高中数学平面向量 综合测试题

平面向量 综合测试题
（时间：120分钟 满分：150分）
学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出 的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 向量
a
，b
，
c
，实数
λ,
下列命题中真命题是( )
A． 若
a
·
b
＝0，则
a
＝0或
b
＝0 B．若
λ a
＝0，则
λ
＝0或
a
＝0
C．若< br>a
2
＝
b
2
，则
a
＝
b
或
a
＝－
b
D．若
a
·
b
＝
a
·
c
，则
b
＝
c

2．已知向量
a
＝(1,0)与向量
b
＝(－1，3)，则向量
a< br>与
b
的夹角是( )
π
A.
6
C.
2π

3
B.
D.
π

3
5π

6
3. 设
P
是△
ABC
所在平面内的一点，
→
BC
＋
→< br>BA
＝2
→
BP
，则( )
A.
→
PA
＋
→
PB
＝0 B.
→
PC
＋
→
PA
＝0
C.
→
PB
＋
→
PC
＝0 D.
→
PA
＋
→
PB
＋
→
PC
＝ 0
4．已知向量
a
＝(2,3)，
b
＝(－1,2)，若
ma
＋
nb
与
a
－2
b
共线，则＝( )
A．－2
1
C．－
2
B．2
1
D.
2
m
n
5．若向量
a
，
b
，
c
满足
a
∥
b
且
a
⊥
c
，则
c
·(
a
＋2
b
)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
6．已知点
A
(－1,1)，
B
(1,2)，
C
(－2，－1)，
D
(3,4)，则向量
→
AB
在
→
CD
方向上的投影 为( )
A.
32

2
B.
315

2
32
C．－
2
315
D．－
2
7. 已知|
a
|＝2|
b
|，|
b
|≠0，且关于
x
的方程
x
2
＋|
a
|
x
＋
a ·b
＝0有实根，则
a
与
b
的
夹角的取值范围是( )

1

A．[0，
π
]
6
B．[
D．[
π
，π]
3
π
，π]
6
π2π
C．[，]
33
8. 已知向量
a，
b
满足|
a
|＝1，(
a
＋
b
)· (
a
－2
b
)＝0，则|
b
|的取值范围为( )
A．[1,2] B．[2,4]
?
11
??
1
?
C.
?
，
? D.
?
，1
?

?
42
??
2
?
9. 下列命题中正确的个数是( )
①若
a
与
b
为非零向量，且
a∥b
，则
a
＋
b
必与
a
或
b
的方向相同；
②若
e
为单位向量，且
a∥e
，则
a
＝|
a
|
e
；
③
a
·
a
·
a
＝|
a
|
3
；
④若
a
与
b
共线，又
b
与
c
共线，则
a
与
c
必共线；
→
A．1
C．3
→→→
⑤若平面内有四点
A< br>，
B
，
C
，
D
，则必有
AC
＋BD
＝
BC
＋
AD
.
B．2
D．4
10．已知向量
a
＝(
x
＋1,1)，
b
＝(1，
y
－2)，且
a
⊥
b
，则
x
2< br>＋
y
2
的最小值为( )
1
A.
3
1
C.
2
2
B.
3
D．1
11．若向量
a
，
b
满足：|
a
|＝1， (
a
＋
b
)⊥
a
，(2
a
＋
b< br>)⊥
b
，则|
b
|＝( )
A．2 B.2 C．1 D.
2

2
12．设
a
,
b
是两个非零向量，下列结论一定成立的是( )
A．若|
a
＋
b
|＝|
a
|－|
b
|，则
a
⊥
b

B．若
a
⊥
b
，则|
a
＋
b
|＝|
a
|－|
b
|
C．若|
a< br>＋
b
＝|
a
|－|
b
|，则存在实数
λ，使得
a
＝
λb

D．若存在实数
λ
，使得< br>a
＝
λb
，则|
a
＋
b
|＝|
a< br>|－|
b
|
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上 ）
13． 已知向量
a
＝(2,1)，
a
·
b
＝10，|
a< br>＋
b
|＝5 2，则|
b
|等于________．
14．已知向量
a
＝(2，－1)，
b
＝(－1，
m
)，< br>c
＝(－1,2)，若(
a
＋
b
)∥
c
，则
m
＝________.

