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高中数学全套讲义 选修2-1 向量2 中档 学生版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 21:10
tags:高中数学向量

高中数学教学ppt的-高中数学有趣段子故事

2020年9月20日发(作者:尹同愈)


目录
考点一:空间向量的数量积运算 ..................... .................................................. ..................................2
题型一:数量积计算 .................................................. .................................................. ..........3
题型二:数量积计算向量模长..................... .................................................. .....................3
题型三:数量积坐标运算计算向量夹角 ..... .................................................. ..................3
考点二:用坐标讨论共线和垂直 ........... .................................................. ............................................4
题型四:数量积判断向量的共线和垂直 ............................ .............................................5
题型五:空间向量的投影 .................................. .................................................. .................5
课后综合巩固练习 .................. .................................................. .................................................. ...............5


考点一:空间向量的数量积运算
b

OB?b
,两 个向量的夹角:已知两个非零向量
a,
在空间任取一点
O
,作
OA? a
,则
?AOB
b?
.通常规定
0≤?a,b?≤π
. 叫 做向量
a

b
的夹角,记作
?a,
b???b,a?
. 在这个规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且
?a,
b??90?
,则 称
a

b
互相垂直,记作
a?b
. 如果
?a,
两个向量的数量积:
已知空间两个向量
a

b
,定义它们的数量积(或内积)为:
a?b?abcos?a,b?

两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式:
|a|?a?a?a
1
2< br>?a
2
2
?a
3
2

|b|?b?b?b< br>1
2
?b
2
2
?b
3
2

cos?a,b??
a?b
|a||b|
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a? a
2
?a
3
2
1
22
b?b
2
? b
3
2
1
22

空间两点的距离公式

A(x
1
,y
1
,z
1
)

B(x2
,y
2
,z
2
)
,则

AB?O B?OA?(x
2
,y
2
,z
2
)?(x
1
,y
1
,z
1
)?(x
2
?x
1
,y< br>2
?y
1
,z
2
?z
1
)

|AB|?AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1< br>)
2

2
?
x+xy+yz+z
?
③ < br>AB
的中点坐标为
?
12

12

12?

22
?

?
2
空间两个向量的数量积具有如下性质:

ab?a?b?0
;⑵
a?a?a
;⑶
a?b≤ab

2
空间两个向量的数量积满足如下运算律:

(
?
a)?b?
?
(a?b)
;⑵
a?b?b?a
;⑶
(a?b)?c?a?c?b?c

a2
,a
3
)

b?(b
1
,b
2,b
3
)

若:
a?(a
1

a< br>2
?b
2
,a
3
?b
3
)

a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
, a
3
?b
3
)

则:
a?b?(a
1< br>?b
1

?
a?(
?
a
1

?
a
2

?
a
3
)

a?b? a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3b
3


题型一:数量积计算
13
1.(20 17秋?未央区校级期中)已知空间向量
a?(1
,0,
0)

b? (,,0)
,若空间向量
c
22
5
|c?(xa?yb)||c?( x
0
a?y
0
b)|?1(x
0
,满足
ca?2< br>,且对任意
x

y?R

y
0
?R)

cb?

2

|c|?

2.(201 7?闵行区校级模拟)已知点
P
是棱长为1的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
A
1
B1
C
1
D
1
上一点(包括边界),则
PAPC
的取值范围是 .
题型二:数量积计算向量模长
1.(2017秋?昌江区校级期末)在 各棱长都等于1的正四面体
O?ABC
中,若点
P
满足
OP?xOA ?yOB?zOC(x?y?z?1)
,则
|OP|
的最小值为 .
13
2.(2017秋?未央区校级期中)已知空间向量
a?(1
,0,
0)
b?(,,0)
,若空间向量
c
22
5
|c?(xa ?yb)||c?(x
0
a?y
0
b)|?1(x
0
,满足
ca?2
,且对任意
x

y?R

y
0< br>?R)

cb?

2

|c|?

