高中数学平面向量测试题

平面向量板块测试
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(12×5′＝60′)
1.下列五个命题：①|a
|
2
=
a
2
;②
a?
2
b
?
b
;③
(a?b)
2
?a
2
?b
2
;④
(a?b )
2
?a
2
?2a?b?b
2
;
a
a
⑤若a·b=0,则a=0或b=0.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤
2.若
AB
=3e,
CD
=-5e且|
AD|=|
BC
，则四边形ABCD是 ( )
A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形
3.将函数y=sinx按向量a＝(1,-1)平移后，所得函数的解析式是 ( )
A.y′=sin(x′-1)-1 B.y′=sin(x′+1)-1
C.y′=sin(x′+1)+1 D.y′=sin(x′-1)+1
4.若有点
M
1
(4，3)和
M
2
(2，-1)，点M分有向线段
M
1
M
2
的比 λ＝-2，则点M的坐标
为 ( )
A.(0，-
57
) B.(6，7) C.(-2，-) D.(0，-5)
33
5.若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是 ( )
A.a=0或b=0 B.|a|=|b| =0 D.以上都不对
6.若|a|=1，|b|=2，|a+b|=
7
，则a与b的夹角θ的余弦值为 ( )
A.-
11
1
B. C. D.以上都不对
22
3
44
B. C.4 D.2
55
7.已知a=3
e
1
-4
e
2
,b=(1-n)
e
1+3n
e
2
,若a∥b则n的值为 ( )
A.-
8.平面上三个非零向量a、b、c两两夹角相等，|a|=1，|b|=3,|c|=7,则|a+b+c| 等于
( )
A.11 B.2
7
C.4 D.11或2
7

9.等边△ABC中,边长为2,则
AB
·
BC
的值为 ( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
10.已知△ABC中，
a
4
?b
4
?c
4
?2c
2
(a
2
?b
2
)
，则∠C等 于 ( )
A.30° B.60° C.45°或135° D.120°
11.将函数y=f (x)cosx的图 象按向量a=(
?
,1)平移，得到函数
y?2sin
2
x
的图象，那么函
4
数f (x)可以是 （ ）
B.2cosx D.2sinx

1 2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足
OC=α
OA
+
β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1,则点C的 轨迹方程为 ( )
A.3x+2y-11=0 B.
(x?1)
2
?(y?2)
2
?5
C.2x-y=0 D.x+2y-5=0

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(4×4′＝16′)
13.已知|a|=3,|b|=5,a·b=12,则a在b上的投影为 .
14.设a=(-4,3),b=(5,2),则2|a
|
2
-
15 .已知a=(6,2),b=(-4,
方程是 .
16.把函数
y?2x
2
?4x?5
的图象按向量a平移后，得到
y?2x
2< br>的图象，且a⊥
b,c=(1,-1),b·c=4,则b= .
三、解答题(5×12′+14′＝74′)
17.若向量a的始点为A(-2，4)，终点为B(2，1).求：
(1)向量a的模.
(2)与a平行的单位向量的坐标.
(3)与a垂直的单位向量的坐标.





18.设两向量
e
1
、
e
2
满足|
e
1
|=2，|
e
2
|=1,
e
1
、
e
2
的夹角为60°，若向量2t
e
1
+7
e
2
与向
量
e
1
+t
e
2
的夹角为钝角，求实数t的取值范围.






19.已知向量a=(
cos
3xx
3
??
x
,
sinx
),b=(
cos
,
?sin
),且x∈［-,］.
222
2
3
4
1
ab＝ .
2
1
),直线l过点A(3,-1)
2
,且与向量a+2b垂直 ，则直线l的一般式
（1）求a·b及|a+b|;
（2）若f (x)=a·b-|a+b|,求f (x)的最大值和最小值.

20.设a=(-1-x)i,b=(1- x)i+yj(x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量)，且|a|=|b|.
(1)求点M (x,y)的轨迹C的方程；
(2)过点(4,0)作直线l交曲线C于A、 B两点，设
OP
=
OA
+
OB
，求证：四边形OAPB为< br>矩形.




