初中高中数学有什么不同-高中数学研究关于生活
平面向量(讲义)
知识点睛
一、向量的基本概念
1. 定义:既有__________,又有__________的量叫做向量.
表示:a、
AB
模:向量
AB
的________叫做向量的模,记作__________.
2. 几个特殊的向量:
零向量、单位向量、平行(共线)向量、相等向量、相反向量
二、平面向量的线性运算
加法 减法 数乘
???
B
(终点)
???
A
(起点)
a
b
向量a加上向量b实数与向量的积<
br>定义 求两个向量和的运算 的________,即
a+(-b)=a-b
是一个向量,记
作λa
c
d
C
a+b
法则
(几何
意义)
ba
B
b
B
O
a
a-b
A
__________法则
A
?
a=
?
a
当λ>0时,λa与
a的方向_____;
当λ<0时,λa与
a的方向_____;
当λ=0时,λa=0
λ(μa)=_______
(λ+μ)a=_______
λ(a+b)=_______
(-λ)a=_______
λ(a-b)=_______
B
C
e
f
A
O
__________法则
交换律:
a+b=______
结合律:
(a+b)+c=______
a
b
a+b
a
b
运算
律
a-b=a+(-b)
a+b
a
b
三、向量相关定理
λ(μ
1
a±μ
2
b)=λμ
1
a±λμ
2
b
共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使
1
__________.
扩充:对空间三点P,A,B,可通过证明下列任意一个结论成
立来证明三点共线.
①
PA?
?
PB
;
??????
a
l<
br>A
B
P
②对平面任一点O,
OP?OA?tAB
;
③对平面任一点O,
OP?xOA?yOB
?
x?y?1
?
.
平面向量基本定理:
(1)基底:平面内__________的向量e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底.
(2)定理:
如果e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一
平
面内的任意向量a,有且只有一对实数λ
1
,λ
2
,使a=________
_________.
四、向量的数量积
1. 向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,作
OA?a
,
OB?b
,
则_________就是向量a与b的夹角.
(2)图示:
??????
?????????
?????????
O
B
b
O
θa
A
(3)范围:__________.
(4)共线与垂直:
若θ=0°,则a与b________;
若θ=180°,则a与b________;
若θ=90°,则a与b________,记作__________.
2.
数量积
(1)定义:设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量_____________叫做a<
br>与b的数量积,记作a
?
b.
几何意义:a的长度
a
与b在a的方向上的投影_________的乘积.
2
(2)性质:设a,b都是非零向量,则a⊥b
?
__________.
当a与b同向时,a
?
b=
a
?
b
;当a与b反向时,a<
br>?
b=
-
a
?
b
.
a
?
a=__________或
a
=__________.
cos θ=_____________.
a
?
b
≤
______________.
(3)运算律
交换律:a
?
b=b
?
a;
数乘结合律:(λa)
?
b=__________=__________;
分配律:a
?
(b+c)=__________.
五、向量的坐标表示及运算
1. 坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i,j作
为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有
且只有一
对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确
定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=__________.
2. 坐标运算
设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),
a+b=____________,a-b=____________,λa=_
____________,
a?b=_____________,
a
=____________,
cos θ=_____________.
(1)坐标求法
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
AB<
br>=___________________.
(2)向量位置关系与坐标
a∥b<
br>?
__________
?
__________________.
a⊥b
?
__________
?
__________________
.
???
精讲精练
1.根据图示填空:
(1)a+b=__________,
(2)c-a=__________,
(3)a+b+d=__________,
(4)f-a-b=__________,
(5)c+d+e=__________,
(6)g-c-d=__________.
3
e
E
g
A
f
a
D
d
c
b
B
C
???
???
???
2.如图,在正六边形ABCDE
F中,
BA
+
CD
+
EF
=( )
D
C
E
B
F
A
A.0
B.
BE
???
C.
AD
???
D.
CF
???
3.已知正方形ABCD的边长为1,
AB
???
=a
,
BC
???
=b,
AC
???
=c,
则a?b?c=( )
A.
0
B.
3
C.
2
D.
22
4.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=
1
2
AB,
BE=
2
?????????
3
BC.若
DE =
?
1
AB?
?
2
AC
(
?
1
,
?
2
为实数),则
?
1
?
?
2
的
值是__________.
5.在△ABC中,M为边BC上的任意一点,N为AM的中点,
AN
???
=λ
AB
???
+μ
AC
???
,则λ+μ的值为(
)
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.1
4
<
br>D
C
A
B
A
BC
A
BC
6.若a=6
,
b=4
,
a与b的夹角
为60°,则(a+2b)
?
(a-3b)=_______.
