高中数学向量法解立体几何总结

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向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：若A、B是直线
l
上的任意两点，则
AB
为直线
l
的一个方向向量；
与
AB
平行的任意非零向量也是直线
l
的方向向量.
⑵．平面的法向量：若向量< br>n
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量垂直于平面
?
，记作
n?
?
，如果
n?
?
，那么向量
n
叫做平 面
?
的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面
?
的法向量为
n?(x,y,z)
．
③求出平面 内两个不共线向量的坐标
a?(a
1
,a
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3
)
．
?
?
n?a?0
④根据法向量定义建立方程组
?
.
?
?
n?b?0
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面
?
的法向量 .
2、用向量方法判定空间中的平行关系
b
，则要证明
l
1< br>∥
l
2
，只需证明
a
∥
b
，即⑴线线平行。 设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、
a?kb (k?R)
.⑵线面平行。设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
的法向量是
u
，则要证明
l
∥
?
，只需证明a?u
，即
a?u?0
.
⑶面面平行。若平面
?
的法 向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要证
?
∥
?
，只需证
u
∥
v
，
即证
u?
?
v
.
b
，
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂 直。设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、
则要 证明
l
1
?l
2
，只需证明
a?b
，即
a ?b?0
.⑵线面垂直
①（法一）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
的法向量是
u
，则要证明
l?
?
，只需 证明
a
∥
u
，即
a?
?
u
.
n
，若②（法二）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
内的两个相交向量分别为
m、

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?
?
a?m?0
,则l?
?
.

?
?
?
a?n?0
⑶面面垂直。若平面
?
的法向量为u
，平面
?
的法向量为
v
，要证
?
?
?
，只需证
u?v
，
即证
u?v?0
.
4、利用向量求空间角

⑴
求异面直线所成的角
已知
a, b
为两异面直线，A，C与B，D分别是
a,b
上的任意两点，
a,b
所成的角为
?
，
则
cos
?
?
AC?BD
ACBD
.

⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线
l
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
u
，直线与平面所成的 角为
?
，
a
与
u
的夹角为
?
， 则
?
为
?
的余角或
?
的补角的余角.即有：
sin
?
?cos
?
?
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角
?
?l?
?
的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射
线
AO?l ,BO?l
，则
?AOB
为二面角
?
?l?
?
的平 面角.
如图：




A
a?u
au
.

B
O
l
B
O
A
n
，再设
m、n
的夹角为
?
，求 法：设二面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量分别为
m、
n
的夹角
?
或其补角
?
?
?
.
二面角< br>?
?l?
?
的平面角为
?
，则二面角
?
为< br>m、
根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角：
如果
?
是锐角，则
cos
?
?cos
?
?
m?n
mn，即
?
?arccos
m?n
mn
；
?
m?n
?
?
. 如果
?
是钝角，则
co s
?
??cos
?
??
，即
?
?arccos?
?
?
mn
?
mn
??
m?n
5、利 用法向量求空间距离
⑴
点Q到直线
l
距离
若Q为直线
l
外的一点,
P
在直线
l
上，
a
为直线
l
的方向向量，
b
=
PQ
，则点Q到直线
l

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距离为
h?
⑵点A到平面
?
的距离
1
(|a||b|)
2
?(a?b)
2

|a|< br>若点P为平面
?
外一点，点M为平面
?
内任一点，平面
?的法向量为
n
，则P到平面
?
的距离就等于
MP
在法向 量
n
方向上的投影的绝对值.
即
d?MPcosn,MP
?MP ?
n?MP
nMP
?
n?MP
n

⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
当一条直线和一个平面平行 时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的
距离可转化为求直线上任一点到平面的距 离，即转化为点面距离。即
d?
⑷两平行平面
?
,
?
之间的 距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
n? MP
n
.

d?
n?MP
n
.

⑸异面直线间的距离
设向量
n
与两异面直线
a,b
都垂直 ，
M?a,P?b,
则两异面直线
a,b
间的距离
d
就是< br>MP
在向量
n
方向上投影的绝对值。即
d?


n?MP
n
.