21.已知△ABC的顶点为A(0，0) ，B(4，8)，C(6，-4).M点在线段AB上，且
AM
=3
MB
，< br>P点在线段AC上，△APM的面积是△ABC的面积的一半，求点M、P的坐标.





22.如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′和YY′，交点 是O，甲、乙分别在OX、
OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用4 kmh的速度，甲沿XX′方
向，乙沿Y′Y的方向步行.
(1)起初，两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t h后两人的距离.
(3)什么时候两人的距离最短?






第22题图

参考答案

1.B 由向量的数量积的定义即知.
2.C ∵AB∥CD,且AD=BC,AB≠CD,故选C.
3.A 点(x,y)按向量a＝（1，-1）平移后的点(x′,y′)，
?
x
?
?x?1
?
x?x
?
?1
∴
?
即
?

??
?
y?y?1
?
y?y?1
∴y ′+1＝sin(x′-1),即y′=sin(x′-1)-1.
4?2?2
?
x??0
?
?
1?2
4.D 设点M(x,y)，∴
?

3?2?(?1)
?
y???5
?
1?2
?
∴点M的坐标为(0,-5).
5.C 设a=(
x
1
,
y
1
)，b=(
x
2
,
y< br>2
)，由|a+b|=|a-b|，
得
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?( x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
，即
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝0.
又a·b=
x
1
x
2＋
y
1
y
2
，∴ab＝0.
6.B |a+b|< br>|
2
=
|a|
2
?|b|
2
?2|a|?| b|?cos?
,
11
，∴a与b的夹角θ的余弦值为.
22
4
7.A ∵a=(3,-4),b=(1-n,3n),∴9n=-4(1-n),∴n=-,故选A.
5
∴7=1+4-4cosα即cosα=-
8.D 若两两夹角为0°,则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=11;
若两两夹角为120°,则
|a+b+c
|
2
=|a
|
2
+|b
|< br>2
+|c
|
2
+2|a||b|cos120°+2|b||c|co s120°+2|a||c|cos120°
=1+9+49+2×(-
1
)×(1 ×3+3×7+1×7)=28,|a+b+c|=2
7
.
2
9.D < br>AB
·
BC
=
2
2
·cos120°=-2.故选D .
10.C 由
a
4
?b
4
?c
4
? 2c
2
(a
2
?b
2
)
，
得
( a
2
?b
2
?c
2
)
2
?2a
2
b
2
，
∴
a
2
?b
2
?c2
=±
2
ab=2abccosC，∴cosC=±
2
,∴C= 45°或135°.
2
11.D 由平移公式，应有
2sin
2
(x?)?1?f(x)cosx
.
?
4

即
?cos(2x?)?sin2x?f(x)cosx
,∴f (x)=2sinx.
12.D 设C(x,y),∵
OC
=α
OA
+β
OB
,
∴ (x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
?
2
?
x?3???
∴
?
又∵α+β=1,∴x+2y-5=0.
y???3?
?
1212
∵a·b=|a|·|b|·cosθ,∴a在b上的投影为.
55
11
14.57 2|a
|
2
-·a·b=2(16＋9)- (-20+6)=50+7=57.
22
13.
15.2x-3y-9=0 设l的一个方向向量为(m,n).a+2 b=(-2,3),直线l与向量a+2b垂直，即
-2m+3n=0,直线l的斜率k=
n2 2
?
,直线l的方程为y+1=(x-3),即2x-3y-9=0.
m33
16.(3,-1)
y?2x
2
?4x?5y?3?2(x?1)
2
,
∴a=(-1,-3),
?
?x
0
?3y
0
?0
?
x
0
?3
?
?
设b=(
x
0< br>,
y
0
),则
?
.
x?y?4y??1
0
?
0
?
0
17.解 (1 )a＝
AB
＝（2，1）-（-2，4）=（4，－3），∴|a|＝
4
2< br>?(?3)
2
?5
.
(2)与a平行的单位向量是±
143 43
a
＝±(4，-3)=(，-)或(-，).
|a|
55555
m3
?
.
n4
(3)设与a垂 直的单位向量是e=(m,n)，则a·e＝4m-3n＝0,∴
又∵|e|＝1，∴
m
2
?n
2
?1
.解得m=
∴e＝(
3434
,n =或m=-,n=-.
5555
3434
，)或(-，-).
5555
2
18.解
e
1
2
=4,
e
2
=1,
e
1
?e
2
=2×1×cos60°=1 ,
2
∴(2t
e
1
+7
e
2
)·(e
1
+t
e
2
)=2t
e
1
2
+(2
t
2
+7)
e
1
·
e
2
+7t
e
2
=2
t
2
+15t+7.
∴2
t
2
+15t+7<0,∴-71
.
2
?
2t??
14
设2t
e
1
+7
e< br>2
=λ(
e
1
+t
e
2
)(λ<0)
?
?

