高中数学经典向量选择题

2014-2015学年度10月考卷


uuuruuur
1．在
?ABC
中，
AB?3,AC?2,BC?10
，则
CA? AB
= （ ）
A．
32
23
B． C．
?
D．
?

23
32
【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意，得
cosA?
AC?AB?BC
2?AC?AB
222
?
4?9?10 1
?
，
2?2?34
uuuruuur
13
所以
CA?AB??CAABcosA??2?3???
.故选D.
42
考点：余弦定理，向量的数量积.
2．下列向量中不是单位向量的是（ ）
r
r
a
A．
?
?1,0
?
B．
?
?1,1
?
C．
?
cos
?
,sin
?
?
D．
r
（
a?0
）
a
【答案】B
【解析】 < br>22
试题分析：单位向量的模是单位1，B选项中
1?1?2
，故B选项不是单 位向量.
选B.
考点：单位向量.
rr
r
rr
2
?
r
3．平面向量
a
与
b
的夹角为，
a?(3, 0)
，
|b|?2
，则
|a?2b|?
（ ）
3
A．
13
B．
37
C．7 D．3
【答案】A
【解析】
rr
r
2
?
r< br>试题分析：∵平面向量
a
与
b
的夹角为，
a?(3,0)，
|b|?2
，
3
rrrr
2
?
1
∴
a?b?|a|?|b|cos?3?2?(?)??3
，
32
rrrr
2
r
2
r
2
rr
∴
|a?2b?(a?2 b)?a?4b?4a?b?9?4?4?12?13
，
故选A.

考点：平面向量数量积的运算.
4．已知平面向量
a?(1,2)< br>，
b?(2,y)
，且
ab
，则
a?2b=
（ ）
A．
(5,?6)
B．
(3,6)
C．
(5,4)
D．
(5,10)

【答案】D
【解析】试题分析：由已知，
故选
D
.

考点：1.共线向量；2.平面向量的坐标运算.
2y
?,y?4,
所以，
a?2b?(1,2)?2(2,4)?(5,10)
，
12
rr
r
rr
5．已知
a?(?3,?2),?b?(?1,?0)
，向量
a ??
?
b
与
?b
垂直，则实数的值为（ ）
A．
?3
B．3 C．
?
D．
【答案】A
【解析】
1
3
1

3
rrrr
试题分析：因为
a?
?
?3,2
?
,b?
?
?1,0
?
, 所以
a?
?
b?
?
?3?
?
,2
?

rr
r
rrr
又向量
a??
?
b与
?b
垂直，所以，
(a?
?
b)?b?0
，即
?
?3?
?
?
?
?
?1
?
?0
，解得：
?
??3

故选A．
考点：向量的数量积的应用． < br>6．已知向量与的夹角为120°,且
AB?2,AC?3
,若,且
AP?(A C?AB)?0
，则实
数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
o
试题分析 ：由题设
AB?AC?AB?AC?cos?AB,AC??2?3?cos120??3

所以由
AP?(AC?AB)?0

uuuruuuruuuruuur得：
?
AB?ACAC?AB?0

????
uuur
2
uuuruuuruuur
2
所以，
?
?
AB?
?
?
?1
?
AB?AC?AC?0

所以，
? 4
?
?3
?
?
?1
?
?9?0
，解得：
?
?
故选B.
12

7

考点：向量的数量积.
urrurrurr
7．已知向量
p?(2,?3)
，
q?(x,6)
且
pq
，则
| p?q|
的值为
A．
5
B．
13
C．5 D．13
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意结合向量共线的充要条件可得：2×6-（-3）x=0，解得x=-4
故
p?q?
=（-2，3），
由模长公式可得
p?q?
故选C
考点：１．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；２．平面向量共线（平行）
的坐标表示．
8．已知m
?
?
a,?2
?
，n
?
?1,1?a
?
，则 “a＝2”是“m

n”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知m

n
?a(1?a)?1?(?2)? 0?a??1,or,a?2
，故知“a＝2”
是“m

n”的充分而不必要条 件，故选Ｂ．
考点：1．向量平行的条件；2．充要条件．
9．已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足
(?2)
2
?3
2
?13

OP?OA?
?
(
AB
|AB|cosB
?
AC
|AC|cosC
),
?
?(0,??)
，则动点P的轨迹一定通过
△ABC的 （ ）
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
【答案】B
【解析】
试题分析：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．

uuur
uuur
BC
uuur
AB则
BC?
uuu
?
r
ABcosB
uuur
u uur
ABcos
?
?
?B
?
uuuruuur
u uur
AC
?BC
,
??BC
,同理
BC?
uu ur
uuur
ACcosC
ABcosB
∵动点P满足
OP?OA?
?
(
AB
|AB|cosB
?
AC
|AC|cos C
),
?
?(0,??)

∴
AP?
?
(
AB
|AB|cosB
?
AC
|AC|cosC
?
),
?
?(0,??)

