高中数学向量导学案全套

课题：2.1平面向量的实际背景及基本概念
编写： 审核：时间：
课前预习学案
一、 教学目标
1、理解平面向量的概念和向量的几何表示；
2、掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
3、 会区分平行向量、相等向量和共线向量.
二、 问题导学
1、向量的概念： 量叫向量。数量与向量 区别
2.向量的表示方法：
①
②
③
④向量
AB
的大小――长度称为向量的模，记作 。
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： 。
向量与有向线段的区别：
（1） 。
（2） 。
4、零向量、单位向量概念：
① 叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
② 叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
① 叫平行向量；②我们规定0与 平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量
ａ
、
ｂ
、
ｃ
平行，记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
6、相等向量定义： 叫相等向量。
说明：（1）向量
ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ＝
ｂ
；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同 一条有向线段来表示，并且与有
．．
向线段的起点无关.
．．．．．．．．
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为 （与有向线段的起点无
．．．．．．．．．
关）.
．．
a
A(起点)

B
（终点）

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向
量可以相互平 行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
三、问题探究：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

例3下列命题正确的是（ ）
A.
ａ
与
ｂ
共线，
ｂ
与
ｃ
共线，则
ａ
与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行


例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量
OA
、
OB
、
OC
相等的向量.

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？

变式三：与向量共线的向量有哪些？

四、课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量
AB
与
CD
是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
AB
＝
DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
五、自主小结

课后练习与提高
1．下列各量中不是向量的是（ ）
A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度
2.下列说法中错误的是（ ）
．．
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆
4．已知非零向量
ab
,若非零向量
ca
，则
c
与
b
必定 .
5．已知
a
、
b
是两非 零向量,且
a
与
b
不共线,若非零向量
c
与
a共线,则
c
与
b
必
定 .
6.设在平面 上给定了一个四边形
ABCD
,点
K
、
L
、
M、
N
分别是
AB
、
BC
、
CD
、DA
的中点,
则
|KL|?_______,KL?________

课题;2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
编写： 审核：时间：
一、学习目标
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边 形法则作两个向量的和向量，培养数形结合
解决问题的能力；
3、 掌握向量加法运算的交换律和结合律， 会用它们进行向量计算。
二、问题导学：
1、（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和： 。
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和： 。
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和： 。
（4）船速为
AB
，水速为
BC
，则两速度和：
。


A B
A B
C
C A B
C
A B C
2、向量的加法： 叫做向量的加法.
3、三角形法则（“ ”）
如图，已知向量a、 ｂ.在平面内任取一点
A
，作
AB
＝a，
BC
＝ｂ，则向量
AC
叫做
a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ
?AB?BC?AC
，规

a
ａ
ｂ
A
a
C
b
a+b
a
ｂ
B
a
b
a+b
定： 。
三、问题探究：
1、（1）两相向量的和仍是 ；
（2）当向量
a
与
b
不共线时，
a
+
b
的方向 ，且|
a
+
b
| |
a
|+|
b
|；
（3）当
a
与
b同向时，则
a
+
b
、
a
、
b

且|
a
+
b
| |
a
|+|
b
|，当
a
与
b
反向时，若|
a
|>|
b
|，
则
a
+
b
的方向与
a
相同，且|
a< br>+
b
| |
a
|-|
b
|；若
|
a
|<|
b
|，则
a
+
b
的方向与
b< br>相同，且|
a
+b| |
b
|-|
a
|. < br>（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到
n个向 量连加
2、例1、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b





作法：



3、加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同？

b
a
O
b
a
a
A
b

从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：
4、向量加法的结合律：
5、应用举例：
例二（P94—95）

四、课堂 练习：P95
五、自主小结
课后练习
1、一艘船从A点出发以
23kmh
的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的
速度的大小为
4kmh
，求水流的速 度.
2、一艘船距对岸
43km
，以
23kmh
的速度向垂直于对 岸的方向行驶，到达对岸时，
船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发 以
v
1
的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
v
2，船
的实际航行的速度的大小为
4kmh
，方向与水流间的夹角是
60?
，求
v
1
和
v
2
.
4、一艘船以5km h的速度在行驶，同时河水的流速为2kmh，则船的实际航行速度大小
最大是kmh，最小是kmh
５、已知两个力F
1
，F
2
的夹角是直角，且已知它们的合力F与F
1
的夹角是60
?
，|F|=10N
求F
1
和F< br>2
的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形


