高中数学空间向量及其运算题库

§3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌
握数 乘向量运算的意义及运算律．

知识点一 空间向量的概念
1．在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间 向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，
→→
则 向量a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
2．几类特殊的空间向量
名称
零向量
单位向量
相反向量
相等向量
共线向量或
平行向量

知识点二 空间向量的加减运算及运算律
1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
定义及表示
起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0
模为1的向量称为单位向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同
一向量或相等向量 有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线互相
平行或重合，则这些向量叫做 共线向量或平行向量

→→→
OB＝OA＋AB＝a＋b，
→→→
CA＝OA－OC＝a－b.
2．空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a，
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
知识点三 数乘向量运算
1．实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量 a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记
作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时， λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．空间向量数乘运算满足以下运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)λ(a＋b)＝λa＋λb.

1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．( √ )
2．零向量没有方向．( × )
3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × )
4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( × )

题型一 空间向量的概念理解
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．空间向量不满足加法结合律
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
→→→→→→
C．若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，则AB＞CD
D．相等向量其方向必相同
考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 相等、相反向量
答案 D
解析 A中，空间向量满足加法结 合律；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确
定；C中，向量作为矢量不能比较大 小，故选D.
(2)给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
→→
②在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，必有AC＝A
1
C
1
；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 两个空间向量相等，它们 的起点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD－
→→
A
1
B1
C
1
D
1
中，必有AC＝A
1
C
1
成立，故②正确；③显然正确．故选B.
反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的 概念和平面中向量的相关概念完全一致，
两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量 互为相反向量的充要条件是
大小相等，方向相反．
→——→→
跟踪训练1 (1)在 平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，下列四对向量：①AB与C
1
D
1
；②AC
1
与
→→→→→
BD
1
；③AD
1
与C
1
B；④A< br>1
D与B
1
C.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )

A．1
C．3
答案 B
→→→→→→
解析 对于①A B与C
1
D
1
，③AD
1
与C
1
B长度相 等，方向相反，互为相反向量；对于②AC
1
与BD
1
→→
长度相等 ，方向不相反；对于④A
1
D与B
1
C长度相等，方向相同．故互为相反向量 的有2对．
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1 ，则分别以长方体
的顶点为起点和终点的向量中：
B．2
D．4

①单位向量共有多少个？
②试写出模为5的所有向量．
→
③试写出与向量AB相等的所有向量．
→
④试写出向量AA′的所有相反向量．
—→—→—→—→
解 ①由于长方 体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′，A′A，BB′，B′B，
—→—→—→—→< br>CC′，C′C，DD′，D′D，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位
向量共有8个．
—→—→—→
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量 有AD′，D′A，A′D，
—→—→—→—→—→
DA′，BC′，C′B，B′C，CB′ .
→—→→——→
③与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′，DC及D′C′.
—→—→—→—→—→
④向量AA′的相反向量有A′A，B′B，C′C，D′D.
题型二 空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简
结果的向量．

—→→
(1)AA′－CB；
—→→——→
(2)AA′＋AB＋B′C′.
—→→—→→—→→—→
解 (1)AA′－CB＝AA′－DA＝AA′＋AD＝AD′.
—→→——→—→→——→—→——→ —→
(2)AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′＝AB′＋B′C′＝AC′.
—→—→
向量AD′，AC′如图所示．

引申探究
—→——→——→—→
利用本例题图，化简AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A.
解 结合加法运算
—→——→—→—→——→—→—→—→
AA′＋A′B′＝AB ′，AB′＋B′C′＝AC′，AC′＋C′A＝0.
—→——→——→—→
故AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A＝0.
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加 法、减法运算的关键，灵活应
用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形 法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、
差向量的方向，必要时可采用空间向 量的自由平移获得更准确的结果．
→—→→—→
跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
→→→—→→—→—→→—→
∴AC＝AB＋AD， AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′，
→—→—→
∴AC＋AB′＋AD′
→→→—→→—→
＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′)
→→—→
＝2(AB＋AD＋AA′)．
—→—→→→
又∵AA′＝CC′，AD＝BC，
→→—→→→—→
∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′

