(完整版)高中数学平面向量总复习题

平面向量总复习题

一、选择题
1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
答案：B
2.当|
a
|＝|
b
|≠0且
a
、
b
不共线时，< br>a
＋
b
与
a
－
b
的关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.相等
2222< br>解析：∵（
a
＋
b
）·（
a
－
b
） ＝
a
－
b
＝|
a
|－|
b
|＝0，∴（< br>a
＋
b
）⊥（
a
－
b
）．
答案：B
3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度 不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若
a
，
b
满足|
a
|＞|
b
|且
a
与
b
同向，则
a
＞
b
；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平
行；⑤对于任意向量
a
，
b
，必有|
a
＋
b
|≤|
a
|＋|
b
|
A.①②③ B.⑤
C.③⑤ D.①⑤
解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；
②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；
③两向量不能比较大小，故命题③错误；
④0与任意向量平行，故命题④错误；
⑤命题⑤正确.
答案：B
4.下列四式中不能化简为
PQ
的是（ ）
．．
A.
AB?(PA?BQ)

B.
(AB?PC)?(BA?QC)

C.
QC?QP?CQ

D.
PA?AB?BQ

解析：A选项中，
AB?BQ?AQ,AQ?PA?PA?AQ?PQ

B选 项中，
AB?BA?AB?AB
＝0，
PC?QC?PC?CQ?PQ
，PQ
＋0＝
PQ

C选项中，
QC?CQ?QC?QC
＝0，－
QP
＋0＝
PQ
＋0＝
PQ
．
D选项中 ，
PA?AB?PB,PB?BQ?PQ
，（∵
PB?BQ?PQ
）
答案：D

BC
＝
b
，
AC＝
c
，5.已知正方形
ABCD
的边长为1，
AB
＝< br>a
，则
a
＋
b
＋
c
的模等于（ ）
A.0 B.2＋
2
C.
2
D.2
2

解析：∵
AB?BC?AC
，∴
a
＋< br>b
＝
c
，∴
a
＋
b
＋
c
＝ 2
c
，∴|2
c
|＝2
2
.
答案：D
6.如图所示，
D
、
E
、
F
分别是△
ABC
的边
AB
、
BC
、
CA
的中点，则下列等式中不正确的是
．．．


A.
FD?DA?FA

C.
DE?DA?EC







B.
FD?DE?EF
＝0
D.
DA?DE?FD

答案：D
7.已知
a
，
b
为非零向量，|
a
＋
b
|＝|
a
－b
|成立的充要条件是
A.
a
∥
b
B.
a
，
b
有共同的起点
C.
a
与
b
的长度相等 D.
a
⊥
b

22222
解析：|
a
＋< br>b
|＝|
a
－
b
|
?
|
a
＋
b
|＝|
a
－
b
|
?
（
a< br>＋
b
）＝（
a
－
b
）
?
a
＋2
a
·
b
222
＋
b
?
a
－2
a
·
b
＋
b
?
a
·
b
＝0
?
a
⊥
b

答案：D
8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是
①|
a
|＝
a
；②
22
a
?
bb
?
；③（
a
·
b
）
2
＝
a
2
·
b
2
；④（< br>a
－
b
）
2
＝
a
2
－2
a
·
b
＋
b
2
；⑤若
2
aa




B.①④
D.②⑤
a
·
b
＝0，则
a
＝0或
b
＝0
A.①②③
C.②④
解析：②
a
?
b
|
a
||
b
|cos
?
|
b
|cos
?b
???

a
2
|
a
|
2
|
a
|
a
22222 22222
③（
a
·
b
）＝（|
a
||
b
|cos
α
）＝|
a
||
b
|cos
α
，
a
·
b
＝|
a
|·|
b
|,∴(
a
·
b
)
2 2
≠
a
·
b

⑤若
a
·
b
＝0，则
a
＝0或
b
＝0或
a
⊥
b
且< br>a
≠0，
b
≠0.
答案：B
9.若点
P
分有向线段
P
2
P
所成的比为
1
P
2
成定比为3∶1，则点
P
1
分有向线段
P

A.－

4

3
B.－
2

3
C.－
1

2
D.－
3

2
解析：∵
P
2
P
1
4
4
??
，则点
P
1
分有向线段
P
2P
所成的比为－.
3
3
P
1
P
答案：
A

10.已 知点
A
（
x
，5）关于点
C
（1，
y
）的 对称点是
B
（－2，－3），则点
P
（
x
，
y）到
原点的距离是
A.4 B.
13
C.
15
D.
17