题型三:数量积坐标运算计算向量夹角
1.(2019?宝山区二模)设向量
u?( a,b,0),v?(c,d,1)
,其中
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?1
,则下列判断
错误的是
(

)

A.向量
v

z
轴正方向的夹角为定值(与< br>c

d
之值无关)
B.
uv
的最大值为
2

C.
u
v
的夹角的最大值为
D.
ad?bc
的最大值为1.
2.(2 018春?荆州校级期中)已知
a?(1
,1,
1)
,b?(0,
y

1)(0y1)
,则
cos?a

b?
最大值为
(

)

A.
3

3
3
?

4
B.
2

3
C.
3

2
D.
6

3


考点二:用坐标讨论共线和垂直
空间向量的平行和垂直的条件:
b
1
,c
1
)

b?(b
1
,b
2
,b
3
)


a?(a
1

?
a
1
?
?
b
1
?
a∥b

b?0

?a?
?
b
?
?
a
2
?
?
b
2

?
a?
?
b3
?
3
?
a?b?a?b?0?a
1
b
1?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

???
方向向量:已知向量
a
,在空间固定一个基点
O
,再 作向量
OA?a
,则点
A
在空间的位置就
被向量
a
所唯一确定了.这时,我们称这个向量
a
为OA方向向量.
设直线
l
1

l
2
的方向向量分别为
v< br>1

v
2

l
1
∥l
2
(或
l
1

l
2
重合)
?v
1
∥ v
2

l
1
?l
2
?v
1
?v< br>2

若向量
v
1

v
2
是两个不共 线的向量,且都平行于平面
?
(即向量的基线与平面平行或在平面
内),
直线
l
的一个方向向量为
v
,则
l∥
?

l

?

?
存在唯一两个实数
x,
使
v? xv
1
?yv
2

y

线线角:两条直线
l
1
,l
2
所称角设为
?
,则
?
??
0,
??
?
?
?
?

2
??
??
??
设直线
l
1

l
2
的方向向量分别为
v
1

v
2
,则
?
?v
1
,v
2

?
?
v
1
,
v
2
即:
l
1
,l
2
所称线线角
?
与方向向量角相等或互补
故有如下结论:
cos
?
?
|cos< br>v
1
,
v
2
|

??
?
?

向量
v
1

v
2
方向上的投影为:
v
1
cos
?
=
v
1
v
2
v
2
,同理向量
v
2

v
1
方向上的投影为
v
2
cos
?
=

v
1
v
2
v
1


题型四:数量积判断向量的共线和垂直
1.(2017秋?榆阳区校级期中 )已知点
A(?2
,0,
2)

B(?1
,1,
2 )

C(?3
,0,
4)

a?AB

b ?AC

(1)若
|c|?3
,且
cBC
,求
c

(2)求
cos?a

b?

(3)若
ka?b

ka?2b
垂直,求
k

题型五:空间向量的投影
1.(2018?秦州区校级四模)已知平面向量
a?(2 m?1,2)

b?(?2,3m?2)
,且
|a?b|?|a?b|
.则
5a?3b
在向量
a
上的投影等于 .
|b|?5
,2.(2017秋?凯里市校级期末)已知
|a|?3
,则
a

b
方向上的投影为 .
ab?12

课后综合巩固练习
1.( 2017春?温江区校级月考)已知
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体,下列说法中正确的有
①.
(A
1< br>A?A
1
D
1
?A
1
B
1
)
2
?3(A
1
B
1
)
2

②.
A
1
C(A
1
B
1
?A
1
A)?0

③.向量
AD
1
与向量
A
1
B
的夹角 是
60?

④.正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的体积为
|ABAA
1
AD|

2.(2018秋?宁县期末)若
a?(2

?3
,0,
3 )

c?(0
,2,
2)

a(b?c)?

1)

b?(2

3.(2017秋?黄浦区校级月考)正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长 为1,
P
是正方体(包括表
面)中的动点,且满足

11
,则点
P
所形成的几何体的体积等于 .
ABA
1
P
32
4.(2018秋?南阳期末)已知空间三点
A(0
,2,< br>3)

B(2
,5,
2)

C(?2
,3,
6)
,则以
AB

AC
为邻边的平行四边形的面积为 .
5.(2015秋?雁峰区校级期末)在坐标面
yOz
内,求与三个已知点
A (3
,1,
2)

B(4

?2


?2)

C(0
,5,
1)
等距离的点
D
的坐标.

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