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高中数学之平面向量基础知识过关及题型总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 21:12
tags:高中数学向量

初中高中数学有什么不同-高中数学研究关于生活

2020年9月20日发(作者:宣桂芬)



平面向量(讲义)
知识点睛
一、向量的基本概念

1. 定义:既有__________,又有__________的量叫做向量.
表示:a、
AB

模:向量
AB
的________叫做向量的模,记作__________.

2. 几个特殊的向量:
零向量、单位向量、平行(共线)向量、相等向量、相反向量

二、平面向量的线性运算
加法 减法 数乘
???
B
(终点)
???
A
(起点)
a
b
向量a加上向量b实数与向量的积< br>定义 求两个向量和的运算 的________,即
a+(-b)=a-b
是一个向量,记
作λa

c
d
C
a+b
法则
(几何
意义)
ba
B
b
B
O
a
a-b
A

__________法则
A
?
a=
?
a

当λ>0时,λa与

a的方向_____;
当λ<0时,λa与
a的方向_____;
当λ=0时,λa=0

λ(μa)=_______
(λ+μ)a=_______
λ(a+b)=_______
(-λ)a=_______
λ(a-b)=_______
B
C
e
f

A
O

__________法则
交换律:
a+b=______
结合律:
(a+b)+c=______
a
b
a+b
a
b
运算

a-b=a+(-b)
a+b
a
b


三、向量相关定理
λ(μ
1
a±μ
2
b)=λμ
1
a±λμ
2
b
共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使
1



__________.
扩充:对空间三点P,A,B,可通过证明下列任意一个结论成
立来证明三点共线.

PA?
?
PB

??????
a
l< br>A
B
P
②对平面任一点O,
OP?OA?tAB

③对平面任一点O,
OP?xOA?yOB
?
x?y?1
?


平面向量基本定理:
(1)基底:平面内__________的向量e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底.
(2)定理: 如果e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一
平 面内的任意向量a,有且只有一对实数λ
1
,λ
2
,使a=________ _________.


四、向量的数量积
1. 向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,作
OA?a

OB?b

则_________就是向量a与b的夹角.
(2)图示:
??????
?????????
?????????
O
B
b
O
θa
A

(3)范围:__________.
(4)共线与垂直:
若θ=0°,则a与b________;
若θ=180°,则a与b________;
若θ=90°,则a与b________,记作__________.

2. 数量积
(1)定义:设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量_____________叫做a< br>与b的数量积,记作a
?
b.
几何意义:a的长度
a
与b在a的方向上的投影_________的乘积.

2



(2)性质:设a,b都是非零向量,则a⊥b
?
__________.
当a与b同向时,a
?
b=
a
?
b
;当a与b反向时,a< br>?
b=
-
a
?
b

a
?
a=__________或
a
=__________.
cos θ=_____________.
a
?
b

______________.

(3)运算律
交换律:a
?
b=b
?
a;
数乘结合律:(λa)
?
b=__________=__________;
分配律:a
?
(b+c)=__________.


五、向量的坐标表示及运算
1. 坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i,j作
为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有 且只有一
对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确
定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=__________.
2. 坐标运算
设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),
a+b=____________,a-b=____________,λa=_ ____________,
a?b=_____________,
a
=____________,
cos θ=_____________.
(1)坐标求法
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
AB< br>=___________________.
(2)向量位置关系与坐标
a∥b< br>?
__________
?
__________________.
a⊥b
?
__________
?
__________________ .


???
精讲精练
1.根据图示填空:
(1)a+b=__________,
(2)c-a=__________,
(3)a+b+d=__________,
(4)f-a-b=__________,
(5)c+d+e=__________,
(6)g-c-d=__________.

3

e
E
g
A
f
a
D
d
c
b
B
C





???
???
???
2.如图,在正六边形ABCDE F中,
BA
+
CD
+
EF
=( )
D
C
E
B
F
A

A.0 B.
BE
???

C.
AD
???

D.
CF
???








3.已知正方形ABCD的边长为1,
AB
???
=a ,
BC
???
=b,
AC
???
=c,
则a?b?c=( )
A.
0
B.
3
C.
2
D.
22





4.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=
1
2
AB,
BE=
2
?????????
3
BC.若
DE =
?
1
AB?
?
2
AC
(
?
1

?
2
为实数),则
?
1
?
?
2

值是__________.



5.在△ABC中,M为边BC上的任意一点,N为AM的中点,
AN
???

AB
???

AC
???
,则λ+μ的值为( )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.1



4
< br>D
C
A
B
A
BC
A
BC




6.若a=6

b=4

a与b的夹角 为60°,则(a+2b)
?
(a-3b)=_______.