解析：由中点坐标公式可得
x ?25?3
?1,?y
，解得
x
＝4，
y
＝1，
22
再由两点间距离公式得
x
2
?y
2
?4
2?1
2
?17
.
答案：D
11.将点（
a
，
b
）按向量
a
＝（
h
，
k
）平移后，得 到点的坐标为
A.（
a
－
h
，
b
＋
k
） B.（
a
－
h
，
b
－
k
）
C.（
a
＋
h
，
b
－
k
） D.（
a
＋
h
，
b
＋
k
）
?< br>x
?
?a?h
?
x
?
?a?h
解析：设平移 后点的坐标为（
x
′，
y
′），则根据平移公式可得
?
，∴
?

??
y?b?ky?b?k
??
答案：D
1 2.点
A
（2，0），
B
（4，2），若|
AB
|＝2|< br>AC
|，则点
C
坐标为
A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1）
C.（－1，1）或（1，3） D.无数多个
解析：由题意|
AB
|＝
(4?2)?2?22
，
∴|
AC
|＝
22
|AB|
?2
.
2< br>故点
C
分布在以点
A
为圆心，半径为
2
的圆上，故点
C
坐标有无数多个.
答案：D
13.将曲线
f
（
x
，
y
）＝0按向量
a
＝（
h
，
k）平移后，得到的曲线的方程为
A.
f
（
x
－
h，
y
＋
k
）＝0 B.
f
（
x
－
h
，
y
－
k
）＝0
C.
f
（
x
＋
h
，
y
－
k
）＝0 D.
f
（
x
＋
h
，
y
＋
k
） ＝0
?
x
?
?x?h
解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x
′，
y
′），则根据平移公式可得
?
，
?
?
y?y?k
?
x?x
?
?h
∴
?
?
y?y?k
?
又
f
（
x
，
y
）＝0，∴
f
（
x
′－
h
，
y
′－k
）＝0
即
f
（
x
－
h
，
y
－
k
）为平移后曲线方程.

答案：B
14.设
P
点在
x
轴上，
Q
点在
y
轴上 ，
PQ
的中点是
M
（－1，2），则|
PQ
|等于（ ）
A.4
2
B.2
5
C.5 D.2
10

解析：由题意设
P
（
x
，0），Q
（0，
y
），由中点坐标公式可得
解得
x
＝－2，< br>y
＝4，
∴|
PQ
|＝
(?2)
2
?4< br>2
?
x
y
＝－1，＝2
2
2
20?25
.
答案：B
15.下列命题中，正确的是
A.|
a
·
b
|＝|
a
|·|
b
|
B.若
a
⊥（
b
－
c
），则
a
·
b
＝
a
·
c

2
C.
a
＞|
a
|
D.
a
（< br>b
·
c
）＝（
a
·
b
）
c

解析：A．
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos
α
，|
a
·
b
|＝|
a
||b
||cos
α
|≠|
a
||
b
| B.若
a
＝0，则
a
·
b
＝
a
·c
，
若
b
－
c
＝0，即
b
＝
c
，
a
·
b
＝
a
·
c
； 若
a
≠0，且
b
－
c
≠0，由
a
⊥（
b
－
c
），得
a
·（
b
－
c）＝0.
∴
a
·
b
－
a
·
c
＝0，∴
a
·
b
＝
a
·
c
，故B正确.
2
C.若|
a
|＝0或1，则
a
＝|
a
| .
D.向量的数量积不满足结合律.
答案：B
16.函数
y
＝ 4sin2
x
的图象可以由
y
＝4sin（2
x
－
这个平移变换是
?
）的图象经过平移变换而得到，则
3
??
个单位 B.向右平移个单位
66
??
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 < br>33
??
解析：∵用
x
－替换掉函数
y
＝4sin2
x
中的
x
可得
y
＝4sin2（
x
－）＝ 4sin（2
x
66
A.向左平移
－
?
），
3
故可将原函数图象向左平移
?
个单位得到.
6
答案：A
17.已知
m
，
n
是夹角为60°的两个单位向量，则
a< br>＝2
m
＋
n
和
b
＝－3
m
＋2n
的夹角是
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：∵
m
·
n
＝|
m
||
n
|cos60°＝
2
1
，
2
2
∴|
a
|＝
2(
m
?
n
)?7
，|
b
|＝
(?3
m
?2
n
)?7