∴
APBC?
?
(
ABBC
|AB|cosB
ACBC
|AC|cosC
)?
??BC?BC?0

?
?
所以
AP?BC
,因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
考点：向量的线性运算性质及几何意义 .
rrrr
rr
?
10． 已知向量
a,b
的夹角为
45
，且
a?1
，
2a? b?10
，则
b?
（ ）
A.
2
B.
2
C.
22
D.
32

【答案】D.
【解析】
rr
2
rr
2
r
2
rrr
2
rr
试题分析：∵
|2a?b|?10
，∴< br>|2a?b|?(2a?b)?4a?4a?b?b?10
，即
r
2
r
|b|?22|b|?6?0
，
r
解得
|b|?32
.
考点：平面向量的数量积.
rr
r
r
rrrr
11．已知 向量
a
，
b
满足
|a|?3
，
|b|?1
，且对任意实数
x
，不等式
|a?xb|?|a?b|
rr
恒成立， 设
a
与
b
的夹角为
?
，则
tan2
??
（ ）
A.
2
B.
?2
C.
?22
D.
22

【答案】D
【解析】
rr
2
rr
2
r
2
rrrr< br>2
r
2
rr
rrrr
2
2
试题分析：
a?xb?a?b
?a?xb?a?b?a?xb?2xab?a?b?2ab
因为向量r
|a|?3
，
r
|b|?1
，所以
3?x
2
?23xcos
?
?4?23cos
?
?x
2
?2 3xcos
?
?1?23cos
?
?0
.又因为
不等式|a?xb|?|a?b|
恒成立，所以
x?23xcos
?
?1?23 cos
?
?0
恒成立.所
??
rrrr
2
??

以
??
23cos
?
以
sin
??
??
2
?41?23cos
?
?0
?
??< br>?
3cos
?
?2
?
2
?0?cos
???
3
，所
2
1
.
2
3
2tan
?
?tan2
?
??22
.
2
3
1?tan
?
即
tan
?
??
考点：平面向量及应用.
rr
rr
rr
rr
12．设向量
a,b
满足
|a?b|?10
，
|a?b|?6
，则
a? b?
（ ）
.2 C
【答案】A
【解析】
rr
2
rr
2
rrrr< br>试题分析：由
a?b?10,a?b?6
可得
a?b?10,a?b?6
，即
rr
r
2
r
2
rrr
2
r
2
rr
a?b?2ab?10,a?b?2ab?6
，两式相减可得：
a?b ?1
.

考点：向量的数量积.
13．在中，已知是边上的一点，若，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知得
CD?CA?AD?CA?
选B.
2
2212
AB?CA?(CB?CA)?CA?CB
，因此
?
?
，答案
3
3333
考点：向量的运算与性质
uuuruuur
14．如图，?ABC
的外接圆的圆心为
O
,
AB?2
,
AC?3< br>,
BC?7
,则
AO?BC
等于
（ ）
35
A．
2
B．
2
C． 2 D．3


【答案】B

【解析】
uuur
1
uuuruuur
试题分析： 取
BC
中点
D
，连接
AD,OD
,则易知
OD?B C
，
AD?(AB?AC)
,
2
uuuruuuruuur
uuuruuur
1
uuuruuuruuuruuurr
2
uuur
2
1
uuu
5
由
AO?AD?DO
，
?AO?B C?(AB?AC)(AC?AB)?(AC?AB)?
．
222
故选B
考点：向量的线性运算；数量积的应用．
15．已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
,
b?(3,?1)
则
|2a?b|
的最大值，最小值分别是（ ）
A．
42,0
B．
4,42
C．
16,0
D．
4,0

【答案】D
【解析】
试题分析：由已知易得，
rr
2a?b?(2cos
?< br>?3,2sin
?
?1)
，
rr
?
2a?b?(2c os
?
?3)
2
?(2sin
?
?1)
2

=8?8sin(
?
?
?
)
，由
sin(
?
?)?
?
?1,1
?
，
?8?8sin(
??)?
?
0,16
?
，即
3
33
?
?
rr
2a?b?
?
0,4
?
．
故选D．
考点：向量的坐标运算；三角函数的最值．
16．已知，是两个单位向量，且．若点C在∠A OB内，且∠AOC=30°，（m，n∈R），则=
（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
u uuruuur
试题分析：因为
OA
，
OB
是两个单位向量，且．
uuuruuur
所以
OA?OB
，故可建立直角坐标系如图所示．

uuuruuur
则
OA
=（1，0），
OB
= （0，1），故
=m（1，0）+n（0，1）=（m，n），又点C在∠AOB内，
所以 点C的坐标为（m，n），在直角三角形中，由正切函数的定义可知，

tan30°=< br>n3
m
?,
，所以
?3,

m3
n
考点：平面向量数量积的运算．
17．已知：
e
1
,e
2
是不共线向量，
a?3e
1
?4e
2
，
b?6e
1
?
k
e
2
，且
ab
，则
k
的值
为（ ）
A．
8
B．
?8
C．
3
D．
?3

