高中数学向量基础练习题

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高中数学向量基础练习题
一、选择题
1、下列说法中正确的是
A.两个单位向量的数量积为1 B.若a·b=a·c且a≠0,
则b=c C.D.若b⊥c,则·b=a·b
=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD是 、设e是单位向量,A.
梯形 B.菱形 C.矩形D.正方形
3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90°,且c=2a+ 3b，
d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为
A. B.-6C. D.-3
4、设0≤θ＜2π,已知两个向量
长度的最大值是 A. B. C. D. =,=，
则向量
5、设向量a=，b= ，c=，若表示向量4a、4b-2c、2、d
的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为
A. B.C.D.
6、已知向量a=，b=，a与b的夹角为θ,则tanθ等
于 A.B.- C.D.-3
7、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b,且与共线,则k、l
应满足

A.k+l=0 B.k-l=0 +1=0 -1=0
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8、已知平面内三点A,B,P,且AP=λPB,则λ的值为
A.3B.C.D.
9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平
面向量b1，b2，b3满足|b i|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°
后与bi同向，其中i=1，2，3，则
A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0
C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0
10、设过点P的直线分别与x轴的 正半轴和y轴的正
半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原
点，若,且·= 1,则P点的轨迹方程是 A.3x2+y2=1
B.3x2y2=1 C.x2-3y2=1 D.x2+3y2=1
11、已知△ABC中，点D在BC边上，且 ，若,则r+s
的值是
A. B.0 C. D.-3
12、定义a※b=|a||b|sinθ，θ是向量a和b的夹角，
|a|、|b|分别为a、b的模 ，已知点A、B,O是坐标原点，则
※等于
A.- B.0C.6.5D.13
二、填空题
1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,| c|=7,则向量a与b
的夹角是____________.
2、
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若
=2e1+e2,
=e1-3e2,=5e1+λe2,且B、C、D三点共线,则实数
λ=___________.
3、已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量,则
a=2e1+e2和b=2 e2-3e1的夹角是__________.
4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O，则下列选
项中向量的终点落在阴影区域内的是
_________________.
图2-1
①
三、解答题
1、如图2-2所示，在△ABC中,=c,=a, =b,且
a·b=b·c=c·a，试判断△ABC的
②
+
③
④
+
⑤
-形状.
图2-2
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2、如图2-3所示,已知|45°,|
|=5,用，|=|表示|=1，、的夹角为120°,)
与的夹角为.,
又有
⊥,求的坐标. =，=.若有∥,4、已知平面向量a=,b=.
证明a⊥b;
若存 在不同时为零的实数k、t,使得x=a+b,y=-ka+tb,
且x⊥y,求函数关系式k=f.
5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=.
若|c|=
若|b|=
,且c∥a,求c的坐标; ,且a+2b与2a-b垂直,求a与
b的夹角θ.
6、如图2-4所示,已知△ AOB,其中点,且=λa,=a,=b,
而M、N分别是△AOB的两边OA、OB上的=p用=μb ,设BM与
AN相交于P,试将向量a、b表示出来.
图2-4
向量练习题
一、选择题
1．化简AC?BD?CD?AB得A．ABB．C．D．
0．设a0,b0分别是与a,b向的单位向量，则下列结论
中正确的是
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A．a0?b0B．a?b?1C．|a0|?|b0|?2D．|a0?b0|?2
003．已知下列命题中：
若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，若a?b?0，则a?0或
b?0
若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则??0 若
a与b平行，则ab?|a|?|b|其中真命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
4．下列命题中正确的是
A．若a?b＝0，则a＝0或b＝0 B．若a?b＝0，则a∥b
C．若a∥b，则a在b上的投影为|a| D．若a⊥b，则
a?b＝2
5．已知平面向量a?，b?，且a?b，则x?
A．?3B．?1C．1D．6．已知向量?,向量?则|2?|的最大值，