∴
a
·
b
＝（2
m
＋
n
）（－3
m
＋2
n
）＝－6
m
＋2
n
＋
m
·
n
＝－6＋2＋
22
17
＝－
22
∴cos
α
＝
答案：C
a
?
b
1
??
，∴
α
＝120°
|
a
||
b
|2
x
2
18.将函数
y< br>＝
2
的图象按
a
平移后，函数解析式为
y
＝
2
A.（－2，1）
C.（1，－1）
解 析：
y
＝
2
1
x?1
2
1
x?1
2
－1，则
a
等于（ ）


B.（2，－1）
D.（－1，1）
－1，即
y
＋1＝
2
1
(x ?2)
2
∴用
x
－2，
y
＋1分别替换了原函数解析式中的
x
，
y
即
?
?
x
?
?2?x< br>?
h?2
?
x
?
?x?2
，∴
?
即
?

?
y
?
?1?y
?
y
??y??1
?
k??1
∴
a
＝（2，－1）
答案：B
19.在直角三角形中，
A
、
B
为锐角，则sin
A
·sin
B

1
和最小值0
2
1
B.有最大值，但无最小值
2
A.有最大值
C.既无最大值，也无最小值
D.有最大值1，但无最小值
解析：∵△
ABC
为直角三角形，∴
B
＝
∴sin
A
·sin
B
＝sin
A
·sin（
当
A
＝
B
＝
?
－
A

2
1
?
－
A
）＝sin
A
·cos
A
＝sin2
A

2
2
1
?
时，有最大值，但无最小值.
2
4
答案：B
20.
α
、
β
是锐角三角形的三个内角，则

α< br>＞sin
β
且cos
β
＞sin
α


α
＜sin
β
且cos
β
＜sin
α


α
＞sin
β
且cos
β
＜sin
α
< br>
α
＜sin
β
且cos
β
＞sin
α

解析：∵
α
、
β
是锐角三角形两内角，
?
??
，∴＞
α
＞－
β
＞0，
222
?
∴sin
α
＞sin（－
β
）
2
∴
α
＋
β
＞
即sin
α
＞cos
β
，同理sin
β
＞cos
α

答案：B
< /p>

21.在△
ABC
中，sin
A
＜sin
B< br>是
A
＜
B
的
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由正弦定理可得
abasinA
，∴
?

?
sinAsinBbsinB
由sin
A
＜sin
B
可得
a
＜
b

根据三角形小边对小角可得
A
＜
B
，反之由
A
＜
B
也可推得sin
A
＜sin
B
故sin
A
＜sin
B
是
A
＜
B< br>的充要条件.
答案：C
22.在△
ABC
中，tan
A< br>·tan
B
＞1，则△
ABC
为
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
解析：∵tan
A
·tan
B
＞1＞0，又∵
A
、
B
不可能同时为 钝角，∴tan
A
＞0，tan
B
＞0，
∴tan（
A
＋
B
）＝
tanA?tanB
＜0，
1?tanAtanB
∴90°＜
A
＋
B
＜180°，∴0 °＜
C
＜90°，
∴△
ABC
为锐角三角形.
答案：A
23.在△
ABC
中，
A
、
B
、
C
相应对边分别为
a
、
b
、
c
，则
a
co s
B
＋
b
cos
A
等于
A.2cos
C
B.2sin
C

C.
a?b

2
D.
c

解析：由正弦定理得：
ab
＝2
R
?
sinAsinB
得
a
＝2
R
sin
A，
b
＝2
R
sin
B

∴
a
cos
B
＋
b
cos
A
＝2
R
sinA
cos
B
＋2
R
cos
A
sin
B
＝2
R
sin（
A
＋
B
）＝2
R
sin
C
＝
c

答案：D
53
，sin
B
＝，则cos
C
等于
135
16561656
A. B. C.或
65656565
3
解析：由sin
B
＝，得
5
4
cos
B
＝±
1?sin
2
B
＝±
5
4
但当cos
B
＝－，cos
A
＋cos
B
＜0，
C
无解
5
24.在△
ABC
中，已知cosA
＝
∴cos
C
＝cos［180°－（
A
＋
B
）］＝－cos（
A
＋
B
）
＝－（cos
A< br>cos
B
－sin
A
sin
B
）
＝sin
A
sin
B
－cos
B
cos
A
＝
D.－
16

65
1234516
?
·
?
·
13551365
答案：A
222
25.在不等边△
ABC
中，
a
为最大边，如果
a
＜
b
＋
c
，则
A
的取值范围是（ ）
A.90°＜
A
＜180° B.45°＜
A
＜90°