7.若e
1
,e
2
是夹角为60° 的两个单位向量,则a=2e
1
+e
2

b=-3e
1
+2e
2
的夹角为( )
π
A.

6





B.
π

3
C.


3
D.

6

π
,若a=e
1
+3e
2

3
b=2e
1
,则向量a在b方向上的射影为___________.




9.已知e
1
,e
2
是夹角为
的两个单位向量,a=e
1
-2e
2
,b=ke
1
+e
2
,若a?b=0,则
3
实数k的值为___________ .




10.已知向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为( )
2π5π
ππ
A.
B. C. D.
36

63



11.已知单位向量e1
,e
2
的夹角为60°,则|2e
1
-e
2
|=_________.



8.设e
1
,e
2
为单位向量,且e
1
,e
2
的夹角为
5



12.如图,已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则
AE
???
?
BD
???
=___________.
A
B
D
E
C


13.在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足
AP
? ??

AB
???

AQ
???
?(1-
?
)AC
???
,λ∈R.若
BQ
???
g CP
???
?-2

则λ=( )
A.
1
3
B.
24
3
C.
3
D.2



14.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是
(-2,1),(-1,3),(3,4),则顶点D的坐标是__________.







15.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是( )
A.a?b=1 B.|a|=|b|
C.(a?b)⊥b D.a∥b






16.设x,y∈R,向量a=(x ,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,
b∥c,则|a+b|=( )
A.
5
B.
10
C.
25
D.
10


6


C
A
B
y
Ox








17.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a?b的夹角等于( )A.
-







18. 已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量
AB
CD
方向上的投影为( )
A.
32

2
???
π

4
B.
π

6
C.
π

4
D.


4
y
???
B.
315

2
C.
-
32

2
D.
-
315
2

Ox






19.求证:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的
两倍.
A
F
G
E
B





7

D
C
























回顾与思考
____________________________________ ____________________
_________________________ _______________________________
______________ __________________________________________

【参考答案】
知识点睛
一、1.大小
长度


方向
|AB|

???
二、加法:三角形
减法:相反向量
数乘:相同
(λμ)a
三、b=λa
平行四边形

b+a a+(b+c)
相反
λa +μa λa+λb -(λa) λa-λb
不共线 λ
1
e
1

2
e
2

垂直 a⊥b
四、1.(1)∠AOB;(3)
0?

?

180?


(4)同向 反向
2.(1)|a||b|cos θ |b|cos θ
8



a?b
(2)a?b=0 |a|
2

a?a

a?b
|a||b|
(3)λ(a?b) a?(λb) a?b+ a?c
五、1.(x,y)
2.(x
1
+x
2
,y
1
+y
2
) (x
1
-
x
2
,y
1
-
y
2
) (λx
1
,λy
1
)
x
1
x
2
+y
1
y
2

x22
x
1
x
2
?y
1
y
2
1
?y
1

x
2
?y
2
x
22< br>11
?
2
?y
2

(1)(x
2
-
x
1
,y
2
-
y
1
)
(2)a=λb x
1
y
2
-
x
2
y
1
=0
a?b=0 x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
精讲精练
1.(1)c (2)b (3)f
(4)d (5)g (6)e
2.D 3.D 4.
1
2
5.A 6.-72
7.C 8.
5
2
9.
5
4
10.B 11.
3

12.2 13.B 14.(2,2) 15.C
16.B 17.C 18.A 19.略



平面向量(随堂测试)
1. 在△ABC中,
AC
???
?b
AB
???
?c
,若点D满足
BD
???
=2DC
???


AD
???
=( )
A.
2
3
b-
1
3
c
B.
5
3
c-
2
3
b

C.
2
3
b?
1
3
c
D.
1
3
b?
2
3
c





2. 若a与b的夹角为60°,
a
=
b=1
,则a?(a-b)=_______.


9

A
BC







3. 在边长为1的正三角形ABC中,
BC
=2
BD

C A
=3
CE


AD
?
BE
=___________.






4. 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为( ) B
C
??????
???
???
??????
A
1
A.
-

7




B.
1

7
C.
-
1

6

1
D.
6
【参考答案】

1.C 2.