课题：2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
编写： 审核：时间：
一、学习目标：
1、 了解相反向量的概念；
2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
教学重点：相反向量与向量的减法
二、问题导学
1、向量加法的法则： 。

向量加法的运算定律： 。
2、在四边形中，CB+BA+BC= .
解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .
3、 用“相反向量”定义向量的减法
D C
A B
（1） “相反向量”的定义： 。
（2） 规定：零向量的相反向量仍是 .-(-a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是 .a + (-a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：
即： 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
4、 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作
。

求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法：

注意：1?
AB
表示a -b.强调：差向量“箭头”指向
2?用“相反向量”定义法作差向量，a -b =
。
显然，此法作图较繁，
但最后作图可统一
三、问题探究：
1）、如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是
。







a
b
O
a
?
b
A
?
b
B
B
a
b
a
?
b
O B
A
B’
O
a
?
b
A
B
a
?
b
O
A
２）若a∥b
，
如何作出a - b

？
2、例题：
例1、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.

例2、平行四边形
ABCD
中，
AB?
a，
AD?
b，
用a、b表示向量
AC
、
DB
.



变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|）

变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a， b互相垂直）

变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
四、课堂练习：见课本。
五、自主小结
课后练习与提高
1.在△ABC中，
BC
=a，
CA
=b，则
AB
等于( )
A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c，
OD
=d，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
３.如图，在四边形ABCD
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向 量，确定a、b、c、
d的方向（用箭头表示），使a+b=
AB
，
c-d=
DC
，并画出b-c和a+d.



参考答案：
1、D 2、D 3、f,e,f,0 4、略

课题;2.2.3向量数乘运算及其几何意义
编写： 审核：时间：
一、学习目标：
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
教学重点：向量的积、两个向量平行的充要条件。
二、问题导学
1、定义： . 实数与向量的积。
实数
λ
与向量
a
的积是一个向量，记作
λa
. 它的长度和方向规定如下：
（1） .
（2） .
2、运算律：设
a
、
b
为任意向量，
λ
、μ
为任意实数，则有：
（1） . ； （2） ； （3） .
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
3、向量平行的充要条件：
存在实数
λ
（
λ=μ
或
λ=-μ
）使
b=λa
.
4、单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量
a
（
a?0
）的单位向量 ：与
a
同方向的单位向量，记作
a
0
.
三、问题探究
1、如图，在
ΔABC
中，
D
是
AB
的中点，< br>E
是
BC
延长线上的点，且
BE=2BC
，是
根据下 列要求表示向量
DE
：
（1） 用
BA
、
BC
表示； （2）用
CA
、
CB
表示.

2、如图，在
ΔABC
中，已知
M
、N
分别是
AB
、
AC
的中点，用向量方法证明：
MN< br>A
C
1
1
BC

2
N
M
C
B
B
1
C
B
O
题 2
A

题 3
A
1


3、如图，已知
OA=kOA
求证：
ΔABC
∽
ΔA
1
B
1
C
1

1
，
OB=kOB
1
，
OC=kOC
1
，

四、课堂练习：
1、计算：（1）
(-3)?4a
； （2）
3(a+b)-2(a-b)-a
；
（3）
(2a+3b-c)-(3a-2b+c)
.
2、如图：已知
AD=3AB
，
DE=3BC
，试判断
AC
与
AE
是否平行．
解：




3、P145 1、2、3、4
五、课堂小结：
（1）
λ
与
a
的积还 是向量，
λa
与
a
是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和 证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结
论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问 题；
（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。

思考：设
a
、
b
是两个不共线向量，已知
AB=2a+mb
，
CB=a+3b
，若
A
、
B
、
C
三点共线，求
m
的值。

2.3.1平面向量的基本定理
编写： 审核：时间：
一、学习目标：
1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.
学习重难点：
1. 教学重点：平面向量基本定理
2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用
二、问题导学
1．实数与向量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a

（1）|λ
a
|= ；（2）λ>0时λ
a
与
a
方向 ；λ<0时λ
a
与
a
方向 ；λ
=0时λ
a
=
2．运算定律
??
?? ???
?
???
?
结合律：λ(μ
a
)= ；分配律：(λ+μ)
a
= ， λ(
a
+
b
)= .
?
?
3. 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，
使 .
三、问题探究
1、 平面向量基本定理：
(1) 我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示 这一平面内所有向量的
(2) 基底不惟一，关键是 ；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底
ｅ
１
、
ｅ
２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
2、例题讲解
例1 已知向量
e
1
，
e
2
求作向量?2.5
e
1
+3
e
2
.