C.60°＜
A
＜90° D.0°＜
A
＜90°
222222
解析：∵
a
＜
b
＋
c
，∴
b
＋
c
－
a
＞0，
b
2
?c
2
?a
2
∴cos
A
＝ ＞0，∴
A
＜90°，
2bc
又∵
a
边最大，∴
A
角最大
∵
A
＋
B
＋
C
＝180°，∴3
A
＞180°，
∴
A
＞60°，∴60°＜
A
＜90°
答案：C
26.已知点
A
分
BC
的比为2，下列结论错误的是
A.
B
分
AC
的比为－
C.
A
分
CB
的比为2
2

3





B.
C
分
BA
的比为－3
D.
C
分
AB
的比为－
1

3
解析：数形结合可得C选项错误.
答案：C
27.在△
ABC
中，若
B
＝30°，
AB
＝2
3
，
AC< br>＝2，则△
ABC
的面积为
A.2
3








B.
3

D.2
3
或4
3
C.2
3
或
3

解析：sin
C
＝
23sin30?3
?
，
22
∴
C
＝60°或120°，∴
A
＝90°或30°
∴
S
△
ABC
＝
答案：C
1
AB
·
AC
·sin
A
＝2
3
或
3
. 2
2
A
28.在△
ABC
中，若sin
B
·s in
C
＝cos
2
，则△
ABC
是
A.等腰三角形
C.等边三角形










B.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析：∵sin
B
·sin
C
＝
1?cosA
< br>2
又cos
A
＝cos［180°－（
B
＋
C
）］＝－cos（
B
＋
C
）＝－（cos
B
cos
C
－sin
B
sin
C
）
∴2sin
B
sin
C
＝1－cos
B
cos
C
＋sin
B< br>sin
C
，
∴cos
B
cos
C
＋sin
B
sin
C
＝1
∴cos（
B
－
C）＝1，∴
B
＝
C
，
∴△
ABC
是等腰三角形.
答案：A
二、解答题
1. 设
e
1
，
e
2
是两个不共线的向量，已知
AB＝2
e
1
＋
k e
2
，
CB
＝
e
1
＋3
e
2
，
CD
＝2
e
1

－
e
2
，若
A
、
B
、< br>D
三点共线，求
k
的值.
分析：由于
A
、
B
、
D
三点共线，因此存在实数
λ
，使
AB
＝λ
BD
，而
BD
＝
CD
－
CB
＝e
1
－4
e
2
，将
AB
、
BD的
e
1
、
e
2
表达式代入上式，再由向量相等的条件得 到关于
λ
、
k
的
方程组，便可求得
k
的值.
解：
BD
＝
CD
－
CB
＝（2
e
1
－
e
2
）－（
e
1
＋3
e
2
）＝
e
1
－4
e
2
，
∵< br>A
、
B
、
D
三点共线，∴存在实数
λ
，使< br>AB
＝
λ
BD
，∴2
e
1
＋
ke
2
＝
λ
（
e
1
－4
e
2
）
于是可得
?
?
2?
?
，解得
k
＝－8.
k??4
?
?
评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两 个向量共线和三点共线
的区别和联系.
2.已知
a
、
b
是 两个非零向量，当
a
＋
tb
（
t
∈R）的模取最小值时，
（1）求
t
的值；
（2）求证
b
⊥（
a
＋
tb
）.
22< br>分析：利用|
a
＋
tb
|＝（
a
＋
tb）进行转换，可讨论有关|
a
＋
tb
|的最小值问题，若能
算得
b
·（
a
＋
tb
）＝0，则证明了
b
⊥（
a
＋
tb
）.
（1）解：设
a
与
b
的夹角为
θ

22< br>则|
a
＋
tb
|＝（
a
＋
tb
）
222
＝
a
＋2
a
·
tb
＋
tb

222
＝|
a
|＋2
t
|
a
| |
b
|cos
θ
＋
t
|
b
|
2 22
＝|
b
|
t
＋（2|
a
||
b
|cos
θ
）
t
＋|
a
|
＝|
b|（
t
＋
2
|
a
|
222
cos
θ
）＋|
a
|sin
θ

|
b|
∴当
t
＝－
|
a
|
|
a
| |
b
|cos
?a
?
b
??
cos
θ＝－时，|
a
＋
tb
|有最小值.
|
b
|< br>2
|
b
|
2
|
b
|
（2）证明：< br>b
·（
a
＋
tb
）＝
b
·（
a－
＝0
a
?
ba
?
b
·
b
）＝
a
·
b
－·
b
·
b
＝
a·
b
－
a
·
b
|
b
|
2|
b
|
2
∴
b
⊥（
a
＋
t b
）.
22
评述：对|
a
＋
tb
|变形，可以从 两个角度进行思考，一是通过|
a
＋
t b
|＝（
a
＋
t b
）
的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的. < br>3.如图所示，
OADB
是以向量
OA
＝
a
，
OB
＝
b
为边的平行四边形，又
BM
＝
1
BC< br>，
CN
＝
3
1
CD
，试用
a
，b
表示
OM,ON,MN
.
3