→—→—→
＝AC＋CC′＝AC′.
→—→—→—→
∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′.
题型三 数乘向量运算
→→→
例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，设AA
1
＝a，AB＝b，AD＝c，M，N ，P
分别是AA
1
，BC，C
1
D
1
的中点，试用 a，b，c表示以下各向量：

→→→→
(1)AP；(2)A
1
N；(3)MP＋NC
1
.
→→→
解 (1)AP＝AD
1
＋D
1
P
1
→→→
＝(AA
1
＋AD)＋AB
2
1
＝a＋c＋b.
2
→→→
(2)A
1
N＝A
1
A＋AN
→→
1
→
＝－AA
1
＋AB＋AD
2
1
＝－a＋b＋c.
2
→→→→→→→
(3)MP＋N C
1
＝(MA
1
＋A
1
D
1
＋D
1
P)＋(NC＋CC
1
)
1
→→
1
→
1
→→
＝AA
1
＋AD＋AB＋AD＋AA
1

2 22
3
→
3
→
1
→
＝AA
1
＋A D＋AB
222
313
＝a＋b＋c.
222
引申探究
C
1
P1
若把本例中“P是C
1
D
1
的中点”改 为“P在线段C
1
D
1
上，且＝”，其他条件不变，如
PD
1
2
→
何表示AP？

2
→→→→→
2
→
解 AP＝AD
1
＋D
1
P＝AA
1
＋AD＋AB＝a＋c＋b.
33
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解 题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，
将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
跟踪训练3 如图，在空 间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在
→→→→
MN上，且MG＝ 2GN，如图所示，记OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用向量a，b，c表示向量OG.

1
→→→→
2
→
1
→
2
→→→
121< br>解 OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(MO＋OC＋CN)＝a＋[－a＋c＋(b－c)]
3232322
111
＝a＋b＋c.
633

对空间向量的有关概念理解不清致误
典例 下列说法中，错误的个数为( )
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
→→→→→→→→< br>②若向量AB，CD满足|AB|＝|CD|，AB与CD同向，则AB>CD；
→→→→→→
③若两个非零向量AB，CD满足AB＋CD＝0，则AB，CD互为相反向量；
→→
④AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量
答案 C
解析 ①错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．
②错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
→→→→→→
③正确，由AB＋CD＝0，得AB＝－CD，所以AB，CD互为相反向量．

→→→→→→
④错误，AB＝CD的充要条件是|AB|＝|CD|，且AB， CD同向．但A与C，B与D不一定重合．
故一共有3个错误命题，正确答案为C.
[素养评析] (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键．
(2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.

1．下列命题中，假命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．空间中任意两个单位向量必相等
答案 D
→
2．在平行六面体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
中，与向量AD相 等的向量共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
→→→→
解析 与AD相等的向量有A
1
D
1
，BC，B< br>1
C
1
，共3个．
3．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b
C．a与b方向相同
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反．故D正确．
→→
4．已知空间四边形 ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋
→
AD等于( )
3
→→→→
B．3MG C．3GM D．2MG
2
答案 B
→→→→→→→→→→→
解析 MG－AB＋AD＝MG－(AB－AD)＝MG－DB＝MG＋2MG＝3MG.
5．在正方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知下列各 式：
→→→→—→→→→→—→—→
①(AB＋BC)＋CC
1
；②(AA
1
＋A
1
D
1
)＋D
1
C
1；③(AB＋BB
1
)＋B
1
C
1
；④(AA
1
＋A
1
B
1
)＋B
1
C
1
.其 中
→
运算的结果为AC
1
的有________个．
B．a＋b为实数0
D．|a|＝3

答案 4
→→→→
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB＋BC)＋ CC
1
＝AC＋
→→
CC
1
＝AC
1
；
→—→→→—→→
②(AA
1
＋A
1
D
1
)＋D
1
C
1
＝AD
1
＋D
1
C
1
＝AC
1
；
→→—→→—→→
③(AB＋BB
1
)＋B
1
C
1
＝AB
1
＋B
1
C
1
＝AC
1
；
→—→—→→—→→
④(AA
1
＋A
1
B
1
)＋B
1
C
1
＝AB
1
＋B
1
C
1
＝AC
1
.
→
所以4个式子的运算结果都是AC
1
.

