高中数学经典向量选择题(含答案)

2014-2015学年度10月考卷
1．在
?ABC
中，
AB?3,AC?2,BC?10
，则
CA?AB
=（）
A．B．
3
2
2
23
C．
?
D．
?

3
32
【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意，得
c osA?
AC?AB?BC
2?AC?AB
222
?
4?9?101
?
，
2?2?34
13
所以
CA?AB??CAABco sA??2?3???
.故选D.
42
考点：余弦定理，向量的数量积.
2．下列向量中不是单位向量的是（）
A．
?
?1,0
?
B．
?
?1,1
?
C．
?
cos
?
,si n
?
?
D．
【答案】B
【解析】
a
a
（
a?0
）
试题分析：单位向量的模是单位1，B选 项中
1
2
?
1
2
?
2
，故B选项不是单位 向量.选B.
考点：单位向量.
2
?
3．平面向量
a
与
b
的夹角为
，
a?(3,0)
，
|b|?2
，则< br>|a?2b|?
（）
3
A．
13
B．
37
C．7D．3
【答案】A
【解析】
试题分析：∵平面向量
a
与
b
的夹角为
2
?
，
a?(3,0)
，
|b|?2
，
3
2
?
1
∴
a?b?|a|?|b|cos?3?2?(?)??3
，
32
22
∴
|a?2b?(a?2b)
2
?a?4b? 4a?b?9?4?4?12?13
，
故选A.
考点：平面向量数量积的运算.
4．已知平面向量
a?(1,2)
，
b?(2,y)
，且
a b
，则
a?2b=
（）
A．
(5,?6)
B．
( 3,6)
C．
(5,4)
D．
(5,10)

【答案】D
【解析】试题分析：由已知，
2y
?,y?4,
所以，
a?2b?( 1,2)?2(2,4)?(5,10)
，故选
D
.

12
考点：1.共线向量；2.平面向量的坐标运算.

5．已知a?(?3,?2),?b?(?1,?0)
，向量
a??
?
b
与
?b
垂直，则实数
?
的值为（）
1
1
A．
?3
B．3 C．
?
D．

3
3
【答案】A
【解析】
试题分析：因为
a?
?
?3,2
?
,b?
?
?1 ,0
?
,
所以
a?
?
b?
?
?3?
?
,2
?

又向量
a??
?
b
与
?b
垂直，所以，
(a?
?
b)?b?0
，即
?
?3?
?
?
?
?
?1
?
?0
，解得：?
??3

故选A．
考点：向量的数量积的应用．
6．已知 向量
AB
与
AC
的夹角为120°,且
AB?2,AC?3
,若
AP?
?
AB?AC
,且
AP?(AC?AB)?0
， 则实数
?
的值为（）
A．
312
B．C．
6
D．
13

77
【答案】B
【解析】
试题分析：由题设
AB?AC?AB? AC?cos?AB,AC??2?3?cos120??3

所以由
AP?(AC?AB)?0

得：
?
AB?AC2
???
AC?AB
?
?0

2
所以，
?
?
AB?
?
?
?1
?
AB?AC?AC?0< br>
所以，
?4
?
?3
?
?
?1
?< br>?9?0
，解得：
?
?
故选B.
考点：向量的数量积. < br>7．已知向量
p?(2,?3)
，
q?(x,6)
且
pq，则
|p?q|
的值为
A．
5
B．
13
C．5D．13
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意结合向量共线的充要条件可得：2×6-（-3）x=0，解得x=-4
故
p?q?
=（-2，3），
由模长公式可得
p?q?
(
?
2)
2
?
3
2
?
13

故选C
考点：１．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；２．平面向量共线（平行）的坐标
表示．
8．已知m
?
?
a,?2
?
，n
?
?1,1?a
?
，则“a＝2”是“m

n”的（）
12

7

A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知m

n
?a(1?a)?1?(?2)?0?a??1,or,a?2
，故知“a＝2”是“m

n”的充
分而不必要条件，故选Ｂ．
考点：1．向量平行的条件；2．充要条件．
9．已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足
OP?O A?
?
(
AB
|AB|cosB
?
AC
|AC|c osC
),
?
?(0,??)
，则动点P的轨迹一定通过
△ABC的（）
A.重心B.垂心C.外心D.内心
【答案】B
【解析】
试题分析：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．
则
B C?
AB
ABcosB
?
BCABcos
?
?
?B
?
ABcosB
??BC
,同理
BC?
AC
ACc osC
?BC
,
∵动点P满足
OP?OA?
?
(
AB
AB
|AB|cosB
?
AC
?
AC
|AC| cosC
),
?
?
(0,
??
)