【答案】B
【解析】
试题分析：因为
ab
，故设
b?< br>?
a
，即
6e
1
?
k
e
2
?3
?
e
1
?4
?
e
2
，又
e< br>1
,e
2
是不共线
向量，所以有
6?3
?
, k??4
?
，解得
k??8
，故选择B.
考点：平面向量平行.
uuuruuur
uuuruuur
18．在△ABC中，已知
|AB|?4 ,|AC|?1
，
S
?ABC
?3
，则
AB?AC
的值为（ ）
A．
?2
B．
2
C．
?4
D．
?2

【答案】D
【解析】
试题分析：由
S
?ABC
uuur
3
1 1
，因为
?ABACsinA??4?1?sinA?3
，得
sinA?2
22
uuuruuuruuur
1
?
1
?
0 ?A?
?
，所以
cosA??
，从而
AB?AC?ABACcosA ?4?1?
?
?
?
??2
，
2
?
2
?
故选择D．
考点：平面向量的数量积及三角形面积公式．
19．设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为( )
A.
3
B.
1

2
2
【答案】A
【解析】试题分析：由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1 ，于是|a＋b|＝1，即a＋2a·b＋b＝1，
即a·b＝－
2
222
1

2
22222
|a－tb|＝a－2ta·b＋tb＝(1＋t)－2ta ·b＝t＋t＋1≥
3
，故|a－tb|的最小值为
4

3.选A
2
考点:平面向量基本运算
uuuruuuruuur
?20．在
?ABC
中，有如下四个命题：①
AB?AC?BC
；②
AB?BC?CA?
0
；③若
(AB?AC)?(AB?AC)?0
，则< br>?ABC
为等腰三角形；④若
AC?AB?0
，则
?ABC
为
锐角三角形．其中正确的命题序号是
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
【答案】C
【解析】
试题分析：①
AB?AC?CB
错；②
AB?BC?CA?0
对；③
22
?
AB?AC
?
?
?
AB?AC
?
?AB?AC?0
，
uuuruuur
?AB?AC
，对；④
AC?AB?0
，< br>?A
为锐角，但不能判断三角形的形状.
考点：平面向量的加法、减法和数量积的概念.
?
x
2
?y
2
?1,
uuuruuur
?
?
21．设O为坐标原点，
A
?
1,1
?
，若点
B
?
x,y
?
满足
?
0?x?1,则OA?OB
取得最小值时，
?
0?y?1,
?
?
点B的个数是( )
.2 C D.无数个
【答案】B
【解析】
?
x
2
?y
2
?1
?
试题分析：先画出点B（x，y）满足
?
0?x?1
的平面区域如图，又因为
?
0?y?1
?
OA?OB?x?y
，所 以当在点Ｍ（0，1）和点B（1，0）处时，x+y最小．即满
足要求的点有两个．故选B．
考点：向量在几何中的应用．
uuur
22．如图，
D
是△
ABC
的边
AB
的中点，则向量
CD
等于（ ）

uruuur
1
uuuruuur
1
uuur
1
uu
B. C.
BA?BC?BABC?BA

222
uuur
1
uuur
D.
BC?BA

2
A.
?BC?
【答案】A
【解析】
uuur
uuuruuuruuuruuur
1
uuur
试题分析：
CD?CB?BD ??BC?BA

2
考点：平面向量的运算.
uuuruuuruuur< br>23．在
?ABC
中，若
|BA?BC|?|AC|
，则
?A BC
一定是（ ）.
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】
试题分析：由 于
BA?BC?AB?BC
，化简得
AB?BC?0
，因此
AB?B C
.
考点：判断三角形的形状.
22
uuuruuur
x
2
y
2
??1
上有两个动点
P,Q
，
E
?
3,0
?
为定点，
EP?EQ
，则
EP?QP
的 24．在椭圆
369
最小值为（ ）
B.
3?3
D.
12?63

【答案】A
【解析】
22
x
0
y
0
??1
，因为< br>EP?EQ
，所以试题分析：设
P(x
0
,y
0
)< br>，则有
369
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
EP?QP ?EP?EP?EQ?EP
????
2
2
uuuruuuruuur
?EP?EQ?EP
??
2
2
?
x
0
?
?
?
x
0
?3
?
?y?
?
x
0?3
?
?9?
?
1?
?
，
?
36< br>?
uuuruuur
uuuruuur
3
2
即
EP? QP?x
0
?6x
0
?18
，因为
?6?x
0?6
，所以当
x
0
?4
时，
EP?QP
取得最 小
4
2
2
0
值
6
，故选择A.
考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值.
uuur
2
uuu r
1
uuur
25．在△
ABC
中，点
P
是
AB
上一点，且
CP?CA?CB
，
Q
是
BC
中 点，
AQ
与
33