最小值分别是A．42,0B．4,42C．16,0D．4,0 二、填
空题
1．若=，=，则
1
=_________
2．平面向量a,b
中，若a?=1，且a?b?5，则向量b=____。．若a?3,b ?2，
且a与b的夹角为60，则a?b? 。．把平面上一切单位向量
归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是
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___________。
????
5．已知a?与b?，要使a?tb最小，则实数t的值为
___________。
三、解答题
1．如图，ABCD中，E,F分别是BC,DC的中点，G为交
点， 若AB=a，=b，试以a，b为基底
表示DE、BF、CG．
2．已知向量a与b的夹角为60，|b|?4,.??72,求向量
a的模。
3．已知点B，且原点O分AB的比为?3，又b?，求b在
AB上的投影。
4．已知a?,?,当k为何值时，
ka?b与a?3b垂直？ka?与a?3平行？平行时它们是同
向还是反向？
?
?
?
?
向量练习
一、选择题
1．下列命题中正确的是
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A．OA?OB?AB B．AB?BA?0 C．0?AB?0 D．AB?BC?CD?AD．设
点A，B,若点P在直线AB上，且AB?2AP，
则点P的坐标为A． B． C．或 D．无数多个．若平
面向量与向量?的夹角是180，且||?，则?
A．B．C．D．
o
b与a?2b平行，则m等于A．? B．2C4．向量a?，b?，
若ma?
5．若a,b是非零向量且满足?a，?b ，则a与b的夹
角是
11
D．?
22
??2?5?
B．C．D．336
?31
)，b?，且ab，则锐角?为A．300 B．600 C．750
D．450．设a?，b?，c?，若用a和b表示c，则c=____。
???????
3．若a?1,b?2，与的夹角为60，若?，则m的值为 ．
4．若菱形ABCD的边长为2，则
AB?CB?CD?__________。．若 a=，b=，则a在b上的投影为
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________________。 三、解答题
1．求与向量a?，b?夹角相等的单位向量c的坐标．
2．试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的
平方和．
3．设非零向量a,b,c,d，满足d?b?c，求证：a?d
4．已知a?，b?，其中0??????．
求证：a?b 与a?b互相垂直； 若ka?b与a?kb的长度
相等，求???的值．
?
????
?
?
?
平面向量综合练习
1
、已知a??,sin?),b??1)，则|2 a?b|的最大值是
__________。、设向量a,b的夹角为?，且a?,2b?a?，则co s?
＝________。
3
、已知AB，坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则
OA?OC＝________。
、已知|OA|?1,|OB|?OA?OB?0，点C在线段AB上，
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且?AOC?30，设
m
＝____________。 n
15
,|a|?3,|b|?5 ，则a,b夹角的大小为_______.、已
知?ABC中，AB?a,AC?b,a?b?0,S? ABC?4
OC?mOA?nOB，则
6、已知非零向量AB,AC 满足?BC?0，且??，则?ABC的
形状为|AB||AC||AB||AC|2
7、已知A,BC。 若AC?BC??
1，求sin，
?
4
)的值； 若|OA?OC|??，求OB,OC的夹角的
n?，且m?n。
求角B的大小；若b?3，求AC边上的高的最大值。
10、已知向量a?,b?,x?[0,]2222
3
，求实数?的值。
求a?b及|a?b|；若f?a?b?2?|a?b|的最小值是?
答案解析
向量练习
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一、选择题
1.D AD?BD?AB?AD?DB?AB?AB?
AB?0.C 因为是单位向量，|a0|?1,|b0|?1
3.C 是对的；仅得a?b；??a?b?a?b?0 平行时分0和
180两种，ab?a?bcos???a?b.D 若AB?DC，则A,B,C,D 四点
构成平行四边形；a?b?a?b若ab，则a在b上的投影为a
或?a，平行时分0和1 80两种
a?b?a
b?0,2?
22
2
2
5.C x?1??0,x?1
6.D a?
b?,|2a?b|?
??二、填空题
1. AB?OB?OA?
，最大值为4，最小值为0
sab,??
2. a?5,co?
4535
143b
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?a?
?
a1b,方向相同，,
555ab
ab
a?
?7
4.圆 以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆．?
4a?tb??t??时即可
55
三、解答题
1.解：DE?AE?AD?AB?BE?AD?a?
11
b?b?a?b211
BF?AF?AB?AD?DF?AB?b?a?a?b?a
22
111
G是△CBD的重心，CG?CA??AC??
333
2.解：?a2?ab?6b2??72
a?abcos600?6b??72,a?2a?24?0,
2
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2
2
平面向量的基本定理及坐标表示
一、选择题
????
a1、若向量= , b= , c =,则 c等于 1?3?1?3?3?1?
A、?a+b B、a?b C、a?b
222222
3?1?
b D、?a+2

