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高中数学平面空间向量知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 21:13
tags:高中数学向量

女生为什么学不好高中数学-2015江苏省高中数学赛课

2020年9月20日发(作者:高球)


平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念:
①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为
0
,其方向是任意的,
0
与任意向量平行
③单位向量:模为1个单位长度的向量
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量
??
ruuuruuur
uuu r
r
uuur
r
?
ruuu
2、向量加法:设
AB ?a,BC?b
,则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC

?
??
?
?
(1)
0?
a
?
a
?0?
a
;(2)向量加法满足交换律与结合律;
uuur uuuruuuruuuruuuruuur
AB?BC?CD?
L
?PQ?QR?A R
,但这时必须“首尾相连”.
??
3、向量的减法: ① 相反向量:与
a
长度相等、方向相反的向量,叫做
a
的相反向量
? ?
?
?
??
?
?
②向量减法:向量
a
加上
b
的相反向量叫做
a

b
的差,③作图法:
a?
b
可以表示为从
b
的终点指向
a
的终点
?< br>?
的向量(
a

b
有共同起点)
??
4、 实数与向量的积:实数λ与向量
a
的积是一个向量,记作λ
a
,它的长度与方 向规定如下:
????
??
(Ⅰ)
?
a
?
??
a
; (Ⅱ)当
?
?0
时,λ
a
的方向与< br>a
的方向相同;当
?
?0
时,λ
a
的方向与
a
的方向
?
?
相反;当
?
?0
时,
?a?
0
,方向是任意的

??
?
?
5、两个向 量共线定理:向量
b
与非零向量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
,使得
b
=
?
a

??
?6、平面向量的基本定理:如果
e
1
,e
2
是一个平面内的两个 不共线向量,那么对这一平面内的任一向量
a
,有且只
?????
有一对实数
?
1
,
?
2
使:
a
?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
,其中不共线的向量< br>e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量
a
可表 示成
a?xi?yj
,记作
a
=(x,y)。
2平面向量的坐标运算:
r
r
rr
r
r
rr
r
(1) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

uuur
(2) 若
A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

rr
(3) 若
a
=(x,y),则
?
a
=(
?
x,
?
y)
r
r
r
r
(4) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?x
1
y
2
? x
2
y
1
?0

r
r
r
r
(5) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
,则
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

r
r

a?b
,则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?
0

三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
r
r
r
r
r
r
已知两个非零向量
a

b
,它们的夹角为?
,则
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?

r
r
r
r
叫做
a

b
的数量积(或内积) 规定
0?a?0

r
r
rr
r
a
?
b
2向量的投影:︱
b
︱cos
?
=
r
∈R,称为向量
b

a
方向上的投影投影 的绝对值称为射影
|a|
rr
rrr
3数量积的几何意义:
a< br>·
b
等于
a
的长度与
b

a
方向上 的投影的乘积
rrr
2
r
2
4向量的模与平方的关系:
a ?a?a?|a|

5乘法公式成立:
?
?
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
a?b?a?b?a?b?a?b

r
r
2
r
2
r
rr
2
r
2
r
rr
2
a?b?a?2 a?b?b?a?2a?b?b

??
?
?
6平面向量数量积的运算律:
r
rr
r
①交换律成立:
a?b?b?a

1 9


r
r
r
r
r
r
②对实数的结合 律成立:
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
?
?
?R
?

r
r
rrr< br>r
rrr
r
③分配律成立:
a?b?c?a?c?b?c?c?a?b

r
r
rr
r
r
特别注意:(1)结合律不成立:
a?b?c?a?b?c

r
rr
r
rr
(2) 消去律不成立
a?b?a?c
不能得到
b?c?

r
rr
r
r
r
(3)
a?b
=0不能得到
a
=
0

b
=
0

??
??
??
????
??
7两个向量的数量积的坐标运算:
r
r
r< br>r
已知两个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x2
,y
2
)
,则
a
·
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2

uuur< br>r
uuurr
r
r
r
r
00
8向量的夹角: 已知两个非零向量
a

b
,作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?

