1) - (1，1，0)=(0，
?
1
4
，1)，
DF
???
=(0，
1
4
，1) - (0，0，0)=(0，
1
4
，1)，
则
|BE
???< br>|
=
17
???
4
，
|DF|
=
1 7
4
，
BE
??????
?
DF
=0×0+(< br>?
1115
4
×
4
)+1×1=
16
，
??????
15
cos???
， DF
???>?
BE
?
DF
?
16
15
|BE
? ??
||DF
???
|
1717
?
17
，
4
?
4
则BE与DF所成角的余弦值为
15
17
．




12

1
4
，1)，
D
1
F
C
1
A
1
E
B
1
D
C
y
A
B
x

17. 如图，在三棱锥O-ABC中，点M，N分别为AB，OC的中点，且
OA?a， OB?b， OC?c
，用a，b，c表示
MN
，则
MN
=（ ）
???????????????
1
(b+c-a)
2
1
C．(a-b+c)
2
A．





1
(a+b-c)
2
1
D．(c-a-b)
2
B．
D
1
P
B
1
D
O
N
A
M
B
C
A
1
M
C
1
C
N
B
A


第1题图 第2题图
18. 如图，在斜四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，各面为平行四边形，设
AA
1
?a， AB?b， AD?c
，M，N，P分别是AA
1
，BC，C
1
D
1的中点，试用
?????????
a，b，c表示以下向量：
AP
=__ ________，
MP?NC
1
=__________．
??????
???





19. 下列等式中，使P，A，B，C共面的有__________．
①
OP?OA?AB?AC
；
?
1
???
1???
1
??
②
OP?OA?OB?OC
；
632< br>???
????????????
③
PA?PB?PC?0
；
④
OP?OA?OB?OC?0
．



20. 已知向量a=(2，-3，1)，b=(2，0，3)，c=(0，0，2)，
则a+b-c=__________；a
?
(b+c)=__________．

13

????????????
?????????

21. 与向量a=(1，-3，2)平行的一个向量的坐标是（ ）
1
A．(
，0，0) B．(-1，-3，2)
3
13
， ?1)
D．(
2
，-3，-
22
)
C．
(?，
22






22. 已知向量a=(1，0，-1)，则下列向量中与a成60°夹角的是（ ）
A．(-1，1，0) B．(1，-1，0)
C．(0，-1，1) D．(-1，0，1)








23. 已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x)，且a⊥b，则x=__________．





24. 已知{a，b，c}是空间向量的一个 基底，{a+b，a-b，c}是空间的另一个基底，
若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为
(4，2，3)，则p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为__________．



14

25. 如图，已知空间四边形ABCD的每条边及AC， BD的长都等于a，点E，F，
G分别是AB，AD，DC的中点，则
???
???
AB
?
AC
=__________；
AD
?
DB
=__________；
GF
?
AC
=__________；
??????
?? ????
A
E
B
G
C
F
D
EF
?
BC
=__________；
FG
?
BA
=__________；
GE
?
GF
=__________．














26. 已知a=(1，0，-1)，b=(-1，1，2)．
??????
???
???
???
???
①a- b与a夹角的余弦值为__________；
②若ka+b与a-2b平行，则k=__________；
③若ka+b与a+3b垂直，则k=__________．




15

27. 已知平面α内有一点M(-3，-2，0)，平面α的一个法 向量是n=(6，-3，6)，
则下列点P中在平面内的是（ ）
A．P(2，3，3) B．P(-2，0，1)
C．P(-4，-4，0) D．P(3，-3，4)






28. 两不重合直线l
1
，l
2
的方向向量分别为v
1
=(1，- 1，2)，
v
2
=(0，2，1)，则l
1
，l
2
的位置关系是（ ）
A．平行





B．相交 C．垂直 D．不确定
1
29. 若直线l的方向向量为e=(2 ，1，m)，平面α的一个法向量为n=(1，，2)，
2
且l⊥α，则m=________ ．


30. 给出下列命题：
1
①直线l的方向向量为a=( 1，-1，2)，直线m的方向向量为b=(2，1，
?
)，
2
则l⊥m；
②直线l的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α的一个法向量为n=(1，-1，-1)，
l?α，则l⊥α；
③平面α的一个法向量为n
1
=(0，1，3)，平面β的一 个法向量为n
2
=(1，0，
2)，则α∥β；
④平面α经过三点A(1， 0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)，向量n=(1，u，
t)是平面α的一个法向量 ，则u=1，t=0．
16

其中真命题的序号是（ ）
A．②③





B．①④ C．③④ D．①②

31. 如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，点M，N分别为棱A
1
A，B< br>1
B的中点，
求CM与D
1
N所成角的余弦值．
D
1
A
1
M
C
1
B
1
N
D
A












32. 如图，在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，
求证：OC⊥AB．
C

B
O
A
C
B




17

【参考答案】
1
2．a+b+c
2
4．(4，-3，2) 9
313
a+b+c 3．①②③
222

10
5．C 6．B 7．
8．(3，1，3)
3
111
111
9．
a
2
、
?a
2
、
?a
2
、
a
2
、
?a
2、
a
2

244
224
5115
10 ．
7
、
?
、

1427
11．C 12．C 13．4
1
14．B 15．
16．略
9

1．D

18

19