2

15．已 知向量
a
，
b
满足|
a
|＝1，
b
＝(2 ,1)，且
λ

a
＋
b
＝0(
λ
∈R)， 则|
λ
|＝________.
16．在△
ABC
中，若 ∠
A
＝120°，
→
AB
·
→
AC
＝－1 ，则|
→
BC
|的最小值是________．
三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
→→17.（10分）已知
O
、
A
、
B
是平面上不共线的三 点，直线
AB
上有一点
C
，满足2
AC
＋
CB＝
r
0
，
→→→
(1)用
OA
、
OB
表示
OC
；
(2)若点
D
是
OB
的中点，证明四边形
OCAD
是梯形．

18．（10分）设
a
，
b
是不共线的两个非零向量．
(1)若< br>→
OA
＝2
a
－
b
，
→
OB
＝3
a
＋
b
，
→
OC
＝
a
－3
b
，求证：
A
，
B
，
C
三点共线． (2)若
→
AB
＝
a
＋
b
，
→
BC
＝2
a
－3
b
，
→
CD
＝2
a
－
kb
，且
A
，
C
，
D
三点 共线，求
k
的值．
19．（10分）已知向量
a
＝(3< br>,
2)，
b
＝(－1
,
2)，
c
＝(4,
1)．
(1)求3
a
＋
b
－2
c
；
(2)求满足
a
＝
m

b
＋
n

c
的实数
m
，
n
；
(3)若(
a
＋
k

c
)∥(2
b
－
a
)，求实数
k
.
20．（10分）已知在△
ABC
中，
A
(2，－1)，< br>B
(3,2)，
C
(－3，－1)，
AD
为
BC边上的高，
→
求点
D
的坐标与|
AD
|．
2 1．（10分）已知|
a
|＝2|
b
|＝2，且向量
a
在向 量
b
的方向上的投影为－1，求
(1)
a
与
b
的夹角
θ
；
(2)(
a
－2
b
)·
b
.
22.（10分）已知
a
＝( 3，－1)，
b
＝
?
,
?
13
?
?
，且存在实数
22
??
k
和
t
，使得
x
＝
a
＋(
t
2－
k
＋
t
2
3)
b
，
y
＝－
ka
＋
tb
，且
x
⊥
y
，试求的最小值．
t




参考答案

3

一、选择题 1~6 BCBCDA 7~12 BDACBC
提示：
1.若
a
·
b
＝0，表明
a
，
b
垂直，并不是
a
＝0或
b
＝0；若
a
2
＝
b
2
， 表明|
a
|
2
＝|
b
|
2
，并不
是
a
＝
b
或
a
＝－
b
；若
a·
b
＝
a
·
c
，则有|
a
||
b
|cos
α
＝|
a
||
c
|cos
β
，
α
，
β
分别是向量
a
，
b
和
c
，
a
的夹角，不只会是
b
＝
c
.故只 有B正确．
a·b
－112π
2 .cos〈
a
，
b
〉＝＝＝－.所以〈
a
，
b
〉＝.
|
a
|·|
b
|1·223
3.由
→BC
＋
→
BA
＝2
→
BP
知，点
P< br>是线段
AC
的中点，则
→
PC
＋
→
PA＝0.
4.由向量
a
＝(2,3)，
b
＝(－1,2 )得
ma
＋
nb
＝(2
m
－
n,
3
m
＋2
n
)，
a
－2
b
＝(4，－1)，因为< br>m
1
ma
＋
nb
与
a
－2
b
共线，所以(2
m
－
n
)×(－1)－(3
m
＋2
n
)×4＝0，整理得＝－.
n
2
5.因为
a
⊥
c
，所以
a
·
c
＝0，又因为
a
∥b
，则设
b
＝
λa
，所以
c
·(
a< br>＋2
b
)＝(1＋2
λ
)
c
·
a
＝ 0.
6．
→
AB
＝(2,1)，
→
CD
＝(5,5)，向量
→
AB
＝(2,1)在
→
CD
＝(5, 5)上的投影为|
→
AB
|cos〈
→
AB
，
→< br>CD
〉
→
AB
·
→
CD
→
AB·
→
CD
1532
→
＝|
AB
|＝＝＝，故选 A.
→→→2
52
|
AB
||
CD
||
CD
|
7．
Δ
＝|
a
|－4
a·b
＝|
a
|－4|
a
||
b
|cos〈
a
，
b
〉＝4|
b
|－8|
b
|·cos〈
a
，
b
〉≥0.
1π
所以cos〈
a
，
b
〉≤，〈
a
，
b
〉∈[0，π]．所以≤〈
a
，
b
〉≤π.
23
8．由题意知
b
≠0，设向量
a
，
b
的夹角为
θ
，(
a
＋
b
)· (
a
－2
b
)＝
a
2
－
a
·b
－2
b
2
，
1－2|
b
|
2
1－|
b
|cos
θ
－2|
b
|＝0，所以cos
θ
＝，因为－1≤cos
θ
≤1，所以－1≤
|
b
|
2
2222
1 －2|
b
|
2
≤1，
|
b
|
1
所以≤|
b
|≤1.
2
→
所以⑤正确．
10.因为
a
⊥
b< br>，所以
a·b
＝0，即
x
＋1＋
y
－2＝0，整理得
x
＋
y
＝1，所以
x
2
＋
y
2< br>＝
x
2
＋(1
1
?
111
?
－x
)
2
＝2
x
2
－2
x
＋1＝2?
x
－
?
2
＋≥，所以
x
2
＋
y
2
的最小值为.
2
?
222
?
11 ．因为(
a
＋
b
)⊥
a
，|
a
|＝1，所 以(
a
＋
b
)·
a
＝0，所以|
a
|2
＋
a
·
b
＝0，所以
a
·
b
＝－