uuuuruuur
CP
交 点为
M
，又
CM?tCP
，则
t
的值为（ ）
A.
1243
B. C. D.
2354
【答案】D
【解析】
uuuuruuur
试题分 析：因为
A,M,Q
三点共线，所以可设
AM?
?
AQ
，又
uuuuruuurur
1
uuur
?
2
uuur
1
uuur
?
2
uu
CM?tCP?t
?
CA?C B
?
?tCA?tCB
33
?
3
?
3
，所 以
uuuuruuuuruuur
?
2
ur
1
uuuruuuruuuruuur
1
uuuruuur
?
uu
AM?C M?CA?
?
t?1
?
CA?tCB
，
AQ?CQ?CA? CB?CA
，将它们代入
3
2
?
3
?
r
1
uuur
1
uuuruuur
uuuuruuuruuuruuur
?
2
?
uuu
AM?
?
AQ
，即有
?t?1
?
CA?tCB?
?
CB?
?
CA
，由 于
CA,CB
不共线，从而
32
?
3
?
?
2
t?1??
?
?
31
?
3
有
?
，解得
t?,
?
?
，故选择D.
42
?
1
t?
1
?
?
2
?
3
考点：向量的基本运算及向量 共线基本定理.
r
rrr
rr
26．设向量
a?(cos25?, sin25?),b?(sin20?,cos20?)
，若
c?a?tb
（
t?
R
），则
c
的最小值为（ ）
A.
2
B.
1
C.
【答案】D
【解析】
试题分析：
??
2
1
2
D.
2
2
???
2
r
c
rr
?a?tb
???
2
r
2
rr
2
r
?a?2ta?b ?tb
2
??
2
?1?2tsin(20??25?)?t
2
?
2
?
11
?t
2
?2t?1?
?
t?
?
??
?
2
?
2
,故选择D.
2
??
考点：向量知识、三角函数和二次函数.
uuur
1
uuur
uuuruuur
27．在△ABC中，N是AC边上一点，且
AN
＝
NC
，P是BN上的一点，若
AP
＝m
AB
2
r
2
uuu
＋
AC
，则实数m的值为( ).
9

A.
11
B. C．1 D．3
93
【答案】B
【解析】
u uur
1
uuuruuuuuruuur
1
uuuruuuruuur
2
uuur
1
uuur
试题分析：,
Q
AN?NC
,
?BN?BA?(BC?BN)
,则
BN?BA?BC
;因
2233
r
uuuruuur
2
uuu
为
AP
＝m
AB
＋
AC
，所以
9
uuuruuuruuur
2
uuruuuruuuruuur
2
uuur
7
?BP?BA?? mBA?(Bc?BA)
.，即
BP?(?m)BA?BC
;
?P
是 BN上的一
999
点，
?BN?
?
BP
,
1
74
??m?
，即
m?
.
3
99
考点：平面向量的线性运算.
uuuruuuruuuruuur< br>28．如图，
?ABC
的
AB
边长为
2
，
P ，Q
分别是
AC，BC
中点，记
AB?AP?BA?BQ?m
，uuuruuuruuuruuur
AB?AQ?BA?BP?n
，则（ ）

A．
m?2，n?4
B．
m?3，n?1

C．
m?2，n?6
D．
m?3n
，但
m，n
的值不确定
【答案】C.
【解析】
试题分析：
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur uuur
1
uuur
1
uuurr
2
1
uuum?AB?AP?BA?BQ?AB(AP?QB)?AB(AC?CB)?AB?2
，
222
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuu ruuuruuuruuur
1
uuur
1
uuuruuur
n?A B?AQ?BA?BP?AB(AQ?PB)?AB(AC?CQ?PC?CB)?AB(AC?CB?AC?C B)
22

ruuuruuurr
2
3
uuu
3< br>uuu
?AB(AC?CB)?AB?6
.
22
考点：平面向量数量积.
29．已知向量
OB?(2,0)
， 向量
OC?(2,2)
，向量
CA?(2cos
?
,2sin
?
)
，则向
量
OA
与向量
OB
的夹角的取值范围 是（ ）
A.
[0,]
B.
[,
【答案】D.
【解析】
?
4
?
5
?
412
]
C.
[
?
5
?
5
??
,]
D.
[,]

1212
124

试题分析：如图，以< br>O
为原点建立平面直角坐标系，则由题意可知
O(0,0)
，
B(2, 0)
，
C(2,2)
，
uuur
又由
CA?(2cos< br>?
,2sin
?
)
可知
A
在以
C
为 圆心，
2
为半径的圆上，若直线
OA
与圆相切，由图可知
AC21< br>????
????COA???AOB???
uuuruuur
OC
2 2
264612
，即
OA
与
OB
uuuruuuruuur uuur
?
5
?
夹角的最小值为，同理可得
OA
与
OB
夹角的最大值为，即
OA
与
OB
夹角的取
1212?
5
?
值范围为
[,]
.
1212
sin?COA?