7.若e
1
,e
2
是夹角为60°
的两个单位向量,则a=2e
1
+e
2
,
b=-3e
1
+2e
2
的夹角为( )
π
A.
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
π
,若a=e
1
+3e
2
,
3
b=2e
1
,则向量a在b方向上的射影为___________.
2π
9.已知e
1
,e
2
是夹角为
的两个单位向量,a=e
1
-2e
2
,b=ke
1
+e
2
,若a?b=0,则
3
实数k的值为___________
.
10.已知向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为(
)
2π5π
ππ
A.
B. C.
D.
36
63
11.已知单位向量e1
,e
2
的夹角为60°,则|2e
1
-e
2
|=_________.
8.设e
1
,e
2
为单位向量,且e
1
,e
2
的夹角为
5
12.如图,已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则
AE
???
?
BD
???
=___________.
A
B
D
E
C
13.在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足
AP
?
??
=λ
AB
???
,
AQ
???
?(1-
?
)AC
???
,λ∈R.若
BQ
???
g
CP
???
?-2
,
则λ=( )
A.
1
3
B.
24
3
C.
3
D.2
14.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是
(-2,1),(-1,3),(3,4),则顶点D的坐标是__________.
15.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是( )
A.a?b=1 B.|a|=|b|
C.(a?b)⊥b D.a∥b
16.设x,y∈R,向量a=(x
,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,
b∥c,则|a+b|=( )
A.
5
B.
10
C.
25
D.
10
6
C
A
B
y
Ox
17.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a?b的夹角等于(
)A.
-
18.
已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量
AB
在CD
方向上的投影为( )
A.
32
2
???
π
4
B.
π
6
C.
π
4
D.
3π
4
y
???
B.
315
2
C.
-
32
2
D.
-
315
2
Ox
19.求证:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的
两倍.
A
F
G
E
B
7
D
C
回顾与思考
____________________________________
____________________
_________________________
_______________________________
______________
__________________________________________
【参考答案】
知识点睛
一、1.大小
长度
方向
|AB|
???
二、加法:三角形
减法:相反向量
数乘:相同
(λμ)a
三、b=λa
平行四边形
b+a a+(b+c)
相反
λa +μa λa+λb -(λa) λa-λb
不共线
λ
1
e
1
+λ
2
e
2
垂直
a⊥b
四、1.(1)∠AOB;(3)
0?
≤
?
≤
180?
(4)同向 反向
2.(1)|a||b|cos θ |b|cos θ
8
a?b
(2)a?b=0 |a|
2
a?a
a?b
|a||b|
(3)λ(a?b) a?(λb) a?b+ a?c
五、1.(x,y)
2.(x
1
+x
2
,y
1
+y
2
) (x
1
-
x
2
,y
1
-
y
2
) (λx
1
,λy
1
)
x
1
x
2
+y
1
y
2
x22
x
1
x
2
?y
1
y
2
1
?y
1
x
2
?y
2
x
22<
br>11
?
2
?y
2
(1)(x
2
-
x
1
,y
2
-
y
1
)
(2)a=λb
x
1
y
2
-
x
2
y
1
=0
a?b=0
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
精讲精练
1.(1)c (2)b (3)f
(4)d (5)g
(6)e
2.D 3.D 4.
1
2
5.A
6.-72
7.C 8.
5
2
9.
5
4
10.B 11.
3
12.2 13.B 14.(2,2)
15.C
16.B 17.C 18.A 19.略
平面向量(随堂测试)
1. 在△ABC中,
AC
???
?b,
AB
???
?c
,若点D满足
BD
???
=2DC
???
,
则
AD
???
=( )
A.
2
3
b-
1
3
c
B.
5
3
c-
2
3
b
C.
2
3
b?
1
3
c
D.
1
3
b?
2
3
c
2. 若a与b的夹角为60°,
a
=
b=1
,则a?(a-b)=_______.
9
A
BC
3. 在边长为1的正三角形ABC中,
BC
=2
BD
,
C
A
=3
CE
,
则
AD
?
BE
=___________.
4.
已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为( ) B
C
??????
???
???
??????
A
1
A.
-
7
B.
1
7
C.
-
1
6
1
D.
6
【参考答案】
1.C 2.
1
1
3.
-
4.A
2
4
平面向量(作业)
例1:
在△ABC中,已知D是边AB上的任意一点,
若
AD =2DB
,
CD<
br>=
A.
??????
????
1
??
CA
+
λ
CB
,则λ的值为( )
3
11
2
B.
C.
-
D.
-
33
3
???
A
2
3
【思路分析】
如图,先在AB上找到其三等分点D,
CD
=
CA
+
AD
=
CA
+
????