?
?
??
?
例2、如图 ABCD的两条对角线交于点M，且
AB
=
a
，
AD
=
b
，用
a
，
b
表示
MA
，

MB
，
MC
和
MD






例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：
OA
+< br>OB
+
OC
+
OD
=4
OE






例4（1）如图，
OA
，
OB< br>不共线，
AP
=t
AB
(t?R)用
OA
，
OB
表示
OP
.





OB
不共线， （2）设
OA、
点P在 O、A、B所在的平面内，且
OP?(1?t)OA?tOB(t?R)
.
求证：A、 B、P三点共线.





例5 已知 a=2e
1
-3e
2
，b= 2e
1
+3e
2，其中e
1
，e
2
不共线，向量c=2e
1
-9e2
，问是否存在这

样的实数
?
、
?< br>,使d?
?
a?
?
b
与c共线.
四、课堂练习
1.设e
1
、e
2
是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e
1
、e
2
一定平行
B.e
1
、e
2
的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe
1
+μe
2
(λ、μ∈R)
D.若e
1
、e
2
不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe
1
+ue
2
(λ、u∈R)
2.已知向量a = e
1
-2e
2
，b =2e
1
+e
2
，其 中e
1
、e
2
不共线，则a+b与c =6e
1
-2e
2
的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e
1
、 e
2
不共线，实数x、y满足(3x-4y)e
1
+(2x-3y)e
2
=6e
1
+3e
2
，则x-y的值等于
( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ
1
a+λ
2
b(λ
1< br>，λ
2
∈R)，若c与b共线，则λ
1
= .
5.已 知λ
1
＞0，λ
2
＞0，
e
1
、
e
2
是一组基底，且
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
，则
a
与
e
1
_____，
a
与
e
2
_________(填共线或不共线).



课题：2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
____________1、平面向量的坐标表示。
2、平面向量的坐标运算
教学重点：平面向量的坐标表示与平面向量的坐标运算
一、问题导学 ：
1、平面向量基本定理：


理解：(1) 我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做 表示这一平面内所有向量的
(2) 基底不惟一，关键是 ；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2唯一确定的数量
?

三、问题探究
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与
x
轴 、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为
基底. 任作一个向量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
1

a?xi?yj
…………○
我们把
(x,y)
叫做 ，记作
2

a?(x,y)
…………○
2
式叫做 与其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标，○
．
a
相
．
等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．
(x,y)
.
特别地，i= , j= , 0= .
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起 点作
OA?a
，则点
A
的位置由
a
唯一确定.
设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点< br>A
的坐标；反过来，点
A
的坐标
(x,y)
也就是向量
OA
的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数
唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若
a?(x
1
,y
1< br>)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a? b
= ，
a?b
= .
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为
i
、
j
，则
a?b
?(x
1
i?y
1< br>j)?(x
2
i?y
2
j)?(x
1
?x
2
)i?(y
1
?y
2
)j

即
a?b
= ，同理可得
a?b
= .
（2） 若
A(x
1
,y
1
)
，
B( x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB
=
OB
?
OA
=( x
2
，

y
2
) ? (x
1
，y
1
)= .
（3）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a? (
?
x,
?
y)
.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设 基底为
i
、
j
，则
?
a
?
?
(x i?yj)
?
?
xi?
?
yj
，即
?
a? (
?
x,
?
y)

3、应用：
例1 已知A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，求AB
的坐标.


例2 已知
a
=(2，1)， < br>b
=(-3，4)，求
a
+
b
，
a
-
b
，3
a
+4
b
的坐标.


例3 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐
标使这四点构成平行四边形四个顶点.


例4已知三个力
F
1
(3， 4)，
F
2
(2， ?5)，
F
3
(x， y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
，求
F
3
的坐标.