考点：1.平面向量的坐标；2.直线与圆的位置关系.
30．若四边ABCD满足
AB?CD?0
,
AB?DB?AB?0
，则该四边形是
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．正方形
【答案】B
【解析】
??
r
uuur
uuu
试题分析：由
AB?CD?0
知，
AB
=
DC
，所以
ABCD
，∴四边ABCD是平行 四边
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuur
形，∵< br>AB?DB?AB
=
AB?BD?AB
=
AD?AB
=0，∴ AD⊥AB，∴四边ABCD是矩
????
形，故选B．
r
uuur
uuu
先将
AB?CD?0
化为
AB
=
DC
，根 据相等向量的概念知
ABCD
，所以四边ABCD
是平行四边形，由相反向量的概念及 向量加法得
?
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuur
AB?DB?AB
=
AB?BD?AB
=
AD?AB
=0， 由向量垂直的充要条件知AD⊥AB，所
???
以四边ABCD是矩形，故选B．
考点：相反向量；向量相等的概念；向量加法；向量垂直的充要条件
r
2
3 1．设向量
a?(cos25,sin25),b?(sin20,cos20)
,若
c?a?tb
(tR),则
(c)
的最
?
oo
?
o o
???
小值为
A．
2
B.1 C.
【答案】D
【解析】
1
2
D.
2
2

????
试题分析：由已知得
c?(cos25 ?tsin20,sin25?tcos20)
，则
r
2
r
2
2
1
(c)?c?t?2t?1
，在对称轴处取到最小值。
2
考 点：（1）向量的坐标运算；(2)同角三角函数基本关系式及二倍角公式；（3）二次函
数的性质。
rr
1
32．已知
a?(,2sin
?
),b?(cos< br>?
,3)
，且
ab
.若
?
?
?
0, 2
?
?
， 则
?
的值为
3
??
5
?
?
5
?
A． B． C． D．或
43444
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知得
?3?2sin
?
cos
?
?0
，则
sin2
?
?1
，又
?
?
?
0,2
?
?
，则
?
的
值为
1
3
?
5
?
或。
44
考点：（1）共线向量的坐标运算；（2）特殊角的三角函数值。
33．在
?ABC
中，
AD
是
BC
边上的高，给出下列结论：
①
AD?(AB?AC)?0
； ②
AB?AC?2AD
； ③
AC?
AD
AD
?ABsinB
；
其中结论正确的个数是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

【答案】D
【解析】
uuuruuur
试题分 析：∵
AD?BC
，∴
AD?BC?0
，
uuuruuuruuu ruuuruuur
①
AD?(AB?AC)?AD?CB?0
；
uuur uuuruuuur
uuuuruuur
uuuruuuruuur
②取BC中点M，
AB?AC?2AM
，而
|AM|?|AD|
，∴
|AB?AC|? 2AD
；
③
uuur
uuuruuur
AD
uuurAC??|AC|cos?CAD?|AD|
|AD|
，
uuuruuur
|AB|sinB?|AD|
，所以
AC?
AD
AD
?ABsin B
；
所以正确的个数为3个.

考点：向量的运算.
34．如图所示，是的边上的中点，记，，则向量（ ）．
A
D

B

C


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
uuur
1
uuuruuururu uuruuururuuurr
1
r
1
uu
1
uu
试题分析：
CD?(CA?CB)?(BA?BC?BC)?BA?BC??a?b
．
2222
考点：平面向量的线性运算．
rr
35．已知向量
a?( 3,4)
，
b?(sin
?
,cos
?
)
，且a
∥
b
，则tan α等于( )
A．
3344
B．－ C． D．－
4433
【答案】A．
【解析】
rr
rr
试题 分析：∵
a?(3,4)
，
b?(sin
?
,cos
?)
，且
a
∥
b
，∴
3cos
?
?4s in
?
?tan
?
?
sin
?
3
?
．
cos
?
4
考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．同角三角函数的 基本关系．
rr
uuur
uuu
uuur
uuu
36．平 面上有四个互异的点A，B，C，D，满足(
AB
－
BC
)·(
AD
－
CD
)＝0，则△
ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
rrrr
uuur
uuu
uuur
uuu
uuur
uuu< br>uuur
uuu
【解析】由(
AB
－
BC
)·(AD
－
CD
)＝0，得(
AB
－
BC
)·(< br>AD
＋
DC
)＝0，即
r
uuur
rrr
2
uuur
uuu
uuur
uuu
uuur
uuu
u uur
2
uuu
uuur
(
AB
－
BC
) ·
AC
＝0，(
AB
－
BC
)·(
AB
＋
BC
)＝0，即
AB
－
BC
＝0，|
AB
|
uuur
＝|
BC
|，故△ABC为等腰三角形．

uuur
11
uuur
37．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC 的重心，动点P满足
OP
＝ (
OA
32
r
uuur
1
uuu
＋
OB
＋2
OC
)，则点P一定为三角形ABC 的( )
2
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB边的中点
【答案】B
【解析】设AB的中点为M，
r
1
uuuruuuur
1
uuu
则
OA
＋
OB
＝
OM
，
22
uuur
1
uuu ur
uuur
r
2
uuur
1
uuuu
∴
OP
＝ (
OM
＋2
OC
)＝
OM
＋
OC
， 333
uuuruuuur
uuur
即3
OP
＝
OM< br>＋2
OC
，
uuur
uuur
也就是
MP
＝2
PC
，
∴P，M，C三点共线，且P是CM靠近C点的一个三等分点．
38．已知
{an
}
是等差数列，若
S
27
?S
4000
， O为坐标原点，点
P(2,a
n
)
、
S
n
为其前n 项和，
uuuruuur
Q(2014,a
2014
)
，则
OP?OQ?
（ ）
A．4028 B．2014 C．0 D．1
【答案】A
【解析】由
S
27
?S
4000知
a
28
?a
29
?????a
4000
?0
，进而有
a
2014
?0
，
又
OP?(2,a< br>n
),OQ?(2014,a
2014
)

?OP?OQ?2 ?2014?a
n
?a
2014
?4028?a
n
?0?4 028

考点：1、等差数列 2、向量的数量积
uuuruuuruuur
?
??
?
39．函数
y?tan
?
x?
?
的部分图象如下图所示，则
OA?OB?AB?
( )
2
??
4
??