1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定 是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向
也相同．若两个向量模相等，方向相反， 则它们为相反向量．
2．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减 法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反
向量可使向量首尾相接．
( 2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、
差向量的 方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.




一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
→→
A．向量AB与BA的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量
答案 A
解析 对于选项B，其终点构成一个球面；对于选 项C，零向量不能用有向线段表示；对于
选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等，故选A .
→→→
2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则AB＋BC＋CD为( )
→→→
D．0
答案 A
→→→→→→
解析 AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.
→→→→
3．如图所示，点D是空间四边形OABC 的边BC的中点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则AD为( )

1
A.(a＋b)－c
2
1
C.(b＋c)－a
2
答案 C
→→→
解析 AD＝AO＋OD
→
1
→→
＝－OA＋(OB＋OC)
2
1
＝－a＋(b＋c)．
2
→→→
4．在正方体ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
中，向量表达式D D
1
－AB＋BC化简后的结果是( )
→→→→

1
B.D
1
B C.B
1
D
1

答案 A
→→→→→→→→→→→→
解析 如图所示，∵DD
1
＝AA
1，DD
1
－AB＝AA
1
－AB＝BA
1
，BA
1
＋BC＝BD
1
，∴DD
1
－AB＋
→→
BC ＝BD
1
.
1
B.(c＋a)－b
2
1
D．a＋(b＋c)
2

→→→5.在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设AA′＝a，AB＝b，AC＝c，M是BC ′
→
的中点，N是B′C′的中点，如图所示，用向量a，b，c表示向量MN等于( )

11
A.a＋b＋c
22
111
B.a＋b＋c
222
1
C．a＋b
2
1
D.a
2
答案 D
→
1
—→
1
—→
1
解析 MN＝BB′＝AA′＝a.
222
→→
6.如图，在四棱柱的上底面ABCD中， AB＝DC，则下列向量相等的是( )

→→
与CB
→→
与DB
答案 D
→→→→
解析 ∵AB＝DC，∴ |AB|＝|DC|，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形
→→
的性质 知，DO＝OB.
—→—→
7.如图，在平行六面体ABCD－A
1
B1
C
1
D
1
中，M为AC与BD的交点，若A
1
B
1
＝a，A
1
D
1
＝b，
→→
与OC
→→
与OB

→→
A
1
A＝c，则下列向量 中与B
1
M相等的向量是( )

11
A．－a＋b＋c
22
11
B.a＋b＋c
22
11
C.a－b＋c
22
11
D．－a－b＋c
22
答案 A
→→→
解析 B
1
M＝B
1
B＋BM
→
1
→→
＝A
1
A＋(BA＋BC)
2
111
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
222
→→→8．P为正六边形ABCDEF所在平面外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则PA＋PB＋PC< br>→→→
＋PD＋PE＋PF等于( )
→→→→
A．2PO B．4PO C．6PO D．12PO
答案 C
→→→→→→→
解析 由O是正六边形AB CDEF的中心，得OA＋OD＝0，OB＋OE＝0，OC＋OF＝0，∴PA
→→→→→→→→→→ →→→→→→→
＋PB＋PC＋PD＋PE＋PF＝PO＋OA＋PO＋OB＋PO＋OC＋PO＋OD ＋PO＋OE＋PO＋OF
→
＝6PO.
二、填空题
9．已知向量a，b ，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b
＋c |＝________.
考点 空间向量的加减运算
题点 空间向量的加减运算的应用
答案 2