0?
?< br>?180
)叫做向量
a

b

夹角
rr
r
r
x
1
x
2
?
y
1y
2
a
?
b
cos
?
=
cos
?
a,b
??
r
r
=
2222
a
?< br>b
x
1
?
y
1
?
x
2
?< br>y
2
r
r
r
r
r
00
当且仅当两个 非零向量
a

b
同方向时,θ=0,当且仅当
a

b
反方向时θ=180,同时
0
与其它任何非零向量
之间不谈夹角这一问题
r
r
r
r
r
r
0
9垂直:如果
a

b
的夹角为90则称
a

b
垂直,记作
a

b

10两个非零向量垂直的充要条件

?
?
?
?
a

b
?
a
·
b
=O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2?
0
平面向量数量积的性质
空间向量与立体几何
1、空间向量及其运算:
rrrrrr
(1)空间中的平行( 共线)条件:
abb?0??x?R,a?xb

rrrrrrrr
(2)空 间中的共面条件:
a,b,c
共面(
b,c
不共线)
??x,y?R ,a?xb?yc

uuuruuuruuuruuur
推论:对于空间任一点
O
和不共线三点
A

B

C

OP?x OA?yOB?zOC

?
x?y?z?1
?
,则四点
O< br>、
A

B

C
共面
rrrurrrr(3)空间向量分解定理:如果三个向量
a,b,c
不共面,那么对空间任一向量
p?xa?yb?zc

??
(4)空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算 < br>rrrr

a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
,z< br>2
?
,则:
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?< br>
r
rr
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
? z
1
z
2

注1:数量积不满足结合律;
注2:空间中的基底要求不共面。
2、空间向量在立体几何证明中的应用:
uuuruuur
(1)证明
ABCD
,即证明
ABCD

uuuruuur
(2)证明
AB?CD
,即证明
AB?CD?0< br>
uuuruuur
(3)证明
AB
?
(平面)(或在面内) ,即证明
AB
垂直于平面的法向量或证明
AB
与平面内的基底共面;
uuuruuur
(4)证明
AB?
?
,即证明
AB
平行 于平面的法向量或证明
AB
垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量;
(5)证 明两平面
?

?
(或两面重合),即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量 垂直于另一个平面;
(6)证明两平面
?
?
?
,即证明两平面的法 向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。
3、空间向量在立体几何求值中的应用:
异面直线
AB

CD
的成

?

直线
AB
和平面
?
的成
uuuruuur
cos
?
?cosAB,CD

uuurr
?
?
?
r
sin
?
?cosAB,n

?
?
?
0,
?


?

n
为平面的法向量)
?
2
?uruururuur
平面
?
与平面
?
的成角
cos< br>?
?cosn,n

cos
?
??cosn,n
< br>1212
uruur
?
?
?
0,
?
?

?

n
1

n
2
分别为两平
(需具体分析取哪一个)
2 9
?
?
?
?
?
?
0,
?

?
2
?


面的法向量)
r

A到平面
?
的距离(
n
为平面的法向量)
uuurr
A B
?
n
d
?
r
(其中点
B
为平面内任意一 点)
n
直线
AC
平面
?

转化为点
A
到平面
?
的距离

AC
?
)的距离
平面
?
与平面
?
平面的法向量)
r

?

?
)的距离(
n

转化为平面
?
内的点到 平面
?
的距离
uuurr
AC
?
n
异面直线AB

CD
的距
d
?
r

r
离(
n
为既垂直于
AB

n
uuurr
uuuuu ur
uuu
r
垂直于
CD
的向量)

AC
可以用
AD

BC

BD
,即两直线上分别取一点)
坐标形式下:两点间距离公式
空间两点
P

Q
的距离 < br>uuurrrr
基底形式下:若
PQ
表示成
xe
1
? ye
2
?ze
3
,则可以得到:
uuurrrr
2
PQ?xe
1
?ye
2
?ze
3

??

(9)已知平面上直线
l
的方向向量
e?(?
其中
?

( )

(A)
?
平面向量真题集训
2004年
?
43
点O(0,0)和A(1,-2)在
l
上的射影分别是O
1
和A
1
,则
O
1
A
1

?
e

,)

55
1111
(B)- (C)2 (D)-2
55
2005年
8. 已知点A(,1),B(0,0)C(
等于( )
A. 2 B. C. -3 D. -
,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有
r rrr

1
)(文)已知向量
a
=(
4

2
),向量
b
=(
x

3
),且
a

b
,

x

( )

A

9 (B)6 (C)5 (D)3
2006年

2007年
uuuruuuruuur
1
uuuruuur
5.在
△ABC
中,已知
D

AB
边上一点,若
AD?2DB,CD?CA?
?
CB
,则
?
?
( )
3
2112
A. B. C.
?
D.
?

