高中数学：向量法解立体几何总结

向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
uuur
⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线
l
上的任意两点，则
AB
为直线
l
的一个方向向量；
uuur
与
AB
平行的任意非零向量也是直线
l
的方向向量.
r
⑵．平面的法向量： 若向 量
n
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量垂直于平面
?
， 记作
rr
r
n?
?
，如果
n?
?
，那么向 量
n
叫做平面
?
的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面
?
的法向量为
n?(x,y,z)
．
r
rur
③求出平面内两个不共线向量的坐标
a?(a
1
,a
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3
)
．
rr
?
?
n?a?0
④根据法向量定义建立方程组?
rr
.
?
?
n?b?0
⑤解方程组，取其中一组解 ，即得平面
?
的法向量.
2、用向量方法判定空间中的平行关系
rr< br>rr
b
，则要证明
l
1
∥
l
2
，只 需证明
a
∥
b
，即⑴线线平行。设直线
l
1
,l< br>2
的方向向量分别是
a、
rr
a?kb(k?R)
.
rr
⑵线面平行。设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?的法向量是
u
，则要证明
l
∥
?
，只需证明
r rrr
a?u
，即
a?u?0
.
rrrr
⑶面面平行。若 平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要证
?
∥
?
，只需证
u
∥
v
，
rr
即证
u?
?
v
.
3、用向量方法判定空间的垂直关系

rr
rr
b
，则要证 明
l
1
?l
2
，只需证明
a?b
，即⑴线线垂直。 设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、
rra?b?0
.

⑵线面垂直
rrr
①（法一）设直线< br>l
的方向向量是
a
，平面
?
的法向量是
u
， 则要证明
l?
?
，只需证明
a
r
rr
∥
u
，即
a?
?
u
.
r
uruur
n
，若②（法二）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
内的两 个相交向量分别为
m、
rur
?
?
a?m?0
,则l??
.

?
rr
?
?
a?n?0
rr< br>rr
⑶面面垂直。 若平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要证
?
?
?
，只需证
u? v
，
rr
即证
u?v?0
.
4、利用向量求空间角

⑴
求异面直线所成的角
已知
a, b
为两异面直线，A，C与B，D分别是
a,b
上的任意两点，
a,b
所成的角为
?
，则
uuuruuur
AC?BD
cos
?
?
uuuruuur
.

ACBD
⑵求直线和平面所成的角
rrrr
求法：设直线
l
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
u
，直线与平面所成的角为
?
，
a
与< br>u
的夹角为
?
， 则
?
为
?
的余角或
?
的补角
rr
a?u
的余角.即有：
sin
?
?cos
?
?
r
.

au
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角
?
?l ?
?
的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射
线
AO?l,BO?l，则
?AOB
为二面角
?
?l?
?
的平面角.
如图：




A
B
O
l

urrurr
n
，再设
m、n
的夹角为
?
，求法：设二面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量分别为m、
urr
n
的夹角
?
或其补角
?
?
?
.
二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
， 则二面角
?
为
m、
根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角：
O
A
B

urr
m?n
如果
?
是锐角，则
cos
?
?cos
?
?
urr
， 即
?
?arccos
mn
urr
m?n
urr
；
mn
urr
m?n
urr
mn
?
?
. < br>?
?
urr
?
m?n
如果
?
是钝角，则cos
?
??cos
?
??
urr
， 即
?< br>?arccos
?
?
?
mn
?
5、利用法向量求空间 距离
⑴
点Q到直线
l
距离
r
uuur
r
若Q为直线
l
外的一点,
P在直线
l
上，
a
为直线
l
的方向向量，
b=
PQ
，则点Q到直线
l
1
r
r
2
r
r
2
距离为
h?
r
(|a||b|)?(a?b)

|a|
⑵点A到平面
?
的距离
r
若点
P
为平面
?
外一点，点
M
为平面
?
内任一点，平面
?
的法向量为
n
，则P到平面
?
的
r
uuur
距离就等于
MP
在法向量
n
方向上的投影的绝对值.
ruuu rruuur
uuurruuuur
n?MP
uuur
n?MP
即< br>d?MPcosn,MP
?MP?
ruuu

?
rr
nMPn
⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
当一条直线和 一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面
ruuur
n?MP
的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即
d?
r
.

n
⑷两平行平面
?
,
?
之间的距离
利用两平 行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
ruuur
n?MP
d?
r
.

n
⑸异面直线间的距离
r
设向量
n
与两异面直线
a,b
都垂直，
M?a,P?b,
则 两异面直线
a,b
间的距离
d
就是
ruuur
r
n ?MP
uuur
MP
在向量
n
方向上投影的绝对值。 即
d?
r
.

n