解：
BA?OA?OB
＝
a
－
b

111
BC?BA?
（
a
－
b
）
366
115
∴
OM?OB?BM
=
b
+（
a
－
b
）＝
a
＋
b

666
∵
BM?
又由
OD
＝
a
＋
b
，得
ON?
11222
OD?OD?OD?
a
＋
b
< br>26333
221511
MN?ON?OM?(
a
＋
b
）－（
a
＋
b
）＝
a
－
b

3 36626
评述：由于
a
，
b
不共线，因此
a
，< br>b
构成平行四边形
OADB
所在平面的一组基底，用它
们可以表示出这 个平面内的任何向量，将所要用
a
，
b
表示的向量连同
a
，
b
设法放在一个三
角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.
4. 已知
O
为△
ABC
所在平面内一点，且满足
|OA|
2?|BC|
2
?|OB|
2
?|CA|
2
?|OC|< br>2

?|AB|
2
．
求证：
O
点是△
ABC
的垂心
证明：设
OA＝
a
，
OB
＝
b
，
OC
＝
c
，则
BC
＝
c
－
b
，
CA
＝a
－
c
，
AB
＝
b
－
a
.
∵|
OA
|＋|
BC
|＝|
OB
|＋|
C A
|＝|
OC
|＋|
AB
|
222222
∴a
＋（
c
－
b
）＝
b
＋（
a
－
c
）＝
c
＋（
b
－
a
）
即< br>c
·
b
＝
a
·
c
＝
b
·< br>a
，
故
AB
·
OC
＝（
b
－a
）·
c
＝
b
·
c
－
a
·< br>c
＝0
222222
BC
·
OA
＝（
c< br>－
b
）·
a
＝
c
·
a
－
b
·
a
＝0
∴
AB
⊥
OC
，
BC
⊥
OA
，
∴点
O
是△
ABC
的垂心.
5.如图所示，圆
O
内两弦
AB
、
CD
垂直相交于
P
点，求证：
PA?PB?PC?PD?2PO
.
证明：设
M
、
N
分 别为圆
O
的两弦
AB
、
CD
的中点，连
OM
、
ON
，则
OM
⊥
AB
，
ON
⊥
CD
.
∵
PA?PB?2PM,PC?PD?2PN

而
AB
⊥
CD
，∴四边形
MPNO
为矩形

∴
PM?PN?PO
，
∴
PA?PB?PC?PD?2PO

6.已知△
ABC
中 ，
A
（2，－1），
B
（3，2），
C
（－3，－1），< br>BC
边上的高为
AD
，求点
D
和向量
AD
的 坐标.
解：设点
D
坐标（
x
，
y
），由
AD
是
BC
边上的高可得
AD
⊥
BC
，且
B
、
D
、
C
共线，
?
?
AD?BC?0
∴
?