2、已知，A，B，则与AB共线的单位向量是
A、e? 1010
B、e?或 10101010
C、e? D、e?或

3、已知a?,b?,ka?b与a?3b垂直时k值为 A、17
B、18
C、19
D、20
4、已知向量=， =， =，设X是直线OP上的一点，那
么?的最小值是 A、-16B、-8C、0 D、4
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5、若向量?,?分别是直线ax+y－a=0和ax+4by+b=0的
方向向量，则 a, b的值分别可以是 A、 －1 ， B、 －，
1 C、 1 ， D、，1
6、若向量a=，b=，则a与b一定满足 A、a与b的
夹角等于?－? B、⊥ C、a∥b
D、a⊥b
7、设i,j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，
OP?3cos?i?3sin?j，
????
??
??,??i。若用?来表示与的夹角，则?等于
2
A、?
B、
?
2
??
C、
?
2
?? D、???
OP2??2?sin?,2?cos??，则 向8、设0???2?，已知两个
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向量1??cos?,sin??，
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1
量P1P2长度的最大值是 A、 二、填空题
9、已知点A，B，动点P在抛物线y2＝－4x运动，则
使?取得最小值的点P的坐标是、
10
、把函数y?x?sinx的图象，按向量a???m,n? 平移后所
得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为
__________________、
11、已知向量OA?,OB?,若OA?AB,则m?、 三、解答题
12、求点A关于点P的对称点A、 13、平面直角坐标
系有点P,Q?,x?[?

B、3
C、32
D、
?
??
,].
44
求向量OP和OQ的夹角?的余弦用x表示的函数f； 求?
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的最值、
14、设?，其中x∈[0，?，求f=·的最大值和最小值；
?
]、
????????????当 OA⊥OB，求|AB|、
15、已知定点A、B、C，动点P满足：AP?BP?k|PC|、 求
动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形； 当k?2时，
求|AP?BP|的最大值和最小值、
???
???
??????
???
2
参考答案
一、选择题
1、B；2、B；3、C；4、B；5、D；6、B；7、D；8、C 二、
填空题、
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2
10、m?11、4
5?
三、解答题
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??3?x
??1??x?1?2
12、解：设A，则有?，解得?、所以A。
5?y?y??1??2??2
13、解：???2cosx,||||?1?cos2x,cos??
?
2cosx
?f
1?cos2x
cos??f?
2cosx
?2
1?cosx
2cosx?
1cosx
且x?[?
??
2
,]，?cosx?[,1]42
221322222
??;?cosx???f?1,即?co?s?1max
3cosx233
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?min?0
14、解：⑴f=·= -2sinxcosx+cos2x=2cos、
???5?
， ∴≤2x+≤、444??
∴当2x+=，即x=0时，fmax=1；
44?3
当2x+=π，即x=π时，fmin= -2、
84
???
⑵OA?OB即f=0，2x+=，∴x=、
428
∵0≤x≤此时|AB|?
2?2
222
=4sinx?cosx?4sinxcosx?
=
77
?cos2x?2sin2x?cos22x2
=
77?cos?2sin?cos22444
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=
1
?32、
15、解： 设动点P的坐标为，
则AP?，BP?，PC?、 ∵AP?BP?k|PC|2，∴x2?y2?1?k2?y2，
即 x2?y2?2kx?k?1?0。
若k?1，则方程为x?1，表示过点且平行于y轴的直线、
若k?1，则方程为?y2?，表示以为圆心，以为半径 1?k1?k1?k
1
的圆、
|1?k|
当
k?2
时，方程化为
2?y2?1
、
AP?BP???
∴|AP?BP|?2x2?y2、
又∵2?y2?1，∴ 令x?2?cos?,y?sin?，则
???
???
|AP?BP|?2x2?y2?2?4cos?
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∴当cos??1时，|AP?BP|的最大值为6，当cos???1时，
最小值为2。
???
???
??????
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