∴AP?
?
(
|AB|cosB
?
|AC|cosC
),
?
?
(0,
??
)

∴
APBC?
?
(
ABBC
|AB|cosB
ACBC
|AC|cosC
)
?
?
?BC?BC?
0

?
?
所以
AP?BC
,因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
考点：向量的线性运算性质及几何意义.
10．已知向量
a,b
的夹角为< br>45
?
，且
a?1
，
2a?b?10
，则
b ?
（）
A.
2
B.
2
C.
22
D.
32

【答案】D.
【解析】
试题分析：∵
|2a?b|?10
，∴< br>|2a?b|?(2a?b)?4a?4a?b?b?10
，即
|b|
2
?22|b|?6?0
，
解得
|b|?32
.
考点：平面向量的数量积.
11．已知向量
a
，
b
满足< br>|a|?3
，
|b|?1
，且对任意实数
x
，不等式
|a?xb|?|a?b|
恒成立，设
a
与
22
22
b的夹角为
?
，则
tan2
?
?
（）
A.2
B.
?2
C.
?22
D.
22

【答案】D
【解析】
试题分析：
a?xb?a?b
?a?xb?a?b?a?x
2
b?2xab?a?b?2ab
因为向量
| a|?3
，
|b|?1
，所以
3?x
2
?23xcos?
?4?23cos
?
?x
2
?23xcos
?
?1?23cos
?
?0
.又因为不等式
|a?xb|?|a?b|
恒成立，所以
x
2
?23xcos
?
?1?23cos
?
?0
恒成立.所以
22
2222
??
??
??< br>23cos
?
??
2
?41?23cos
?
?0?
??
?
3cos
?
?2
?
2
?0? cos
?
??
3
1
，所以
sin
?
?.
2
2
即
tan
?
??
3
2tan
?
?tan2
?
??22
.
2
3
1?tan
?
考点：平面向量及应用.
12．设向量
a,b
满足
|a?b|?10
，
|a?b|?6
，则
a?b?
（）
A.1B.2 C.3D.5
【答案】A
【解析】
试题分析：由
a?b?10,a?b?6
可得
a?b?1 0,a?b?6
，即
22
a?b?2ab?10,a?b?2ab?6
，两式 相减可得：
a?b?1
.

考点：向量的数量积.
1
13 ．在
?ABC
中，已知
D
是边
AB
上的一点，若
A D?2DB
，
CD?CA?
?
CB
，则
?
?

3
1213
A．B．C．D．

3324
【答案】B
【解析】
2
2212
试题分析：由已知得
CD
?
CA
?
AD
?
CA
?
AB
?
CA
?(
CB
?
CA
)?
CA
?
CB
，因此< br>?
?
，答案
3
3333
选B.
考点：向量的运算与性质
2222
14．如图，
?ABC
的外接圆 的圆心为
O
,
AB?2
,
AC?3
,
BC?7,则
AO?BC
等于（）
35
A．
2
B．
2
C．2D．3
【答案】B
【解析】
1
试题分析：取
BC
中点
D
，连接AD,OD
,则易知
OD?BC
，
AD?(AB?AC)
,由< br>AO?AD?DO
，
2
22
115
?AO?BC?(AB?A C)(AC?AB)?(AC?AB)?
．
222
故选B
考点：向量的线性运算；数量积的应用．

15．已知向量
a?(co s
?
,sin
?
)
,
b?(3,?1)
则
|2a?b|
的最大值，最小值分别是（）
A．
42,0
B．
4, 42
C．
16,0
D．
4,0

【答案】D
【解析】
试题分析：由已知易得，
2a?b?(2cos
?
?3, 2sin
?
?1)
，
?
2a?b?(2cos
?
? 3)
2
?(2sin
?
?1)
2

=8?8sin (
?
?
?
)
，由
sin(
?
?)?
?
?1,1
?
，
?8?8sin(
?
?)?
?< br>0,16
?
，即
2a?b?
?
0,4
?
．
3
33
?
?
故选D．
考点：向量的坐标运算；三角函数的最值．
16．已知，是两个单位向量，且．若点C在∠A OB内，且∠AOC=30°，
（m，n∈R），则=（ ）
A．B．3 C．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为
OA
，
OB< br>是两个单位向量，且
所以
OA?OB
，故可建立直角坐标系如图所示．
则
OA
=（1，0），
OB
=（0，1），故
．
D．
=m（1，0）+n（0，1）=（m，n），又点C在∠AOB内，
所以点 C的坐标为（m，n），在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan30°=
m
?3,< br>
n
考点：平面向量数量积的运算．
n3
?,
，所以
m3
17．已知：
e
1
,e
2
是不共线向量，
a ?3e
1
?4e
2
，
b?6e
1
?
ke
2
，且
ab
，则
k
的值为（）
A．
8
B．
?8
C．
3
D．
?3