四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且
MP?
1
MN
， 求P点的坐标
2
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则
AB
?2
BC
= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD
是梯形.
五、自主小结
课后练习
1、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则
OA
= _______________，
OB
=__________________。
2、已知向量
|
a
|?4
,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则a
的坐标为

_____________。
3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）
A．
a
?(0,0),
b
?(1,?2)

B．
a
?(?1,2),
b
?(5,7)

b
?(6,10)
C．
a
?(3,5)
b
?(4,?6)
D．
a
?(2,?3)
4、已知向量
a
?(?2,4)
b
?(1,?2)
则
a
与
b
的关系是（ ）
A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向
5、已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，
-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量
AC

BD

EF
并求向量
AC

BD

EF
的坐标。







课题：2.3.3平面向量的坐标运算
编写： 审核：时间：
一、学习目标：
1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运
算，进一 步培养学生的运算能力；
2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之 间的相联
系，培养学生辨证思维能力.
教学重点：平面向量坐标表示与平面向量的坐标运算法则。

二、问题导学

1、知识回顾：平面向量坐标表示
2.平面向量的坐标运算法则：
?
??
?
若
a
=(x
1
, y
1
) ，
b
=(x
2
, y
2
)则a
＋
b
＝____________________,

?
?
?
a
－
b
＝___ _____________________,λ
a
＝_________________ ____.
?
??
3、设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若
a
=(x
1
, y
1
) ，
b
=(x
2
, y
2
)，则
a
＝
?
?
?
?
?
?
x
1
i＋y
1< br>j，
b
＝x
2
i＋y
2
j，根据向量的线性运算性质 ，向量
a
＋
b
，
a
－
b
，λ
a< br>（λ∈R）
如何分别用基底i、j表示？
?
?
?
?
?
4、根据向量的坐标表示，向量
a
＋
b
，
a
－< br>b
，λ
a
的坐标分别是____________
5、已知点A(x
1
, y
1
),B(x
2
, y
2
)， 向量
AB
的坐标____________
平面向量的坐标运算法则：
（1）两向量和的坐标等于_______________________；
（2）两向量差的坐标等于_______________________；
（3）实数与向量积的坐标等于__________________________；
三、问题探究
??
??
?
?
?
?
例1 ：已知
a
=(2,1),
b
=(－3,4),求
a
＋
b
，
a
－
b
，3
a
＋4
b
的坐标.





例2：已知平行四边形ABCD的 三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，
4），求顶点D的坐标。

四、；课堂练习
1.下列说法正确的有（ ）个
（1）向量的坐标即此向量终点的坐标
（2）位置不同的向量其坐标可能相同
（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
（4）相等的向量坐标一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 已知A（-1，5）和向量
a
=(2,3)，若
AB
=3
a
，则点B的坐标为__________。
A．(7,4) B．(5,4) C．(7,14) D．(5,14)
3．已知点
A(1,1)
，
B(?1,5)
及
AC?
的坐标。
五、自主小结


课后练习与提高
1．已知
a?(3,2)
，
b?(0, ?1)
，则
?2a?4b
等于（ ）
??
11
AB
，
AD?2AB
，
AE??AB
，求点
C
、
D
、
E
22

A．
(?6,?8)
B．
(?3,?6)

C．
(6,8)
D．
(6,?8)

2．已知平面向量
a

?(1,2)
，
b?(m,n)
，且2
a?b
，则
2a?3b
等于（ ）
A．
(?2,?4)
B．
(?3,?6)

C．
(?5,?10)
D．
(?4,?8)

3 已知
a?(2,3)
，
b?(?1,2)
，若
ka?b
与
a?kb
平行，则
k
等于（ ）．
A. 1 B. -1 C.1或-1 D.2

4.已知
a?(5,2)
，
a?(?7,?2)
，则4a?3b
的坐标为____________.
5.已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若AP=AB+λAC(λ∈R) ，
则λ为_______时，点P在一、三象限角平分线上.

6 . 已知
a?(2,?4)
，
b?(?1,3)
，
c?(6,5)
，
p?a?2b?c
，则以
a
，
b
为基底，求
p
.