3333
2009年
6. 已知向量
a?
?
2,1
?
,a?b?10,|a?b|?52
,则
|b|?( )
A.
5
B.
10
C.
5

3 9
D.
25

< br>uuruuruuur
(8)
△ABC
中,点
D

A B
上,
CD
平方
?ACB
.若
CB?a

CA?b

a?1

b?2
,则
CD?
( )
(A)
a?
2010年
1
3
2213443
b
(B)
a?b
(C)
a?b
(D)
a?b

3335555
r r
rr
rr
rr
1
(3)设向量
a

b< br>满足
a?b?1

a?b??
,则
a?2b?

2
(A)
2
(B)
3
(C)
5
(D)
7

2011年

利用向量法解决立体几何问题
基本知识回顾
向量平行,垂直的坐标表示: 平行x
1
y
2
-x
2
y
1
=0,垂直x< br>1
x
2
+y
1
y
2
=0
直线的方 向向量:1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向
向量.如图1 ,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是:
uuur

AB?(x
2
?x
1
,y
2< br>?y
1
,z
2
?z
1
)

平面的法 向量:如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记
作n⊥α,这 时向量n叫做平面α的法向量.
在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?设a=( x1 ,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不
共线的非零向量,由直线与平面垂直的 判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且
n·b = 0,则n⊥ α
求平面法向量的基本步骤:
第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
(一).判定直线、平面间的位置关系
(1)直线与直线的位置关系,不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b.
①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b
(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,
①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α
②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α.
(3)平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2
①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β
(二)、用向量解决距离问题
①两点
A,B
间距离
|AB|

????
????

AB?AB?AB
可算出;若
AB?a?b
,则由数量积得
AB?
?
a
?
?
?
b
?
?2a?b ,若已知
????
???
2
??????
?????
???
2
22
两点坐标,则可直接用两点间距离公式.
②点
P
到直线
AB
的距离
过点
P
作直线
AB
的垂线
PD
,垂足为
D
,则由
PD?AB且点
A,B,D
共线得
PD?AB?0,AD?
?
AB
,解出
D
点后再求
|PD|

③异面直线
a

b
的距离
4 9

??
?
??
?
a
?
EF
?
0
可先设
a

b
的公垂线段
EF

E?a

F?b
),再由垂直向量性质得
?
,从而得到
E

????
?
b
?
EF
?
0
?
F
的 坐标,最后算出所求
EF
.
④点
P
到平面
?
的距离
h

先设平面?
的斜线为
PA
?
A?
?
?
,再求
?
的法向量
n
,运用向量平移,不难得到推论“
h

????
???
?

PA
在法向量
n
上的射影
PA
?
???
?
???
?
n
n
PA
?
n
?
?
的绝对值”,即
h
?
,最后由此算出所求距 离.
n
④两平行平面
?
,
?
之间的距离
由平行 平面间的距离定义知道,平面
?
上任意一点A到
?
的距离就是
?
?
的距离,因此,我
们也可把
?

?
的距离 转化为A到
?
的距离,运用求点与面距离的方法来求。
(三)、用向量解决角的问题
①两条异面直线
a

b
间夹角
在直线
a
上取两点A、B,在直线
b
上取两点C、D,若直线
a

b
的夹角为
?
,则
uuuruuur
AB?CD
cos
??|cos?AB,CD?|
?

ABCD
注意,由于两向量的夹角范 围为
?
0?,180?
?
,而异面直线所成角的范围为
?
0 ??
?
?90?
?
,若两向量
夹角
?
为钝角,转化 到异面直线夹角时为180°
?
?

②直线
a
与平面
?
所成的角
?
(如图
1?1

可转化成用向量
a
与平面
?
的法向量
n
的夹角
?
表示,由向量平< br>?



?
??
n
a
?
?
?
n
?
?
?
a
n
?
a
?

图1-1

?
图1-2
?
图1-3
?
移得:若
?
?
?
?
?
?

?
??
?
(图
1?2
);若
?
?