【答案】B
【解析】
试题分析：因为
ab
，故设
b?< br>?
a
，即
6e
1
?
k
e
2
?3
?
e
1
?4
?
e
2
，又
e< br>1
,e
2
是不共线向量，所以有
6?3
?
,k??4
?
，解得
k??8
，故选择B.
考点：平面向量平行.
18．在△ABC中，已知
|AB|?4,|AC|?1
，
S
?ABC
?3
，则
AB?AC
的值为（）
A．
?2
B．
2
C．
?4
D．
?2

【答案】D
【解析】
试题分析：由
S
?ABC
?
3
11，因为
0?A?
?
，所以
ABACsinA??4?1?sinA?3< br>，得
sinA?
2
22
cosA??
1
?
1
?
，从而
AB?AC?ABACcosA?4?1?
?
?
?
??2
，故选择D．
2
?
2
?
考点：平面向量的数量积及三角形面积公式．
19．设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为()
A.
3
B.
1
C.1D.2
2
2
【答案】A
【解析】试题分析：由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1 ，于是|a＋b|
2
＝1，即a
2
＋2a·b＋b
2
＝1， 即a·b
1
＝－
2
3
3
|a－tb|
2
＝a
2
－2ta·b＋t
2
b
2
＝(1＋t
2)－2ta·b＝t
2
＋t＋1≥，故|a－tb|的最小值为
.选A
2
4
考点:平面向量基本运算
?
20．在
?ABC
中，有如下四个命题：①
AB?AC?BC
；②
AB?BC?CA?
0；③若
(AB?AC)?(AB?AC)?0
，
则
?ABC
为等 腰三角形；④若
AC?AB?0
，则
?ABC
为锐角三角形．其中正确的命题 序号是
A．①②B．①④C．②③D．②③④
【答案】C
【解析】
试 题分析：①
AB?AC?CB
错；②
AB?BC?CA?0
对；③
A B?AC?AB?AC?AB?AC?
0
，
?AB?AC
，对；④
AC?AB?0
，
?A
为锐角，但不能判断三角形的形状.
????
22
考点：平面向量的加法、减法和数量积的概念.
?
x
2
?y
2
?1,
?
?
21．设O为坐标原点，A
?
1,1
?
，若点
B
?
x,y
?< br>满足
?
0?x?1,则OA?OB
取得最小值时，点B的个数是
?0?y?1,
?
?
()
A.1B.2 C.3D.无数个
【答案】B
【解析】
?
x
2
?y
2
? 1
?
试题分析：先画出点B（x，y）满足
?
0?x?1
的平面区域 如图，
?
0?y?1
?
又因为

OA?OB?x?y< br>，所以当在点Ｍ（0，1）和点B（1，0）处时，x+y最小．即满足要求的点有
两个．故选B ．
考点：向量在几何中的应用．
22．如图，
D
是△
ABC的边
AB
的中点，则向量
CD
等于（）
1111
A.
?BC?BA
B.
?BC?BA
C.
BC?BA
D.
BC?BA

2222
【答案】A
【解析】
1
试题分析：
CD?CB?BD??BC?BA

2
考点：平面向量的运算.
23．在
?ABC
中，若
|B A?BC|?|AC|
，则
?ABC
一定是（）.
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定
【答案】C
【解析】
试题分析：由于
BA?BC?AB?BC
，化简得
AB?BC?0
， 因此
AB?BC
.
考点：判断三角形的形状.
x
2
y< br>2
?1
上有两个动点
P,Q
，
E
?
3,0< br>?
为定点，
EP?EQ
，则
EP?QP
的最小值为（） 24．在椭圆
?
369
22
A.6B.
3?3
C.9D .
12?63

【答案】A
【解析】
22
x
0
y
0
?1
，因为
EP?EQ
，所以
试题分析：设< br>P(x
0
,y
0
)
，则有
?
369
EP?QP?EP?EP?EQ?EP
????
2
?EP?EQ?EP
??< br>2
2
?
x
0
?
?
?
x
0< br>?3
?
?y?
?
x
0
?3
?
?9?
?
1?
?
，
?
36
?
2
20
2
3
2
x
0
?6x
0
?18
，因为
?6?x
0
?6
，所以当
x
0
?4
时，
EP?QP
取得最小值
6
，故选择A.
4
考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值.
21
25．在△
ABC
中，点
P
是
AB
上一点，且
CP?CA?C B
，
Q
是
BC
中点，
AQ
与
CP
交点为
M
，
33
即
EP?QP?
又
CM?tCP< br>，则
t
的值为（）
A.
1243
B.C.D.
2354
【答案】D
【解析】
试题分析：因为
A,M,Q
三点共线，所以可设
AM?
?
AQ
，又