1
1
3.
-
4.A
2
4
平面向量(作业)
例1: 在△ABC中,已知D是边AB上的任意一点,

AD =2DB

CD< br>=
A.
??????
????
1
??
CA
+ λ
CB
,则λ的值为( )
3
11
2
B. C.
-
D.
-
33
3

???
A
2

3


【思路分析】
如图,先在AB上找到其三等分点D,
CD
=
CA
+
AD
=
CA
+
????
2
??
=
CA
-(CA-CB)

3
BC
??????
???
?????
???
2
??
2
??
AB
=
CA
-BA

3
3
???
A
10

D
BC



?
?
1
??
2< br>??
CA
+
CB

3
3
=
??? ?
1
??

CD
=
CA

CB

3
2

λ=,故选A.
3



???
例2: 已知
a=3

b=4
,且a与b不共线,若向量a+kb与a- kb互相垂直,则
k=___________.

【思路分析】
∵向量a+kb与a-kb互相垂直,
∴(a+kb)?(a-kb)=a
2
-k
2
b
2
=0,

a
- k
2
b
=0,
22
3
得3
2
-4
2
?k
2
=0,解得
k??

4





例3: 已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足 < br>??????
??????
??????
3
AP

AB

AQ?(1-
?
)AC
,λ∈R.若
BQ g CP?-

2
则λ=( )
1
1?10
1?2-3?2
B.C.D.
2

2

2
2


【思路分析】
A.
BQ ?-AB +AQ =-AB +(1-
?
)AC

???????????????
A
B
C
CP?AP- AC?
?
AB-AC

???????????????
A
P
B
11

Q
C



BQ
g
CP
???
??????
?[-AB +(1-
?
)AC]
g
(
?
AB- AC)
?-
?
AB
g
AB+(
?
-1)AC
g
AC?[1?
?
(1-
?
)]AB
g
AC
????????????
??????????????????
?????? ???

?-
?
|AB|
2
+(
?
-1) |AC|
2
?[1?
?
(1-
?
)]|AB||AC|co s?BAC
?-4
?
+4(
?
-1)?[1?
?
( 1-
?
)]?2?2?
1
2
?-2
?
2
? 2
?
-2 ,

-2
?
2
?2
?-2?-
3
2

化简得
(
?
-
1< br>2
)
2
?0
,解得
?
?
1
2

故选A.








12



20.根据图示填空:
(1)(a+b)+c=__________; (2)a+(b+c)=__________;
(3)f-a-b=__________; (4)d-a+c=__________.


D
A

c

f
F
e
D

d
A
C

C

B
E
a
b

B

第1题图 第2题图
21.如图,点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )
A.
BD
-
CF+DF
?0

?????????
??????????????????


B.
AD +BE+CF?0

D.
BD-BE-FC?0

?????????
C.
AD +CE
-
CF
?0




22.如图,D是△ABC的边AB上的中点,则向量
CD
=( )
?
1
??
A.-
BC
?
BA

2
???
???

D
A
B.-
BC< br>-
???
???
?
1
??
BA

2
?
1
??
C.
BC
-
BA

2
?
1
??
D.
BC
?
BA

2
???

BC



23.已知 点A(2,-5),
AB
=(4,1),
BC
=(3,-2),则点C的坐标 为__________.

???
???
13



24.等边三角形ABC的边长为1,
BC
=a,
CA
=b,
AB
=c,
则a?b+b?c+c?a=___________.






25.若
a=1

b=6
,a?(b-a)= 2,则向量a与向量b的夹角为( )
A
??????
???
B
C
π
A.

6






B.
π

4

π
C.
3
D.
π
2

26.已知
a
=
b=2
,a与 b的夹角为60°,则a+b在a上的射影为___________.






27.已知单位向量a,b,它们的夹角为60°,则|a+3b|=_________.






28.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,

AB
?
AC
=______.



29.如图,在矩形ABCD中,AB=
2
,BC=2,点E为BC的中点,
点F在边CD上,若
AB
?
AF
=
2
,则
AE?
BF
的值为
14

????????????
A< br>???
???
B
M
C
D
F
C
EAB



___________.







30.在△ABC中,∠C=90°,
AB
=(1,k),
AC
=(2,1),则k的值为______.






A


31.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,
则|a|=( )
A.
1








32.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=
5
,若( a+b)?c=
则a与c的夹角等于( )
A.
B.
2
C.2 D.4
???
???
B
C
5

2
π

6
B.
π

3
C.


3
D.


6


33.已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|=a?b,则y=( )
A.-3





B.-1 C.1 D.3
15





34.设a,b是两个非零向量,下列命题正确的是( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
















【参考答案】
1.(1)
f
(2)
f
2.B 3.A
7.3 8.
13

11.3 12.C
15.C




(3)
c
(4)
e

4.(9,-6) 5.
-
3
2

9.-16 10.
2

13.C 14.D
16
6.C

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