?
?
CDDB
∴
?
?
(x?2,y?1)?(?6,?3)?0

(x?3)(2?y)?(3?x)(y?1)?0
?
?
?6(x?2)?3(y? 1)?0

?
(x?3)(2?y)?(3?x)(y?1)?0
?
2x?y?3?0

x?2y?1?0
?
?
x?1

?
y?1
∴
?
∴
?
解得
?
∴点
D
坐标为（1，1），
AD
＝（－1，2）
7.已知
a
、
b
、
c
分别为△
ABC
三内角
A
、
B
、
C
所对的边，且2(sin
A
－sin
B
) ，sin
A
－sin
C
，
2（sin
B
－sin< br>C
）成等比数列.
求证：2
b
＝
a
＋
c
.
证明：要证2
b
＝
a
＋
c
，由正弦定理只要证：
sin
B
－sin
A
＝sin
C
－sin
B
即可：
2
由已知可得：（sin
A
－sin
C
）－4（sin
A
－sin
B
）
（sin
B
－s in
C
）＝0，且sin
A
≠sin
B
，构造方程： 2
（sin
A
－sin
B
）
x
－（sinA
－sin
C
）
x
＋（sin
B
－sinC
）＝0，且
x
＝1是方程的根
Δ
＝（sin
A－sin
C
）
2
－4（sin
A
－sin
B< br>）·（sin
B
－sin
C
）＝0，∴方程有两相等实根
由韦达定理可知：
sinB?sinC
＝1
sinA?sinB
∴ sin
B
－sin
C
＝sin
A
－sin
B
，故结论得证.
8.设
i
，
j
是平面直角坐标系内
x< br>轴，
y
轴正方向上的两个单位向量，且
AB
＝4
i
＋ 2
j
，
AC
＝3
i
＋4
j
，证明△
ABC
是直角三角形，并求它的面积.
解：
BC?AC?AB
＝（3i
＋4
j
）－（4
i
＋2
j
）＝－
i
＋2
j

又
i
⊥
j
，∴
i
·
j
＝0

∵
AB
·
BC
＝（4
i
＋2
j
）（－
i
＋2
j
）＝－4
i
＋6< br>i
·
j
＋4
j
＝0，∴
AB
⊥
BC

22
∴△
ABC
是直角三角形，
∴
S
＝
11
AB
|·|
BC
|＝×2
5
×
5< br>＝5
22
112
A?C
???
，求cos的值.
cosAcosCcosB
2
9.已知△
ABC
中三内角满足
A＋
C
＝2
B
，
解：由
A
＋
C
＝2
B
，可得
B
＝60°，
A
＋
C
＝12 0°
设
A?C
＝
α
，则
A
－
C
＝2
α
，
2
1111
???

cosAcosC cos(60??
?
)cos(60??
?
)
∴
A
＝60°＋
α
，
C
＝60°－
α
，
∴
?
1
1313
cos
?
?sin
?
cos
?
?sin
?
2222
cos
?
cos
?

??
133
cos
2
?
?sin
2
?cos
2
?
?
444
2
??
cosB
将
B
=60°代入得
?
1
cos
?
3
co s
2
?
?
4
??22

∴2
2
c os
α
＋cos
α
－
2
32
＝0
2∴（2cos
α
－
2
）（2
2
cos
α
＋3）＝0
∴2
2
cos
α
＋3＞0
∴cos
α
＝
2

2
即cos
A?C2
?

22
a
2
?b
2
sin(A?B)
?
10.在△
ABC
中，角A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b、
c
，求证：
c
2
sinC

证明：∵
a
＝
b
＋
c
－2
bc
cos< br>A
，
222
bsinB
，
C
＝
π
－ （
A
＋
B
）
?
csinC
a
2
?b
2
2b2sinBcosA
?1?cosA?1?
∴
c
2
csinC
sinC?2sinBcosAsin(A?B)?2sinBcosA
?
sinCsinC

sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??
sinCsinC
?
故原等式成立.
11.在△
ABC< br>中，
BC
＝
a
，
AC
＝
b
，
AB
＝
c
，且
c
为最大边，若
ac
cos
A
＋
bc
cos
B
＜4
S
，其中
S为△
ABC
的面积.
求证：△
ABC
为锐角三角形.
证明：由余弦定理及三角形面积公式
ac
cos
A
＋
bc
cos
B
＜4
S

b
2
?c
2
? a
2
a
2
?c
2
?b
2
即
ac< br>·＋
bc
·＜2
ab
sin
C
＜2
ac < br>2bc2ac
∴
a
（
b
＋
c
－
a< br>）＋
b
（
a
＋
c
－
b
）＜4
ab

2224224222
即（
a
＋
b
）c
＜
a
＋2
a
·
b
＋
b
＝（
a
＋
b
），
222
∴
c
＜
a
＋
b
，
222 2222222
a
2
?b
2
?c
2
∵cos
C
＝＞0，∴
C
为锐角
2ab
又
c
为最大边，故
C
为最大角，
∴△
ABC
为锐角三角形.
12.在△
ABC
中，sin
A
＝
sinB?sinC
，判断这个三角形的形状.
cosB?cosC
解：由正弦定理、余弦定理可得：
a?
b?c

c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b2
?c
2
?
2ca2ab
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
?∴＝
b
＋
c

2c2b
∴
b
（
a
－
b
）＋
c
（
a
－
c
）＝< br>bc
（
b
＋
c
）
233
∴（
b< br>＋
c
）
a
＝（
b
＋
c
）＋
bc
（
b
＋
c
），
222
∴
a
＝
b
＋
c
，
∴△
ABC
是直角三角形.



2222