4
→→→→→→→→→
9.易知①②③④均错误，⑤正确 ，因为
AC
＋
BD
＝
BC
＋
AD
，所以< br>AC
－
AD
＝
BC
－
BD
，即
DC
＝
DC
，

1.
又因为(2
a
＋
b
)⊥
b
，所以(2
a
＋
b
)·
b
＝0.所以2
a
·
b
＋|
b
|＝0.所以|b
|＝2.所以|
b
|＝2，
选B.
12.利用排除法可得选 项C是正确的，因为|
a
＋
b
|＝|
a
|－|
b< br>|，则
a
，
b
共线，即存在实
数
λ
，使得< br>a
＝
λb
.
选项A：|
a
＋
b
| ＝|
a
|－|
b
|时，
a
，
b
可为异向的 共线向量；选项B：若
a
⊥
b
，由正方形
得|
a
＋
b
|＝|
a
|－|
b
|不成立；选项D；若存在实数
λ
，使得
a
＝
λb
，
a
，
b
可 为同向的共线向
量，此时显然|
a
＋
b
|＝|
a
| －|
b
|不成立．
二、填空题 13.5 14.－1 15. 5 16.6
提示：
13．因为|
a
＋
b
|＝5 2，所以(
a
＋
b< br>)
2
＝50，即
a
2
＋
b
2
＋2< br>a
·
b
＝50，
又|
a
|＝5，
a
·
b
＝10，所以5＋|
b
|
2
＋2×10＝50. 解得|
b
|＝5.
14．由题意知
a
＋
b
＝(1，
m
－1)，
c
＝(－1,2)，由(
a
＋
b
)∥
c
，得1×2－(
m
－1)×(－1)
＝
m
＋1＝0，所以
m
＝－1.
15．|
b
|＝2
2
＋1
2
＝5，由
λa
＋
b
＝0，得b
＝－
λa
，故|
b
|＝|－
λa
|＝|λ
||
a
|，所以
|
λ
|＝
|
b|5
＝＝5.
|
a
|1
22
16．因为→
AB
·
→
AC
＝－1，所以|
→
AB
|·|
→
AC
|cos 120°＝－1，即|
→
AB
| ·|
→
AC
|＝2，所以|
→
BC
|
2
＝ |
→
AC
－
→
AB
|
2
＝
→AC
2
－2
→
AB
·
→
AC
＋
→
AB
2
≥2|
→
AB
|·|
→
AC< br>|－2
→
AB
·
→
AC
＝6，所以|
→BC
|
min
＝6.
三、解答题
→→→→→→rr
17.解：(1)2
AC
＋
CB
＝
0
，2 (
OC
－
OA
)＋(
OB
－
OC
)＝0
.
r
2
OC
－2
OA
＋
OB－
OC
＝
0
，所以
OC
＝2
OA
－< br>OB
.
→→→→→→→

→→→→→→→
11
(2 )如图，
DA
＝
DO
＋
OA
＝－
OB
＋< br>OA
＝(2
OA
－
OB
)，
22
→→1
故
DA
＝
OC
，故四边形
OCAD
为梯形．
2