?
?
?
?
(图
1?3
).
2222
?< br>平面
?
的法向量
n
是向量的一个重要内容,是求直线与平面所成角、求 点到平面距离的必备工
具.由
n?
?
可知,要求得法向量
n
,只需在平面
?
上找出两个不共线向量
a

b
,最后通过解 方程
?
???
5 9


?
?
a
?
n
?
0
?

?
得到
n
.
??
?
?
b
?
n
?
0
??
z
C
1

A
1

D
E
C
B
1





x
A
G
B
y
③求二面角
?
???
?
的大小
?

??< br>已知二面角α—l—β,
n
1
,n
2
分别是平面α和平面β的 一个法向量,设二面角α—l—β的大小
??
为θ,规定0≤θ≤π,则
?
? ?
n
1
,n
2
?
(这里若平面α的法向量是二面角的内部指 向平面α内的
一点,则平面β的法向量必须是由平面β内的一点指向二面角的内部,如图2-1,否则从 二面角内
??
部一点出发向两个半平面作法向量时,二面角
?
?
?< br>??
n
1
,n
2
?
,如图2-2)
ur
n
1

uur
n
2

2-1
?

ur
n
1

uur
n
2

2-2
?

?

?


B
l
C
D
二面角
?
???
?
的大小
?
(如右图),也可用两个向量
所成的 夹角表示,在
?

?
上分别作棱
?
的垂线
AB
CD


A

C??
),从图中可知:?
等于
AB

CD
所成的角.
???
???

A
?

?

2004年—2012年云南省高考立体几何解答题汇总
2004年
20.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
2
,侧棱AA
1
=1,侧面AA
1
B
1
B的两条
对角线交点为D,B< br>1
C
1
的中点为M.
(Ⅰ)求证CD⊥平面BDM;
(Ⅱ)求面B
1
BD与面CBD所成二面角的大小.





6 9



2005年
(18)(本小题满分12分)
在四棱锥V- ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD.
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.



V


C
D


A
B






2006年

19
)(本小题满分12分)

如图,在直三棱柱
ABC ?A
1
B
1
C
1
中,
AB?BC,D
、< br>E
分别为
BB
1

AC
1
的中点。


I
)证明:
ED
为异面直线
BB
1
与< br>AC
1
的公垂线;

A?AD?C
1
(II)设AA
1
?AC?2AB,
求二面角
1
的大小。












C
1
A
1
B
1
D
E
B
A
C
2007年
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥
S?ABCD
中,底面
ABCD
为正方形,
侧棱
SD⊥
底面
ABCD,E,F
分别为
AB,SC
的中 点.
(1)证明
EF∥
平面
SAD

(2)设
SD?2DC
,求二面角
A?EF?D
的大小.





7 9
A
S
F
C
D
E B



2008年
19.(本小题满分12分)
A
1
D
1
B
1
C
1
如图,正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AA
1
?2AB?4


E

CC
1
上且
C
1
E
?
3EC

(Ⅰ)证明:
A
1
C?
平面
BED

(Ⅱ)求二面角
A
1
?DE?B
的大小.




D
A
E
C
B
2009年
18(本小题满分12分)
如图,直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
AB?AC,D

E
分别 为
AA
1

B
1
C
的中点,
DE?
平面
BCC
1

(I)证明:
AB?AC

(I I)设二面角
A?BD?C
为60°,求
B
1
C
与平面BCD
所成的角的大小。












2010年
(19)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC=BC, AA
1
=AB,D为BB
1
的中点,E为AB
1
上的一点,
AE=3 EB
1

(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB
1
与CD的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线AB
1
与CD的夹角为45°,求二面角A
1
-AC
1
-B1
的大小




8 9




2011年
(20)如图,四棱锥
S?ABCD
中,
ABPCD
,
BC?CD
,侧面
SAB
为等边三角
形.
AB?BC?2 ,CD?SD?1
.
(Ⅰ)证明:
SD?平面SAB

(Ⅱ)求
AB
与平面SBC所成角的大小。
S













2012年
(19)(本小题满分12分)
D
C
A
B
1
如图 ,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,侧棱垂直底面,∠AC B=90°,AC=BC=AA
1
,D是棱AA
1
的中点
2
(I)证明:平面BDC
1
⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC
1
分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。








9 9
A
D
C
B
A
1

C
1

B
1


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