111?
2
?
2
?
2
?
CM?tCP?t
?
CA?CB
?
?tCA?tCB
，所以
AM?CM?CA?
?
t?1
?
CA?tCB
，
333
?
3
?
3
?
3
?
11
1
?
2
?
AQ?CQ?CA?CB?CA
，将它们代入
AM?
?
AQ
，即有< br>?
t?1
?
CA?tCB?
?
CB?
?
CA
，由
32
2
?
3
?
?
2
t?1? ?
?
?
31
?
3
于
CA,CB
不共线，从 而有
?
，解得
t?,
?
?
，故选择D.
42?
1
t?
1
?
?
2
?
3
考点 ：向量的基本运算及向量共线基本定理.
26．设向量
a?(cos25?,sin25?) ,b?(sin20?,cos20?)
，若
c?a?tb
（
t?
R
），则
c
的最小值为（）
A.
2
B.
1
C.
1
2
D.
2
2
??
2
【答案】D
【解析】
试题分析：
?
c
?
?
?
a?tb
?
?
?a
?
222
?2ta?b?t
2
b
??
2?
2
?
11
2
2
?1?2tsin(20??25?) ?t
?t?2t?1?
?
?
t?
2
?
?
?
2
?
2
,故选
??
2
择D.
考点：向量知识、三角函数和二次函数.
12
27．在△ABC中，N是AC边上一 点，且
AN
＝
NC
，P是BN上的一点，若
AP
＝m
AB
＋
AC
，
29
则实数m的值为( ).
11
A.B.C．1D．3
93
【答案】B
【解析】
1121
试题分析：,
AN?NC
,
?BN?BA?(BC?BN)
,则
BN?BA?BC
;因为
AP
＝m
AB
＋
22 33
2
AC
，所以
9
272
?BP?BA??mBA?( Bc?BA)
.，即
BP?(?m)BA?BC
;
?P
是BN上的一 点，
?BN?
?
BP
,
999
1
74
??m?
，即
m?
.
3
99
考点：平面向量的线性运算.
28．如图，
?ABC
的
AB
边长为
2
，
P，Q
分别是
AC，BC中点，记
AB?AP?BA?BQ?m
，
AB?AQ?BA?BP?n
， 则（）
A．
m?2，n?4
B．
m?3，n?1

C．< br>m?2，n?6
D．
m?3n
，但
m，n
的值不确定
【答案】C.
【解析】

2
111
试题分析：m?AB?AP?BA?BQ?AB(AP?QB)?AB(AC?CB)?AB?2
，
222
2
33
?AB(AC?CB)?AB?6
.
22
考点：平面向量数量积.
29．已知向量
OB?(2,0)
， 向量
OC?(2,2)
，向量
CA?(2cos
?
,2sin
?
)
，则向量
OA
与向量
OB
的
夹角的取值范围 是（）
?
?
5
?
?
5
?
5
??
A.
[0,]
B.
[,]
C.
[,]
D.
[,]

4
412124
1212
【答案】D.
【解析】
试题分析：如图，以
O
为原点建立平面直角坐标系，则由题意可知
O(0,0 )
，
B(2,0)
，
C(2,2)
，
又由
CA? (2cos
?
,2sin
?
)
可知
A
在以
C
为圆心，
2
为半径的圆上，若直线
OA
与圆相切，由图
s in?COA?
可知
AC21
????
????COA???AOB???< br>OC
22
264612
，即
OA
与
OB
夹角 的最小值为
?
5
?
?
5
?
，同理可得
OA
与
OB
夹角的最大值为，即
OA
与
OB
夹角的取值 范围为
[,
]
.
1212
1212
考点：1.平面向量的坐标；2.直线与圆的位置关系.
30．若四边ABCD满足
AB?CD?0
,
AB?DB?AB?0
，则该四 边形是
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．正方形
【答案】B
【解析】
试题分析：由
AB?CD?0
知，
AB
=
DC
，所以ABCD
，∴四边ABCD是平行四边形，∵
??
?
AB?DB
?
?AB
=
?
AB?BD
?
?AB
=
AD ?AB
=0，∴AD⊥AB，∴四边ABCD是矩形，故选B．
先将
AB?CD?0
化为
AB
=
DC
，根据相等向量的概念知
ABCD
，所以四边ABCD是平行四边形，
由相反向量的概念及向量加法得
AB?DB?AB
=
AB?BD?AB
=
AD?AB
=0，由向量垂直的充要条
件知A D⊥AB，所以四边ABCD是矩形，故选B．
考点：相反向量；向量相等的概念；向量加法；向量垂直的充要条件
31．设向量
a ?(cos25,sin25),b?(sin20,cos20)
,若
c?a?tb
(t?R),则
(c)
2
的最小值为
A．
2
B.1 C.
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知得
c?
(cos25
?
?t
sin20
?
,sin25
?
?t
cos20
?
)
，则
(c)
2
?c?t
2
?2t?1
，在对称轴处
1
。
2
考点：（1）向量的坐标运算；( 2)同角三角函数基本关系式及二倍角公式；（3）二次函数的性质。
2
??
??< br>?
oo
?
oo
???
1
2
D.
< br>2
2
取到最小值