2.3.4平面向量共线的坐标表示
编写： 审核：时间：
一、学习目标：
1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思
维能力.
教学重点：向量共线时坐标表示的充要条件
二、问题导学
1、知识回顾：平面向量共线定理_______________________________ .
2.平面向量共线的坐标表示：
???
??
设
a
=(x
1
, y
1
)
b
=(x
2
, y
2
)（
b
?
0
） 其中
b
?
a
，

?
??
则
a
∥
b
(
b
?
0
)
?
_____________________.
三、问题探究
?
?
1、共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得
b
=λ
a
，那么这个条件是否也能用
坐标来表示呢？
???
??
设
a
=(x
1
, y
1
),
b
=(x
2
, y
2
)（
b
?
0
） 其中
b
?
a

?
?
由
a
=λ
b
，得____________ _______,即__________________________,消去λ后得:
__________________________________.这就是说,当且仅当____ _______________时,向量
?
?
a
与
b
共线 .
2.典型例题
例1 已知
a?(4,2)
，
b?(6,y)< br>，且
ab
，求
y
．




例2: 已知
A(?1,?1)
，
B(1,3)
，
C(2, 5)
，求证
A
、
B
、
C
三点共线．




例3:设点P是线段P
1
P
2
上的一点， P
1
、 P
2
的坐标分别是(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
).
(1) 当点P是线段P
1
P
2
的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P
1
P
2
的一个三等分点时，求点P的坐标.

三、当堂检测
?
?
?
?
?
?
1.已知< br>AB
=
a
+5
b
，
BC
=－2
a< br>+8
b
，
CD
=3（
a
－
b
），则 （ ）
A. A、B、D三点共线
C. B、C、D三点共线




B .A、B、C三点共线
D. A、C、D三点共线
?
?
2.若向量
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2)共线且方向相同，则x为________.
3．设
a?(,sin
?
)
，
b?(cos
?
,)
，
?
?(0,2
?
)
，且
ab
，求角
?
．

四、自主小结


3
2
1
3

课后练习与提高

?
??
?
1.若
a
=(2，3)，
b
=( 4，-1+y)，且
a
∥
b
，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若
AB
=i+2j，
DC
=(3-x)i+(4-y )j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位
向量).
AB
与
DC
共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
?
??
?
4.已知
a
=(4，2)，
b
=(6，y)，且
a
∥
b
，则y= .
?
??
?
??
5.已知
a
=(1，2)，
b
=(x，1)，若
a< br>+2
b
与2
a
-
b
平行，则x的值为
6.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量
AB
与
CD
平行吗？直线
AB与平行于直线CD吗？






2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
编写： 审核：时间：
一、学习目标：

1、平面向量的数量积及其几何意义；
2、平面向量数量积的重要性质及运算律；
教学重点：平面向量的数量积及其几何意义
二、问题导学：
1.平面向量数量积（内积）的定义：
2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

3．“投影”的概念：作图
4.向量的数量积的几何意义：
5．两个向量的数量积的性质：
设
a
、
b
为两个非零向量 ，e是与
b
同向的单位向量.
1? e?
b
=
b
e =
2?
a
?
b
?
a
?
b
= < br>设
a
、
b
为两个非零向量，e是
a
与同向的单位向量 .
e?
a
=
a
?e =
a
?
b
= 当
a
与
b
反向时，
a
?
b
= 特别的
a
?
a
= 3? 当
a
与
b
同向 时，
|
a
|
2
或
|a|?a?a

4? cos? =
5? |
a
?
b
| ≤ |
a
||
b
|
6、完成下表：
?
的范围
a
·
b
的符号

三、问题探究
0°≤
?
<90°

?
=90°


0°<
?
≤180°


例1 ：已知｜
a
｜＝３，｜
b
｜＝６，当①
a
∥
b
，②
a
⊥
b
，③
a
与
b
的夹角
是60°时，分别求
a
·
b
.
解：

变式：对于两个非零向量
a
、
b
，求使|
a
+t
b
|最小时的t值，并求此时
b
与
a
+t
b
的夹
角.


例2、（师生共同完成）已知︱
a
︱=6，︱
b
︱=4,
a
与
b
的夹角为60°，求
（
a
+2
b

）·（
a
-3
b
），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：

222
变式：
（1）(
a
+
b< br>)=
a
+2
a
·
b
+
b

（2）(
a
+
b
)·(
a
-
b
)=

a
—
b

22

四、课堂练习

b
. 1 .已知|
a
|=5， |
b
|=4，
a
与
b的夹角θ=120
o
，求
a
·

2. 已知|
a
|=6， |
b
|=4，
a
与
b
的夹角为60
o
求(
a
+2
b
)·(
a
- 3
b
)
.
3 .已知|
a
|=3， |
b
|=4， 且
a
与
b
不共线，k为何值时，向量
a
+k
b
与
a
-k
b
互相垂直.

