高中数学-平面向量的实际背景及基本概念练习

高中数学
-
平面向量的实际背景及基本概念练习


1
．判断下列命题是否正确
,
若不正确
,
请简述理由
. < br>①若非零向量与是共线向量
,
则
A,B,C,D
四点必在一条直线上< br>;
②单位向量都相等
;
③任一向量与它的相反向量不相等
;
④若四边形
ABCD
是平行四边形，则，反之，也成立
;
⑤模为
0
的向量方向不确定
;
⑥共线的向量
,
若起点不同
,
则终点一定不同
.



2
．如图，
O
是正方形
ABCD
对角 线的交点，四边形
OAED
，
OCFB
都是正方形，在图中所
示的向 量中：


（
1
）分别写出与相等的向量；

（
2
）写出与共线的向量；

（
3
）写出与模相等的向量；

（
4
）向量与是否相等？




3．如图所示
,
在四边形
ABCD
中
,,N,M
分别是< br>AD,BC
上的点
,
且
.

求证
:.




4
．如图所示，已知
4×3
的矩 形
(
每个小方格都是单位正方形
)
，在起点和终点都在小方格的
顶点 处的向量中，试问：

（
1
）与相等的向量共有几个
?
（
2
）与方向相 同且模为
3
√
2
的向量共有几个
?



5
．已知在四边形
ABCD
中
,
情况
.
∥
,
求与分别满足什么条件时
,
四边形
ABCD
满足下列< br>（
1
）四边形
ABCD
是等腰梯形
;
（
2
）四边形
ABCD
是平行四边形
.



6
．如图所示的方格纸由若干个边长为
1
的小正方形并 在一起组成
,
方格纸中有两个定点
A,B,
点
C
为小正方形 的顶点
,
且
||=
√
5
.

（
1
）画出所有的向量
;
（
2
）求
||
的最大值与最小值
.

7．如图,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,且.求证:CNMA.



1
．【解析】①不正确
,
共线向量即平行向量
,
只要求两个向量方向相同或相反
,
并不要求两个
向量
,
在 同一条直线上
.
②不正确
,
单位向量的模均相等
,
且为< br>1,
但方向并不一定相同
.
③不正确
,
零向量的相反向量仍 是零向量
,
但零向量与零向量是相等的
.
④不正确
,
因为 若
,
则
A,B,C,D
四点可能共线
,
所以不能构成平行四 边形
.
⑤正确
,
符合零向量的定义
.

⑥ 不正确
,
与共线
,
起点不同
,
但终点却相同
. < br>2
．【解析】（
1
）
（
2
）与
，
=
；

；

共线的向量为：
（
3
）与模相等的向量有：、、、、；

（
4
）向量与不相等
.
因为它们的方向不相同
.
3
．【解析】∵
,
∴
||=||
且
AB
∥
CD.
∴四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴
||=||
且
DA
∥
CB.
同理可证
:
四边形
CNAM
是平行四边形
,
∴
.
∵
||=||,||=||,
∴
||=||,
即与的模相等
,
又与的方向相同
,
∴
.
4
．【解析】（
1
）与向量
AB
相等的向量共有
5
个（不包括
AB
本身）
.
如图
.
uuuruuur

（
2
）与向量
AB
方向相同且模为
32
的向量共有
2
个，如图
.
uuur

5
．【解析】 （
1
）
|
∵∥
|=||,
且与不平行
.
,
∴四边形
ABCD
为梯形或平行四边形
.
若四边形ABCD
为等腰梯形
,
则
||=||,
同时两向量不共线
.
（
2
）∥
.
若∥
,
即四边形的两组对边分 别平行
,
此时四边形
ABCD
为平行四边形
.
6
．【解析】（
1
）画出所有的向量如图所示
.

（
2
）由（
1
）所画的图知
,
①当点
C
位于点
C
1
或
C
2
时
,||
取得 最小值
√1
2
+2
2
=
√
5
;
②当点
C
位于点
C
5
和
C
6
时
, ||
取得最大值
√4
2
+5
2
=
√
41< br>,
∴
||
的最大值为
√
41
,
最小值为< br>√
5
.

7
．【解析】由可知
AB=DC且
AB
∥
DC,
.
所以四边形
ABCD
为 平行四边形
,
从而
又
M,N
分别是
BC,AD
的中 点
,
于是
,
所以
AN=MC
且
AN
∥
MC,
所以四边形
AMCN
是平行四边形
,
从而
CN=MA且
CN
∥
MA,
即
CNMA.