A．－6 B．－4 C．4 D．6
【答案】D
【解析】

试题分析 ：由
y?tan
?
?
??
?
x?
?
的图象 可知
2
??
4
A(2,0),B(3,1)所以
uuuruuuru uur
uuuruuur
uuur
OA?OB?(5,1)
,
AB? (1,1)
所以
OA?OB?AB?6
.
??
考点：向量数量积，向量的坐标表示.
uuuruuuruuuruuuruu uruuur
40．已知
O
为
?ABC
所在平面上一点，若
OA?OB?OB?OC?OC?OA
,则
O
为
?ABC
的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【解析】
uuuruuuruuuruuur
uu uruuuuruuuruuuruuur
试题分析：因为
OA?OB?OB?OC
所 以移项可得：
OB?(OC?OA)?OB?AC
所以
uuuruuur
OB ?AC
；同理可
uuuruuuruuuruuur
知
OC?AB
，
OA?BC
.
考点：向量的运算，向量的垂直.
ruuur
? ?
uuu
r
uuur
uuu
r
ABAC
?
uuu
?
41．非零向量
AB
与
AC
满足
uuur
?
uuur
?BC?0
且
?
ABAC
?
? ?
( )
A.三边均不等的三角形 B.直角三角形 uuuruuur
ABAC1
uuur
?
uuur
?
， 则⊿ABC为
ABAC
2
C.等边三角形 D.等腰非等边三角形
【答案】C
【解析】
ruuur
??
u uu
r
ABAC
?
uuu
?
试题分析：由
uuur
?
uuur
?BC?0
，则
?ABC
的角
A
的平分线与
BC
垂直，因为
?
ABAC
?
??
u uuruuur
ABAC1
uuur
?
uuur
?
， ABAC
2
所以
cosA?
?
1
，即
A?，所以
?ABC
是等边三角形.
3
2
考点：平面向量的数量积，等边三角形的性质.
rr
42．若 平面内两个向量
a?(2cos
?
,1)
与
b?(1,cos
?
)
共线，则
cos2
?
等于 （ ）
A．
1
B．
1
C．
?1
D．
0

2

【答案】D
【解析】
rr
试题分析：解：由向 量
a?(2cos
?
,1)
与
b?(1,cos
?
)
共线知：
2cos
?
?cos
?
?1?1?0

所以，
2cos
?
?1?0,?cos2
?
?0
， 故选D.
考点：1、平面向量共线的条件；2、三角函数的二倍角公式.
43．已知向量< br>a?(1,3),b?(sin(x?
?
),cos(x?
?
))，若函数
f(x)?a?b
为偶函数，
则
?
的值可能是（ ）
A．
2
?
?
?
?
B． C．
?
D．
?

6363
【答案】A
【解析】
试题分析：
rr
Q
a?(1,3),b?(sin(x?
?
),cos(x?
?
))
，
rr
?
?f(x)?a?b?(1,3)?(sin(x?
?
), cos(x?
?
))?sin(x?
?
)?3cos(x?
?
)?2sin(x?
?
?)
3
，因为函数
f(x)?a?b
为偶函数，所以
?
?
?
3
?
?
2
?k< br>?
,(k?Z),
?
?
?
6
?k
?
,(k?Z)
，
?
?
的值可能是
6
考点：偶函数，向量的数量积，辅助角公式
r
r
44．若向量< br>a?
?
cos
?
,sin
?
?
，
b ?
?
rr
3,?1
，则
2a?b
的最大值为（ ）
?
A.
4
B.
22
C.
2
D.
2

【答案】A
【解析】
rr
rr
rr
a?b?3cos
?
?s in
?
，试题分析：由题意可知
a?1
，
b?2
，而
2a?b?
?
rr
2a?b
?
2

r
2
rrr
2
?4a?4a?b?b?4?4
，
?
?
??
3cos
?
?sin
?
?4?4sin< br>?
?3cos
?
?8?8sin
?
?
?
?< br>?8
3
??
???
rr
因此
2a?b
的最大 值为
8?8?4
，故选A.
考点：1.平面向量的模；2.三角函数的最值
r
rrr
45．已知向量
a?(m,n)
，
b?(cos
?
,sin
?
)
，其中
m,n,
?
?R
， 若
|a|?4|b|
，则当

rr
a?b?
?
2
恒成立时实数
?
的取值范围是（ ）
?
?2或
?
??2
B．
?
?2或
?
??2
C．
?2?
?
?2
D．
?2?
?
?2