4.已知｜
a
｜＝３，｜
b
｜＝６，当①
a
∥b
，②
a
⊥
b
，③
a
与
b
的 夹角是60°时，分
b
. 别求
a
·

b
；(2) 若
a
、
b
的夹角为６０°5.已知|
a
|=1，|
b
|=
2
，(1)若
a
∥
b
，求
a
·，求|
a
+
b
|；
(3)若
a
-
b< br>与
a
垂直，求
a
与
b
的夹角.

6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量
a
=2m+n与
b
= 2n-3m的夹角.

五、自主小结
课后练习与提高
1.已知|
a
|=1，|
b
|=
2
，且(
a
-
b< br>)与
a
垂直，则
a
与
b
的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°

2.已知|
a
|=2，|
b
|=1，
a
与
b
之间的夹角为
?
，那么向量m=
a
-4
b
的模为（ ）
3
A.2 B.2
3
C.6 D.12
3.已知
a
、
b
是非零向量，则|
a
|=|
b
|是 (
a
+
b
)与(
a
-
b
)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量
a
、
b
的夹角为
?
，|
a
| =2，|
b
|=1，则|
a
+
b
|·|
a
-
b
|= .
3
5.已知
a
+< br>b
=2i-8j，
a
-
b
=-8i+16j，其中i、j是直 角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位
b
= . 向量，那么
a
·
6.已知
a
⊥
b
、c与
a
、
b
的夹角均为60°，且|
a
|=1，|
b
|=2，|c|=3，则(
a
+2
b
-c)＝______.
２






2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
编写： 审核：时间：
一、教学 目标
1、学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
2、掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问
题.
学习重难点：平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用
平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。了解向量的模、夹角等公式。
二、问题导学：
1.平面向量数量积（内积）的坐标表示

2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示： 单位向
量的模 表示

(2)平面上两点间的距离公式：
向量
a
的起点和终点坐标分别为A(x< br>1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)
AB=

(3)两向量的夹角公式cos? =
3. 向量垂直的判定（坐标表示）
4.向量平行的判定（坐标表示）
5、a与b的数量积的定义
三、问题探究
一）1 、已知两个非零向量a=(x
1
,x
2
),b=(x
2
,y
2
), a·b=
22
正交单位基向量i,j的运算 ：i=1,j=1,i·j=0

2、向量的模的坐标表达式

若a=(x,y)， 向量的模|a|=

3、若A(x
1
,x
2
),B(x
2
,y
2
)， 向量AB的模两点A、B间的距离
4、向量夹角、垂直、坐标表示
设a,b都是非零向量，a=(x
1,
y< br>1
),b(x
2
,y
2
),
1）、向量夹角的坐标表示
2）、a⊥b<=> <=>x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
3）、a∥b <=>X
1
y
2
-x
2
y
1
=0
二）例题
例1、如图，以原点和
A
(5， 2)为顶点作等腰直角△
OAB
，使?
B
= 90?，求点
B
和向量
AB
的坐标.





变式：已知
a+b=2i-8j,a?b=?8i+16j,则ab






例2 在△
ABC
中，
AB
=(2， 3)，
AC
=(1，
k
)，且△
ABC
的一个内角为直角，求
k
值.

，
变式：已知，
a
?(1,2),
b
?(?3,2)
当k为何值时，（1）
ka
?< br>b
与
a
?3
b
垂直？
（2）
ka
?
b
与
a
?3
b
平行吗？平行时它们是同向还是反向？

四、 课堂检测
1.已知|
a
|=1，|
b
|=
2
，且(
a
-
b
)与
a
垂直，则a
与
b
的夹角是（ ）
A.60°
B
.30° C.135° D.４５°
2. 已知|
a
|=2，|
b
|=1，
a
与
b
之 间的夹角为
?
，那么向量
m
=
a
-4
b
的 模为（ ）
3
A.2
B
.2
3
C.6 D.12
3、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a与b的 数量积


