(完整版)高一数学向量知识点归纳练习题

向量
一、平面向量的加法和乘积
rrrr
1、向量加法的交换律：
a?b?b?a

rrrrrr
2、向量加法的结合律：
(a?b)?c?a?(b?c)
< br>rr
3、向量乘积的结合律：
?
(
?
a)?(
??< br>)a

rrr
4、向量乘积的第一分配律：
(
?
?< br>?
)a?
?
a?
?
a

rrrr
5 、向量乘积的第二分配律：
?
(a?b)?
?
a?
?
b
二、平面向量的基本定理
r
urur
如果
e
1、
e
2
是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一
a
，有且只
rurur
有一对实数
?
1
、
?
2
，使得
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
。
urur
（1）我们把不是共线的
e
1< br>、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；
r
urur
（3）由定理可以将 平面内任一
a
在给出基底
e
1
、
e
2
的条 件下进行分解；
r
urur
（4）基底给定时，分解形式是唯一的，
?1
、
?
2
是被
a
、
e
1
、< br>e
2
唯一确定的数量。
三、平面向量的直角坐标运算
rrrrrr
1、已知
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b?(x
1
?x2
,y
1
?y
2
)
，
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
rr
a?b?(x
1
x
2
,y
1
y
2
)
。
uuruuruur
2、已知
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
A B?OB?OA?(x
2
,y
2
)?(x
1
,y
1
)?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
。
rr
3、已知
a?(x
1
,y
1
)
和实数
?
，则
?
a?
?
(x
1
, y
1
)?(
?
x
1
,
?
y
1)
。
四、两平面向量平行和垂直的充要条件
1、平行（共线）：
r r
rr
基本定理：
a
、
b
互相平行的充要条件是存在一个实 数
?
，使得
a?
?
b
。
rr
rr
定理：已知
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x2
,y
2
)
，则
a
∥
b
的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
。
2、垂直：
rrrr
基本定理：
a
、
b
互 相垂直的充要条件是
a?b?0
。

rr
rr
定理： 已知
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2< br>,y
2
)
，则
a
⊥
b
的充要条件是
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
。
五、平面向量的数量积
rr
rrrr
定义：非零向量
a
、
b
，它们之间的夹角为
?
，则
a?bcos
?
就称 作
a
与
b
的数量积，记作
rrrr
rr
a?b，即有
a?b?a?bcos
?
，
0?
?
?
?
。
rrrr
性质：非零向量
a
、
b
的夹角为?
，
e
是与
b
同向的单位向量，那么
rrrrr
（1）
a?e?e?a?acos
?
；
rrrr
（2）
a?b?a?b?0
；
rrr
2
rrr
（3）
a?a?a
或
a?a?a
；
rr
a?b
（4）
cos
?
?
rr
；
a?b
rrrr
（5）
a?b?a?b
。
rrrrrr< br>数乘结合律：
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)

rrrrrrr
分配律：
(a?b)?c?a?c?b?c

六、向量的长度、距离和夹角公式
r
r
2
r
22
22
（1）已知
a?(x
1
,y
1
)
，则
a?x?y
，即
a?x?y
。（长度公式）
uur
22
B (x
2
,y
2
)
，（2）已知
A(x
1
, y
1
)
，则
AB?(x
2
?x
1
,y2
?y
1
)
，
AB?(x
2
?x
1< br>)?(y
2
?y
1
)
。
（距离公式）
rr
（3）已知
a?(x
1
,y
1
)
，
b?( x
2
,y
2
)
，它们之间的夹角为
?
，则
rr
x
1
x
2
?y
1
y
2
a? b
，
0?
?
?
?
。（夹角公式）

cos
?
?
rr
?
2222
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
a?b

高一数学《平面向量》单元测试
一、 选择题(共8小题,每题5分)
1. 下列命题正确的是 （ ）
A．单位向量都相等 B． 任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为
0
的向量与任意向量共线
2．已知向量a＝（3,4），b＝（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于（ ）
A．
3
3
4
4
B．
?
C． D．
?

43
43
3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ）
A．若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b
B．四边形A BCD是菱形的充要条件是
AB
=
DC
，且|
AB
|=|< br>AD
|
C．点G是△ABC的重心，则
GA
+
GB
+
CG
=0
D ．△ABC中，
AB
和
CA
的夹角等于180°－A
4．设P（3 ，
?
6），Q（
?
5，2），R的纵坐标为
?
9，且P、Q 、R三点共线，则R点的横坐
标为 （ ）
A．
?
9 B．
?
6 C．9 D．6
rrrr< br>rrrrr
|a|?1,|b|?2,c?a?b
5．
若，且
c?a< br>，则向量
a
与
b
的夹角为( )

A．
30°
B．
60°
C．
120°
D．
150°
6．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的什么条件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
?
7．若 将函数
y?sin2x
的图象按向量
a
平移后得到函数
y?sin( 2x?)
-1的图象,
4
则向量
a
可以是： （ ）
?
?
?
?
A
．

(,?1)
B
．

(?,1)
C
．

(,1)
D
．
(?,?1)

84
8
4
8．在△ABC中，已知
|AB|?4,|AC|?1,S
?ABC
?3,则AB?AC
的值为（ ）
A．－2 B．2 C．±4 D．±2
二、 填空题(共4小题,每题5分)
9．已知向量
a
、
b
的模分别为3，4，则｜
a
-
b
｜的取值范围为 ．
r
r
r
rr
O
10．已知
e
为一单位向量，
a
与
e
之间的夹 角是120,而
a
在
e
方向上的投影为－2，则
r
a?
.
11．设
e
1、e
2
是两个单位向量，它们的夹角是
60
，则
(2e
1
?e
2
)?(?3e
1
?2e
2
)?

12．在?ABC中，a =5，b=3,C=
120
,则
sinA?

0
?
三、 解答题(共40分)

13
．设
e
1
,e
2
是两个垂直的单位向量，且
a??(2e
1?e
2
),b?e
1
?
?
e
2

(1)若
a
∥
b
，求
?
的值； (2)若
a?b
，求
?
的值.（12分）







14．设函数
f(x)?a?b
，其中向 量
a
=(2cosx，1)，
b
=(cosx，
（1）若f(x)=1－
3
且x∈[－
3
sin2x)，x∈R.
??
，]，求x； （2）若函数y=2sin2x的图象按向量
33
c
=(m，n) (|m|<
?
)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值. （14分）
2













15. 已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为< br>a
、
b
、
c
，向量
CCCC
?
m ?(cos,sin)
，
n?(cos,?sin)
，且
m与n
的夹 角为
.

3
2222
33
7
（1）求角C的值； （2）已知
c?
，△ABC的面积
S?
，求
a?b
的值. （14分）
2
2