【答案】B
【解析】
r< br>rrr
试题分析：∵
|a|?4|b|
，
a?(m,n)
，< br>b?(cos
?
,sin
?
)
，∴
m
2?n
2
?16
，
∴
a?b?mcos
?
?m sin
?
?m
2
?n
2
sin(
?
??
)?4sin(
?
?
?
)
，
rr
2
∴要使
a?b?
?
，只需
?
2
?(a?b)max
?4
，∴
?
的取值范围是
?
?2
或?
??2
．
考点：平面向量数量积与恒成立问题．
uuuruuur
46．已知
O
为坐标原点，向量
OA?
?
3sin
?
,cos
?
?
，
OB?
?
2sin
?
,5sin
?
?4cos
?
?
，
uuuruuur
?
3
?
?
?
?
?
,2
?
?
，且
OA?OB
，则
tan
?
值为（ ）
?
2
?
A.
?
4443
B.
?
C. D.
3554
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意知
6sin2
?
?cos
?
?
?
5sin
?
?4 cos
?
?
?0
，即
6sin
2
?
?5s in
?
cos
?
?4cos
2
?
?0
，
上述等式两边同时除以
cos
2
?
，得
6tan
2
?
?5tan
?
?4?0
，由于
?
?
?< br>则
tan
?
?
3
?
?
,2
?
?
，
?
2
?
?0
，解得
4
，故选A.
3
tan
?
??
考点：1.平面向量的数量积；2.弦化切
47．(2014·孝感模拟)已知P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F
1
,F
2
是其焦点,双曲线
的离心率是,且·=0,若△PF
1
F
2
的面积为9,则a+b的值为( )
.6 C
【答案】C
【解析】由·=0得⊥,设||=m,||=n,不妨设m>n,则

m+n=4c,m-n=2a,mn=9,=,解得
222
所以b=3,所以a+b =7.
x
2
y
2
??1

(b?0)
的 左、右焦点分别为，直线
AB
过48．已知焦点在
x
轴的椭圆
C:< br>3b
2
uuuuruuuur
0
右焦点
F
2
，和椭圆交于
A,B
两点，且满足
AF
2
?3F
2
B
，
?F
1
AB?60
，则椭圆的标
准方程为（ ）
x
2
y
2
x
2
3y
2
x2
x
2
2
??1
B．
??1
C．
?2y?1
D．
?y
2
?1
A．
323233
【答案】A
【解析】如图所示，设
BF
2
?x,
则
AF
2
?3x
，由椭圆的定义，得
AF
1
?23?3x
，
BF
1
?23?x
，在
?AF< br>1
B
中，由余弦定理得，
(23?x)
2
?(23?3x)< br>2
?(4x)
2
?2?(23?3x)?(4x)cos60
0
，解得
x?
43
，在
9
?AF
1
F
2< br>中，由余弦定理得，
4c
2
?(
23
2
43
2
2343
)?()?2??cos60
0
，解得
3333
x
2
y
2
?1
．
c?1
，故
b?a?c ?2
，故椭圆方程为
?
32
222

【命题意图】本题考查 椭圆的标准方程、向量共线、余弦定理等基础知识，试题综合性
较高，意在考查学生逻辑思维能力、综合 解决问题的能力．
49．设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a
＋b|＝|a－2b|，则β－α等于( )
A．
??
??
B．－ C． D．－
2244
【答案】A
【解析】由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|－3|b| ＋8a·b＝0，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，
即cos(α－β)＝0，由于0<α<β< π，故－π<α－β<0，故α－β＝－
α＝
22
?
，即β－
2?
．选A．
2
50．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（ ）

A． B． C． D．

【答案】C
【解析】由题意可得=
==
==
故选C


51．已知
m,n
是夹角为
120< br>o
的单位向量，向量
a?tm?(1?t)n
，若
n?a
，则 实数
rrrrr
rr
t?
．
【答案】
【解析】
2

3
rur
rrrr
1
试题分析：由已知得
n?m?1?1?cos120
0
??
，因 为
n?a
，所以
n?a=0
，
2
r
r
r< br>r
r
a?n?tm?n?(1?t)n
2

=
?t?1?t?0
，所以
t?
考点：向量的数量积运算.
1
2
2
．
3
rr
rr
52．已知
a?(1,?2)
，
b?(2,
?
)
，且
a
与< br>b
的夹角为锐角，则实数
?
的取值范围
是 .
【答案】
?
?1
且
?
??4

【解析】
rrrr
rrrr
试题分析：依题意有
a?b?0
且
a与
b
不同向，由
a?b?2?2
?
?0
得
?
?1
，若
a
与
b
共线，则
?
?4?0，即
?
??4
，故所求范围为
?
?1
且
???4
.特别提醒，要去除两
个向量共线的情形，这是易错点.
考点：平面向量数量积的应用.
rrrr
53．设
a?(x,3),b?( 2,?1),若a与b
的夹角为钝角，则
x
的取值范围是 .
【答案】
x?
【解析】
3
或
x??6
。 2
rrrr
试题分析：由题意知
a?b?0
且
cos?a?b? ??1
，即
2x?3?0
且
2x?3
x?9?5
2
??1
，