2
??
=
CA
-(CA-CB)
3
BC
??????
???
?????
???
2
??
2
??
AB
=
CA
-BA
3
3
???
A
10
D
BC
?
?
1
??
2<
br>??
CA
+
CB
,
3
3
=
???
?
1
??
∵
CD
=
CA
+λ
CB
,
3
2
∴
λ=,故选A.
3
???
例2:
已知
a=3
,
b=4
,且a与b不共线,若向量a+kb与a-
kb互相垂直,则
k=___________.
【思路分析】
∵向量a+kb与a-kb互相垂直,
∴(a+kb)?(a-kb)=a
2
-k
2
b
2
=0,
即
a
-
k
2
b
=0,
22
3
得3
2
-4
2
?k
2
=0,解得
k??
.
4
例3: 已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足 <
br>??????
??????
??????
3
AP
=λ
AB
,
AQ?(1-
?
)AC
,λ∈R.若
BQ g
CP?-
,
2
则λ=( )
1
1?10
1?2-3?2
B.C.D.
2
2
2
2
【思路分析】
A.
BQ ?-AB +AQ =-AB +(1-
?
)AC
,
???????????????
A
B
C
CP?AP-
AC?
?
AB-AC
,
???????????????
A
P
B
11
Q
C
BQ
g
CP
???
??????
?[-AB
+(1-
?
)AC]
g
(
?
AB-
AC)
?-
?
AB
g
AB+(
?
-1)AC
g
AC?[1?
?
(1-
?
)]AB
g
AC
????????????
??????????????????
??????
???
?-
?
|AB|
2
+(
?
-1)
|AC|
2
?[1?
?
(1-
?
)]|AB||AC|co
s?BAC
?-4
?
+4(
?
-1)?[1?
?
(
1-
?
)]?2?2?
1
2
?-2
?
2
?
2
?
-2 ,
即
-2
?
2
?2
?-2?-
3
2
,
化简得
(
?
-
1<
br>2
)
2
?0
,解得
?
?
1
2
,
故选A.
12
20.根据图示填空:
(1)(a+b)+c=__________; (2)a+(b+c)=__________;
(3)f-a-b=__________; (4)d-a+c=__________.
D
A
c
f
F
e
D
d
A
C
C
B
E
a
b
B
第1题图 第2题图
21.如图,点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )
A.
BD
-
CF+DF
?0
?????????
??????????????????
B.
AD +BE+CF?0
D.
BD-BE-FC?0
?????????
C.
AD +CE
-
CF
?0
22.如图,D是△ABC的边AB上的中点,则向量
CD
=( )
?
1
??
A.-
BC
?
BA
2
???
???
D
A
B.-
BC<
br>-
???
???
?
1
??
BA
2
?
1
??
C.
BC
-
BA
2
?
1
??
D.
BC
?
BA
2
???
BC
23.已知
点A(2,-5),
AB
=(4,1),
BC
=(3,-2),则点C的坐标
为__________.
???
???
13
24.等边三角形ABC的边长为1,
BC
=a,
CA
=b,
AB
=c,
则a?b+b?c+c?a=___________.
25.若
a=1
,
b=6
,a?(b-a)=
2,则向量a与向量b的夹角为( )
A
??????
???
B
C
π
A.
6
B.
π
4
π
C.
3
D.
π
2
26.已知
a
=
b=2
,a与
b的夹角为60°,则a+b在a上的射影为___________.
27.已知单位向量a,b,它们的夹角为60°,则|a+3b|=_________.
28.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,
则
AB
?
AC
=______.
29.如图,在矩形ABCD中,AB=
2
,BC=2,点E为BC的中点,
点F在边CD上,若
AB
?
AF
=
2
,则
AE?
BF
的值为
14
????????????
A<
br>???
???
B
M
C
D
F
C
EAB
___________.
30.在△ABC中,∠C=90°,
AB
=(1,k),
AC
=(2,1),则k的值为______.
A
31.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,
则|a|=(
)
A.
1
32.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=
5
,若(
a+b)?c=
则a与c的夹角等于( )
A.
B.
2
C.2 D.4
???
???
B
C
5
,
2
π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
33.已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|=a?b,则y=(
)
A.-3
B.-1
C.1 D.3
15
34.设a,b是两个非零向量,下列命题正确的是( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
【参考答案】
1.(1)
f
(2)
f
2.B 3.A
7.3 8.
13
11.3 12.C
15.C
(3)
c
(4)
e
4.(9,-6)
5.
-
3
2
9.-16 10.
2
13.C 14.D
16
6.C
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