1
32．已知
a?(,2si n
?
),b?(cos
?
,3)
，且
ab
.若?
?
?
0,2
?
?
，则
?
的值为 < br>3
?
?
5
?
?
5
?
A．B．C．D ．
或
43444
【答案】D
【解析】
?
5
?
1
试题分析：由已知得
?3?2sin
?
cos
?
?0
，则
sin2
?
?1
，又
?
?
?0,2
?
?
，则
?
的值为
或。
3
44
考点：（1）共线向量的坐标运算；（2）特殊角的三角函数值。
3 3．在
?ABC
中，
AD
是
BC
边上的高，给出下列结论：
①
AD?(AB?AC)?0
；②
AB?AC?2AD
；③
AC?
AD
AD
?
AB
sin
B
；
其中结论正确的个数是（）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

【答案】D
【解析】
试题分析：∵
AD?BC
，∴
AD?BC?0
，
①
AD?(AB?AC)?AD?CB?0
；
②取BC中点M，
A B?AC?2AM
，而
|AM|?|AD|
，∴
|AB?AC|?2AD；
③
AC?
AD
|AD|
?
|
AC
|cos
?CAD?
|
AD
|
，
|AB|sinB?|AD |
，所以
AC?
AD
AD
?ABsinB
；
所以正确的个数为3个.
考点：向量的运算.
34．如图所示，
D
是
?ABC
的边
AB
上的中点，记
BC?a
，
B A?c
，则向量
CD?
（）．
A．
?a?
1
c< br>B．
?a?
1
c
C．
a?
1
c
D．
a?
1
22
22
c

【答案】B
【解析】
试题分析：
CD?
1
2
(CA?CB)?
111
2
(BA?BC?BC)?
2
BA?BC??a?
2
b
．
考点：平面向量的线性运算．
35．已知向量
a?(3,4)，
b?(sin
?
,cos
?
)
，且
a
∥
b
，则tanα等于()
A．
3
4
B．－
3
4
C．
4
3
D．－
4
3

【答案】A．
【解析】
试题分析：∵
a?(3,4)
，
b?(sin
?
,cos
?
)
，且
a
∥
b
，∴
3cos
?
?4sin
?
?tan
?
?
sin
?
cos
?
?
3
4
．
考 点：1．平面向量共线的坐标表示；2．同角三角函数的基本关系．
36．平面上有四个互异的点A， B，C，D，满足(
AB
－
BC
)·(
AD
－
CD
)＝0，则△ABC是( )

A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】由(
AB
－
BC
)·(
AD
－
CD
)＝0，得(
AB
－
BC
)·(
A D
＋
DC
)＝0，即(
AB
－
BC
)·
A C
＝0，(
AB
－
BC
)·(
AB
＋
BC
)＝0，即
AB
2
－
BC
2
＝0，|
AB
|＝|
BC
|，故△ABC为等腰三角形．
111
37．已知A， B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足
OP
＝(
OA
＋
OB
322
＋2
OC
)，则点P一定为三角形ABC的( )
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB边的中点
【答案】B
【解析】设AB的中点为M，
11
则
OA
＋
OB
＝
OM
，
2 2
112
∴
OP
＝
(
OM
＋2
OC
)＝
OM
＋
OC
，
333
即3
OP
＝
OM
＋2
OC
，
也就是
MP
＝2
PC
，
∴P，M，C三点共线，且P是CM靠近C点的一个三等分点．
Q(2014,a
2 014
)
，38．已知
{a
n
}
是等差数列，若
S
27
?S
4000
，O为坐标原点，点
P(2,a
n
)
、
S
n
为其前n项和，
则
OP?OQ?
（）
A．4028B．2014 C．0D．1
【答案】A
【解析】由
S
27
?S
4000
知
a
28
?a
29
?????a
4000
?0
，进而有
a
2014?0
，
又
OP?
(2,
a
n
),
O Q?
(2014,
a
2014
)