18．(1)证明 ：
→
AB
＝
→
OB
－
→
OA
＝< br>a
＋2
b
，

5

→
AC
＝
→
OC
－
→
OA
＝－
a
－2< br>b
.
所以
→
AC
＝－
→
AB
，又 因为
A
为公共点，
所以
A
、
B
、
C
三点共线．
(2)解;
→
AC
＝
→
AB
＋
→
BC
＝(< br>a
＋
b
)＋(2
a
－3
b
)＝3
a
－2
b
，
因为
A
,
C
,
D三点共线，所以
→
AC
与
→
CD
共线．
从而 存在实数
λ
使
→
AC
＝
λ
→
CD
，即3
a
－2
b
＝
λ
(2
a
－
k b
)，
?
3＝2
λ
，
得
?
?
－ 2＝－
λk
，

344
解得
λ
＝，
k
＝，所以
k
＝.
233
19．解：(1)3
a
＋
b
－2
c< br>＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．
(2)因为
a
＝
mb
＋
nc
，
所以(3,2)＝
m
(－1,2)＋
n
(4,1)＝(－
m
＋4
n,
2
m
＋
n
)．
?
－
m
＋4
n
＝3，
所以
?
?
2
m
＋< br>n
＝2，
5
?
m
＝，
?
9
解得?
8
n
＝
?
?
9
.




(3)因为(
a
＋
kc
)∥(2
b< br>－
a
)，
a
＋
kc
＝(3＋4
k,
2＋
k
)，2
b
－
a
＝(－5,2)．
16所以2×(3＋4
k
)－(－5)×(2＋
k
)＝0，所以
k< br>＝－.
13
→
－2)，
→
→
→
→
因为
D
在直线
BC
上，即
BD
与
BC
共 线，
所以存在实数
λ
，使
BD
＝
λBC
，
即(
x
－3，
y
－2)＝
λ
(－6，－3)． < br>?
x
－3＝－6
λ
，
所以
?
?
y< br>－2＝－3
λ
，
即
x
－2
y
＋1＝0.①

6
→→
20．解：设
D
点坐标为(
x< br>，
y
)，则
AD
＝(
x
－2，
y
＋ 1)，
BC
＝(－6，－3)，
BD
＝(
x
－3，
y

所以
x
－3＝2(
y
－2)，

→→
又因为
AD
⊥
BC
，所以
AD
·
B C
＝0，
即(
x
－2，
y
＋1)·(－6，－3)＝0.
所以－6(
x
－2)－3(
y
＋1)＝0.②
?
x
＝1，
由①②可得
?
?
y
＝1.
→
所以
D
(1,1)．|
AD
|＝
21.解：(1)由题意知，
|
a
|＝2，|
b
|＝1，|
a
|cos
θ
＝－1，
所以
a·b
＝|
a
||
b
|cos
θ
＝－|
b
|＝－1，
所以cos
θ
＝
1－2
2


＋2
2
＝5，
a·b
1
＝－.
|
a
||
b
|2
2π
即为所求．
3由于
θ
∈[0，π]，所以
θ
＝
(2)(
a
－ 2
b
)·
b
＝
a·b
－2
b
2
＝ －1－2＝－3.

22.解：因为
a
＝(3，－1)，
b
＝
?
,
2
?
1
?
?
3
?
?
??
?
?
?
2
?
?
2
?2
?
13
?
?
，所以|
a
|＝
22
??
3
2
1
2
＝2，
|
b
|＝
13
＝1，所以
a
·
b
＝ 3×＋(－1)×＝0，故有
a
⊥
b
.
22
由
x
⊥
y
，得[
a
＋(
t
2
－3)
b
]·(－
ka
＋
tb
)＝0，
即－
ka
2
＋(
t
3
－3
t
)
b
2
＋(< br>t
－
kt
2
＋3
k
)
a
·
b
＝0.
所以－
k
|
a
|
2
＋(
t
3
－3
t
)|
b
|
2
＝0 .
将|
a
|＝2，|
b
|＝1代入上式，得－4
k
＋
t
3
－3
t
＝0.
所以
k
＝
t
3
－3
t
4
k
＋
t
2
1
2
17
2
，所以＝(
t
＋4
t
－3)＝(
t
＋2)－.
t
444
k
＋
t2
7
故当
t
＝－2时，有最小值－.
t
4


7