4、设a=(2,1),b=(1,3),求a·b及a与b的夹角


5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?
五、自主小结

课后练习与提高
1.已知
a?(?4,3),b?(5,6)
则
3a?4a?b=
（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2 .已知
a
?
3,4
?
,b=
?
?5,12
?
则
a与 b
夹角的余弦为（ ）
A. B.
65
C. D.
13

2
13
63
5
65
3.
a=
?
2,3
?< br>,b=(?2,4),
则
a+b?a-b=
__________。
????
4.已知
a=
?
2,1
?
,b=
?
?
，3
?
且a?b
则
?
＝
__________ 。
5.
a=(?4,7);b=(5,2)
则
a?b=
_______
a=_____ 2a?3b?a+2b=
_______
6.与
a=
?
3,4
?
垂直的单位向量是__________
????
43
43
（??）
(,)
A. B.
5，5
55
4343
（，)或(-,-)
D.
5555
4343
C.（，?）或（-，）
5555
7.
a =(2,3),b=(-3,5)
则
a在b
方向上的投影为_________

8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以
ABC
为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不等边三角形
9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD为（ ）
A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形
10.已知点A（1，2）， B(4,-1),问在y轴上找点C，使∠ABC＝90?若不能，说明理由；
若能，求C坐标。



2.5平面向量应用举例


一、教学目标
1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析
几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.
2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.
教学重点：知识应用
二、问题导学
1、向量加减法

2、 向量数量积的运算法则
3、利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1） 建立平面几何与向量的联系，
（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。

三．问题探究
探究一： 向量运算与几何中的 结论＂若
a?b
，则
|a|?|b|
，且
a,b
所在直线平 行或重
合＂相类比

例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：
AC?BD?AB?BC?CD?DA
．



试用几何方法解决这个问题

变式训练：
?ABC
中，D、E、 F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，
设
AB?a,AC?b.

（1）证明A、O、E三点共线；
（2）用
a,b.
表示向量
AO
。

例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的
中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之
间的关系吗？

探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越< br>小越省力. 这些力的问题是怎么回事？


例3．在日常生活中，你是否有 这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹
角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省 力．你能从
数学的角度解释这种现象吗？







222222

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：
⑴
?
为何值时，|F
1
|最小，最小值是多少？
⑵|F
1
|能等于|G|吗？为什么？



例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度
d?500
m，
一艘船从A处出发到河对岸．已知 船的速度|v
1
|=10kmh，
水流的速度|v
2
|=2kmh， 问行驶航程最短时，所用的时间是
多少(精确到0.1min)？






变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为
s
A
?(4,3),s
B
?(2,10)
，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位 移s; (2)计算s在
s
A
方
向上的投影。
四、课堂检测
1.已知
?ABC中，a?2,b?3,C?60
，求边长c。


2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。

3.在平面上的三个力
F
1
,F
2
,F
3
作用于一点且处于平衡状态，
0
F
1
?1N,F
2?
的大小。
五、自主小结
6?2
N,F
1
与F2
的夹角为
45
o
，求：（1）
F
3
的大小； （2）
F
1
与
F
3
夹角
2


课后练习与提高
一、选择题
1.给出下面四个结论：
① 若线段AC=AB+BC，则向量
AC?AB?BC
；
② 若向量
AC?AB?BC
，则线段AC=AB+BC；

③ 若向量
AB
与
BC
共线，则线段AC=AB+BC;
④ 若向量
AB
与
BC
反向共线，则
AB?BC?AB?BC
.
其中正确的结论有 （ ）
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.河水的流速为2
m
s
，一艘 小船想以垂直于河岸方向10
m
s

的速度驶向对岸，则小
船的静止速度大小为 （ ）
A.10
m
s
B.
226
m
s
C.
46
m
s
D.12
m
s
3.在
?ABC
中，若
(CA?CB)?(C A?CB)
=0，则
?ABC
为 ( ）
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定
二、填空题
4.已知
? ABC
两边的向量
AB?e
1
,AC?e
2
，则BC边上的 中线向量
AM
用
e
1
、
e
2
表
示 为
5.已知
OP
1
?OP
2
?OP
3
?0
，
OP
1
?OP
2
?OP< br>3
?1
，则
OP
3
两两夹角是
1
、
OP
2
、
OP