?x?
3
且
x??6
。
2
考点：向量数量积及夹角的坐标运算。
rr
r
r
54． 已知
a?(2,1),
b?(m,6)
，向量
a
与向量
b< br>的夹角锐角，则实数
m
的取值范围
是 ．
【答案】
m??3且m?12

【解析】
rr
rr
rr
a?b
试题分析：因为向量
a
与向量
b
的夹角锐角， 所以
rr
?0
且
b?
?
a
，即
a?b2m?6?0,且2?6?m?1?0
解得
m??3且m?12
.
考点：向量的数量积.
55．在
?AOB
中，
O
为坐标原 点，
A(1,cos
?
)
，
B(sin
?
,1)< br>，
?
?(0,
积的最小值为_________．
【答案】
【解析】
试题分析：
?
2
]
，则
?AOB
面
1

4
uuuruuur
OA?
?< br>1,cos
?
?
,OB?
?
sin
?
,1< br>?
，
，
所
所以
以
uuuruuur
OA?O Bsin
?
?cos
?
cos?AOB?
uuuruuur
?
OA?OB
1?cos
2
?
?sin
2
?
?1
2
1
1?sin2
?
sin
?
?cos?
??
2
2
sin?AOB?1?cos?AOB?1??
22
?
1?cos
?
?
?
?
sin
?
?1
?
1?cos
2
?
?sin
2
?
?1
ruuur
1
uuu
1111
。则
S
?ABO?OAOBsin?AOB?(1?sin2
?
)??sin2
?
，当< br>sin2
?
?1
时，
22224
111
(S
?ABO
)
min
???
。
244
考点：1向量的数量积公式；2向量的模；3同角三角函数关系式；4正弦函数的最值。
56．已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则
=___ ______________;
【答案】4
【解析】

uuu uv
uuuuuv
试题分析：由题可令
PF
1
?m
，
PF
2
?n
，又
2
m?n?m
??
有
2 22
1
mn?16
，则，中
m?n?4c
，
2
22 2
222
?n?4mn?4a
，可得
4c?4a?32,b?16,b?4< br>.

考点：椭圆的几何性质.
uuuruuur
uuur
57．设
OA
=(1,-2),
OB
=(a,-1),
OC
=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原 点,若A、B、C三
点共线,则
【答案】8
12
+的最小值为 .
ab
ruuur
uuur
uuu
【解析】
AB
=< br>OB
-
OA
=(a-1,1),
uuuruuur
uuur
AC
=
OC
-
OA
=(-b-1,2).
由A、B、C三点共线,
得2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1,
1212b4a
+=(2a+b)(+)=4++≥8,
ababab
1
当且仅当b=2a=时等号成立.
2
则
?
x?1，
?
1
?
58．设x，y满足约束条件
?
y ?x，
向量
a
＝(y－2x，m)，
b
＝(1，－1)，且
a∥b
，
2
?
?
?
2x＋y?10，
则m的最小值 为________．
【答案】－6
【解析】不等式组对应的可行域是以A(1，8)， B
?
1,
?
，C(4，2)为顶点的三角形及其
内部．由
a ∥b
，得m＝2x－y，可知在A(1，8)处m＝2x－y有最小值－6.
?
1< br>?
?
2
?
uuur
1
uuuruuur
22
59．已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足
BP?cos
?
BC?s in
?
BA
(
?
?R)
，
2
则的最小值是 .
【答案】
?2

【解析】
试题分析：若
A,G,C< br>三点共线，则
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuururr
1< br>uu
?
uuu
AG?
?
GC?BG?BA?
?
(BC?BG)?BG?BA?BC
,反之也成立.由
1?
?
1?
?

uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuur
|P O|?|PA|
2
|AO|
2
)??2()??2.

OP?PA?OA?2.
. 等于
2PO?PA??2|PO|?|PA|??2(< br>22
uuur
1
uuuruuuruuuruuur
BP?cos2
?
BC?sin
2
?
BA?cos
2
?BO?sin
2
?
BA
得
P,O,A
三点共线且
2
考点：向量共线，基本不等式.
60．如图，平行四边形
ABCD
中， 是边
BC
上一点，为
AC
与
DE
的交点，且
uuu ruuuruuur
uuurr
AG?3GC
，若，
AD?b
，则用 表示
BG?
.


1
r
3
r
【答案】
?a?b

44
【解析】
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuururr
1
uu
?
uuu
试题分析：若
AG?
?
G C?BG?BA?
?
(BC?BG)?BG?BA?BC
,这就是向
1??
1?
?
量定比分点公式.由向量定比分点公式得
uuur
1< br>uuur
3
uuurr
3
uuur
1
uuu
1
r
3
r
BG?BA?BC??AB?AD??a?b.

444444
考点： 向量定比分点公式，向量三角形法则.