考点：1、等差数列2、向量的数量积
?
??
?
39．函数
y?tan
?
x?
?
的部分图象如下图所示，则
OA?OB?AB ?
( )
2
??
4
??
A．－6B．－4 C．4D．6
【答案】D
【解析】
?
??
?
试题分析 ：由
y?
tan
?
x?
?
的图象可知A(2,0),B(3 ,1)所以
OA?OB?(5,1)
,
AB?(1,1)
所以
2??
4
?
OA?OB
?
?AB?6
.

考点：向量数量积，向量的坐标表示.
40．已知
O
为?ABC
所在平面上一点，若
OA?OB?OB?OC?OC?OA
,则
O
为
?ABC
的()
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】
试题分析：因为
OA?OB?OB?OC
所 以移项可得：
OB?(OC?OA)?OB?AC
所以
OB?AC
；同理可
知
OC?AB
，
OA?BC
.
考点：向量的运算，向量的垂直.
??
ABAC1
ABAC
??< br>41．非零向量
AB
与
AC
满足
??
，则⊿ABC为 ()
??BC?0
且
?
AB
?
ABAC
2
AC
??
A.三边均不等的三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰非等边三角形
【答案】C
【解析】
??
ABAC1
ABAC
??
??
，
??BC?
0
，则
?ABC
的角
A
的平分线与
BC
垂 直，因为试题分析：由
?
AB
?
ABAC
2
AC
? ?
所以
cosA?
?
1
，即
A?
，所以
? ABC
是等边三角形.
3
2
考点：平面向量的数量积，等边三角形的性质.
42．若平面内两个向量
a?(2cos
?
,1)
与
b?( 1,cos
?
)
共线，则
cos2
?
等于（）
A．
1
B．
1
C．
?1
D．
0

2
【答案】D
【解析】
试题分析：解：由向量
a?(2cos
?
,1)
与
b?(1,cos
?
)
共线知：
2cos
?
?cos
?
?1?1?0
< br>所以，
2cos
2
?
?1?0,?cos2
?
?0< br>，故选D.
考点：1、平面向量共线的条件；2、三角函数的二倍角公式.
43．已 知向量
a?(1,3),b?(sin(x?
?
),cos(x?
?
))
，若函数
f(x)?a?b
为偶函数，则
?
的值可能是
（）
A．
?
?
?
?
B．C．
?
D．?

6363
【答案】A
【解析】
试题分析：
a? (1,3),b?(sin(x?
?
),cos(x?
?
))
，?f(x)?a?b?(1,3)?(sin(x?
?
),cos(x?
?
))?sin(x?
?
)?3cos(x?
?
)?2sin(x?
?
?)
，因为函数
3
???
?
f(x)?a?b
为 偶函数，所以
?
???k
?
,(k?Z),
?
??k
?
,(k?Z)
，
?
的值可能是

3266
?

考点：偶函数，向量的数量积，辅助角公式
44 ．若向量
a?
?
cos
?
,sin
?
?
，
b?
?
3,?1
，则
2a?b
的最大值为（）
?
A.
4
B.
22
C.
2
D.
2

【答案】A
【解析】
试题分析：由题意可知
a?1
，
b ?2
，
a?b?3cos
?
?sin
?
，而
2a? b?
?
2a?b
?
2

?4a?4a?b?b?4?422
?
?
??
3cos
?
?sin
?
?4?4sin
?
?3cos
?
?8?8sin
?
?
?
?
?8
，
3
??
???
因此
2a? b
的最大值为
8?8?4
，故选A.
考点：1.平面向量的模；2.三角函数的最值
45．已知向量
a?(m,n)，
b?(cos
?
,sin
?
)
，其中
m,n ,
?
?R
，若
|a|?4|b|
，则当
a?b?
?
2
恒成立时
实数
?
的取值范围是（）
?
?2或
?
??2
B．
?
?2或
???2
C．
?2?
?
?2
D．
?2?
?
?2

【答案】B
【解析】
试题分析：∵
|a|?4|b|< br>，
a?(m,n)
，
b?(cos
?
,sin
?)
，∴
m
2
?n
2
?
16
，
∴
a?b?m
cos
?
?m
sin
?
?m
2
?n
2
sin(
?
?
?
)
?
4sin(
?
?
?
)
，
∴要使
a?b?
?
2
，只需
?
2
?(a?b)
max
?4
，∴
?
的取值范围是
?
?2
或
?
??2
．
考点：平面向量数量积与恒成立问题．
46．已知
O
为坐标原点，向量OA?
?
3sin
?
,cos
?
?
，
OB?
?
2sin
?
,5sin
?
?4cos
?< br>?
，
?
3
?
?
?
?
?
, 2
?
?
，且
OA?OB
，则
tan
?
值为 （）
?
2
?
4443
A.
?
B.
?C.D.