→→
→→
10．在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，若CA＝a，CB＝b，CC
1
＝c ，则A
1
B＝________.
答案 －a＋b－c
解析 如图，

→→→
A
1
B＝A
1
A＋AB
→→→
＝C
1
C＋(CB－CA)
→→→
＝－CC
1
＋CB－CA
＝－c＋b－a.
11．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为________．
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 空间向量的定义与模
答案 ③
解析 对于①，长度相等且方向相反的两个向 量是相反向量，故①错误；对于②，若|a|＝|b|，
则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故 不正确；只有③正确．
三、解答题
12.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式．

→→
(1)AB＋BC；
→→—→
(2)AB＋AD＋AA′；

→→—→
(3)AB＋CB＋AA′；
—→—→→
(4)AC′＋D′B－DC.
→→→
解 (1)AB＋BC＝AC.
→→—→→—→
(2)AB＋AD＋AA′＝AC＋AA′
—→
＝AC′.
→→—→→→—→—→
(3)AB＋CB＋AA′＝AB＋DA＋BB′＝DB′.
—→—→→→→—→→→—→→→
(4)AC′＋D′B－DC＝(AB＋BC＋CC′)＋(DA＋D C＋C′C)－DC＝DC.
13.如图所示，在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，M是BB
1
的中点．化简下列各式，并在图中标出化
简得到的向量：

→→
(1)CB＋BA
1
；
→→
1
→
(2)AC＋CB＋AA
1
；
2
→→→
(3)AA
1
－AC－CB.
→→→
解 (1)CB＋BA
1
＝CA
1
.
(2)因为M是BB
1
的中点，
→
1
→
所以BM＝BB
1
.
2
→→
又AA
1
＝BB
1
，
→→
1
→→→→
所以AC＋CB＋AA
1
＝AB＋BM＝AM.
2< br>→→→→→→→→→
(3)AA
1
－AC－CB＝CA
1
－C B＝BA
1
.向量CA
1
，AM，BA
1
如图所示．

14．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有( )
→→—→—→
①OA＋OD与OB′＋OC′是一对相反向量；
→→—→—→
②OB－OC与OA′－OD′是一对相反向量；
→→→→—→—→— →—→
③OA＋OB＋OC＋OD与OA′＋OB′＋OC′＋OD′是一对相反向量；
—→→→—→
④OA′－OA与OC－OC′是一对相反相量．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量
答案 C
→—→→—→
解析 如图所示，①OA＝－OC′，OD＝－OB′，

→→—→—→
所以OA＋OD＝－(OB′＋OC′)，是一对相反向量；
→→→— →—→——→→——→
②OB－OC＝CB，OA′－OD′＝D′A′，而CB＝D′A′，故不是相 反向量；
③同①，也是正确的；
—→→—→→—→—→—→
④OA′－OA＝AA ′，OC－OC′＝C′C＝－AA′，是一对相反向量．
15.如图所示，在正六棱柱ABCDEF －A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
中．

—→→→→→—→
(1)化简A1
F
1
－EF－BA＋FF
1
＋CD＋F
1
A
1
，并在图中标出表示化简结果的向量；
→→→→→
(2)化简DE＋E< br>1
F
1
＋FD＋BB
1
＋A
1
E
1
，并在图中标出表示化简结果的向量．
考点 空间向量的加减运算
题点 空间向量的加减运算
—→→→→→—→→→→→→→→→→
解 (1)A
1
F
1
－EF－BA＋FF
1
＋CD＋F
1
A
1＝AF＋FE＋AB＋BB
1
＋CD＋DC＝AE＋AB
1
＋0＝AE< br>→→
＋ED
1
＝AD
1
.
→
AD
1
在图中表示如下：

→→→→—→→→→→→→ →→→
(2)DE＋E
1
F
1
＋FD＋BB
1
＋A
1
E
1
＝DE＋EF＋FD＋BB
1
＋B
1
D
1
＝DF＋FD＋BD
1
＝0＋BD
1
＝
→< br>BD
1
.
→
BD
1
在图中表示如下：