3554
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意 知
6sin
2
?
?cos
?
?
?
5sin
?
?4cos
?
?
?0
，即
6sin
2< br>?
?5sin
?
cos
?
?4cos
2
?< br>?0
，
?
3
?
?
上述等式两边同时除以
c os
2
?
，得
6tan
2
?
?5tan
?
?4?0
，由于
?
?
?
,2
?
?
，则
tan
?
?0
，解得
?
2
?
4
，故选A.
3
考点：1.平面向量的数量积；2.弦化切
tan
?
??
47．(2014·孝感模拟)已知P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F
1
,F
2
是其焦点,双曲线的离心率是,

且·=0,若△PF
1F
2
的面积为9,则a+b的值为( )
A.5B.6 C.7D.8
【答案】C
【解析】由·=0得⊥,设|
解得
|=m,|| =n,不妨设m>n,则m
2
+n
2
=4c
2
,m-n=2 a,mn=9,=,
所以b=3,所以a+b=7.
x
2
y
248．已知焦点在
x
轴的椭圆
C:?
2
?1
(b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，直线
AB
过右焦点
F
2
，
3b
和椭圆交于
A,B
两点，且 满足
AF
2
?3F
2
B
，
?F
1
AB?60
0
，则椭圆
C
的标准方程为（）
x
2
y
2
x
2
3y
2
x
2
x
2
2
?1
B．
??1
C．
?2y?1
D．
?y2
?1
A．
?
323233
【答案】A
【解析】如 图所示，设
BF
2
?x,
则
AF
2
?3x
，由椭圆的定义，得
AF
1
?23?3x
，
BF
1
?23?x
，
在
?AF
1
B
中，由余弦定理得，
( 23?x)
2
?(23?3x)
2
?(4x)
2
?2?(2 3?3x)?(4x)cos60
0
，解得
x?
4323
2
43
2
2343
)?()?2??cos60
0
，解得
c? 1
，，在
?AF
1
F
2
中，由余弦定理得，
4c< br>2
?(
93333
x
2
y
2
?1
．
故
b?a?c?2
，故椭圆方程为
?
32
222
【 命题意图】本题考查椭圆的标准方程、向量共线、余弦定理等基础知识，试题综合性较高，意在
考查学生 逻辑思维能力、综合解决问题的能力．
49．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ， sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，
则β－α等于( )
?
??
?
A．B．－C．D．－

2244
【答案】A
【解析】由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|
2
－3|b|
2
＋8a·b＝0，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，即cos(α
??
－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故α－β＝－，即β－α＝．选 A．
22
50．如图，在△ABC中，BD=2DC．若
A．B．C．
【答案】C
【解析】由题意可得
=
=
=
=
=


，
D．
，则=（ ）

故选C
51． 已知
m,n
是夹角为
120
的单位向量，向量
a?tm?(1?t) n
，若
n?a
，则实数
t?
．
2

3
【解析】
1
试题分析：由已知得
n?m?1?1?cos120
0
??
，因为
n?a
，所以
n?a=0
，
a?n?tm?n?(1?t)n
2

2
12
=
?t?1?t?0
，所以
t?
．
23
考点：向量的数量积运算.
【答案】
52．已知
a?(1,? 2)
，
b?(2,
?
)
，且
a
与
b
的夹角为锐角，则实数
?
的取值范围是.
【答案】
?
?1
且
?
??4

【解析】
试题分析：依题意有
a?b?0
且
a
与
b
不同向， 由
a?b?2?2
?
?0
得
?
?1
，若
a
与
b
共线，则
?
?4?0
，
即
?
??4
，故所求范围为
?
?1
且
?
??4
.特别提 醒，要去除两个向量共线的情形，这是易错点.
考点：平面向量数量积的应用.
53．设< br>a?(x,3),b?(2,?1),若a与b
的夹角为钝角，则
x
的取值范围 是.
【答案】
x?
3
或
x??6
。
2
【解析】
2x?3
x
2
?9?5
??
1
，
?x?
试题分析：由题意知
a?b?0
且
cos?a? b???1
，即
2x?3?0
且
3
且
x??6
。
2
考点：向量数量积及夹角的坐标运算。
54．已知
a?(2,1),b?(m,6)
，向量
a
与向量
b
的夹角锐角，则实数
m
的取值范围是 ．
【答案】
m??3且m?12

【解析】
试题分析：因为向量
a
与向量
b
的夹角锐角，所以
a?b< br>a?b
?
0
且b?
?
a
，即
2m?6?0, 且2?6?m?1?0
解得
m??3且m?12
.
考点：向量的数量积.
?
55．在
?AOB
中，
O
为坐标原点，
A(1, cos
?
)
，
B(sin
?
,1)
，
?< br>?(0,]
，则
?AOB
面积的最小值为
2
________ _．
1
【答案】
4
【解析】
试题分析：
OA?
?
1,cos
?
?
,OB?
?
sin
?
,1
?
，所以
cos?AOB?
OA?OB
OA?OB
?< br>sin
?
?cos
?
1?cos
?
?sin
?
?1
22
，所以

1
1?sin2
?
sin
?
?cos
?
??
2
2
。则
si n?AOB?1?cos?AOB?1??
22
22
?
1?cos
?
?
?
?
sin
?
?1
?
1?cos
?
?sin
?
?1
2
S
?ABO
?
11 111111
OAOBsin?AOB?(1?sin2
?
)??sin2
?
，当
sin2
?
?1
时，
(S
?ABO
)
min
???
。
22224244
考点：1向量的数量积公式；2 向量的模；3同角三角函数关系式；4正弦函数的最值。
x
2
y
2
56．已知
F
1
、
F
2
是椭圆
C:
2?
2
?1
（
a
＞
b
＞0）的两个焦点，
P
为椭圆
C
上一点，且
PF
1
?PF
2
.
ab
若
?PF
1
F
2
的面积为16，则
b
=_________________;
【答案】4
【解析】
试题 分析：由题可令
PF
1
?m
，
PF
2
2
2 2
1
mn?16
，则
?n
，又
PF
1
?P F
2
，
?PF
1
F
2
中
m?n?4c，
2
222
2
222
有
?
m?n
?< br>?m?n?4mn?4a
，可得
4c?4a?32,b?16,b?4
.

考点：椭圆的几何性质.
12
57．设
OA
=(1,-2),
OB
=(a,-1),
OC
=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点 ,若A、B、C三点共线,则+
ab
的最小值为 .
【答案】8
【解析】
AB
=
OB
-
OA
=(a-1,1),
AC
=
OC
-
OA
=(-b-1,2).
由A、B、C三点共线,
得2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1,
1212b4a
则
+=(2a+b)(+)=4++
≥8,
ababab
1
当且仅当b=2a=时等号成立.
2
?
x ?1，
?
1
?
58．设x，y满足约束条件
?
y?x，向量
a
＝(y－2x，m)，
b
＝(1，－1)，且
a∥b，则m的最小
2
?
?
?
2x＋y?10，
值为____ ____．
【答案】－6
?
1
?
【解析】不等式组对应的可行域 是以A(1，8)，B
?
1,
?
，C(4，2)为顶点的三角形及其内部．由
a∥b
，
?
2
?
得m＝2x－y，可知在A(1，8)处m ＝2x－y有最小值－6.
59．已知
?ABC
中，
BC
边上的中 线AO长为2，若动点
P
满足
BP?
则
(PB?PC)?PA
的最小值是.
1
cos
2
?
BC?sin
2
?
BA
(
?
?R)
，
2

【答案】?2

【解析】
试题分析：若
A,G,C
三点共线，则
AG?
?
GC?BG?BA?
?
(BC?BG)?BG?
成立.由
BP?
1
?
BA?BC
,反之也
1?
?
1 ?
?
1
cos
2
?
BC?sin
2
?BA?cos
2
?
BO?sin
2
?
BA
得< br>P,O,A
三点共线且
2
|PO|?|PA|
2
|AO|2
)??2()??2.

22
OP?PA?OA?2.
.(PB?PC)?PA
等于
2PO?PA??2|PO|?|PA|??2(
考点 ：向量共线，基本不等式.
60．如图，平行四边形
ABCD
中，
E
是边
BC
上一点，
G
为
AC
与
DE
的交 点，且
AG?3GC
，若
AB?a
，
AD?b
，则用
a,b
表示
BG?
.
13
【答案】
?a?b

44
【解析】
试题分析：若
AG?
?
GC?BG?BA?
?
(BC?BG)?BG?
由向量定比分点公式得
BG?
1
?
BA?BC
,这就是向量定比分点公式.
1?
?
1?
?< br>131313
BA?BC??AB?AD??a?b.

444444
考点：向量定比分点公式，向量三角形法则.