?
2
t
2
=7
?
t=-,
7?t?
2
?
∴λ=-
14
.

1 4
时，2t
e
1
+7
e
2
与
e
1
+
e
2
的夹角为π,
2
1414
1
∴t的取值范围是(-7,-)∪(-,-).
22
2
3x3x
19.解 (1)a·b=cosxcos- sinxsin=cos2x.
2222
|a|=|b|=1,设a与b的夹角为θ，
a?bcos2x
则cosθ=
??cos2x
.
|a||b|1 ?1
∴当t=-
∴|a+b
|
2
=
a
2
+ 2a·b+
b
2
=1+2×1×1·cos2x+1=2+2cos2x=4
cos
2
x
cos2x,
又x∈［-
??
,］,cosx>0,∴
|a?b|
=2cosx.
34
1
2
3
.
2
(2)f (x)=cos2x -2cosx=2
cos
2
x?2cosx?1?2(cosx?)
2
?
∵x∈［-
??1
,］,∴≤cosx≤1.
342
13
∴当cosx=时，f (x)取得最小值-;当cosx=1时，f (x)取最大值-1.
22
20.(1)解 由已知|a|=|b|，即
(?1? x)
2
?(1?x)
2
?y
2
,
整理得
y
2
?4x
①
(2)证明 由已知 只需证
OA
⊥
OB
即可，即证
OA
·
OB
=0.
设A (
x
1
,
y
1
),B (
x
2
,
y
2
), 当l⊥x轴时，A (4,4),B (4,-4),∴
x
1
x
2
+
y
1
y2
=0,即
OA
⊥
OB
.
当l不与x轴垂直时，设l的斜率为k，l的方程为y=k(x-4)(k≠0)， ②
将②代入①得
k
2
x
2
?x(8k
2
?4 )?16k
2
?0
.
∴
x
1
?x
2?8?
4
,
x
1
x
2
=16.
2
k
4
)?16]??16
.
k
2
y< br>1
y
2
=
k
2
(x
1
?4)(x< br>2
?4)?k
2
[16?4(8?
∴
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0,∴
OA
⊥< br>OB
.故得证.
0?3?4
?
x??3
M
?
?
1?3
21.解 如图，M分
AB
的比λ＝3，则M的坐标为
?

0?3?8
?
y??6
M
?
1?3
?
< /p>

由
S
?AMP
S
?ABC
1
AM?A P?sinA
1
1
2
?
，得
?
.
12
2
AB?AC?sinA
2
AP2
AM3
?
.
?
，∴
AC3
AB4
AP2
∴
?
，即 P分
AC
所成的比λ＝2.
PC1
0?2?6
?
x??4
?
?
P
1?2

?
0?2?(?4)
8< br>?
y???
P
?
1?23
?
又∵
则M(3， 6)，P(4，-

第21题图解
8
)为所求.
3
1
＝7.
2
22.解 (1)设甲、乙两人起初的位置是A、B，
则由余弦定理
AB
2
?OA2
?OB
2
?2OA?OB?cos60?
＝
3
2?1
2
－2×3×1×
所以甲、乙两人的距离是AB＝
7
km.
(2)设甲、乙两人t h后的位置分别是P、Q，则AP＝4t,BQ＝4t.
当0≤t≤
当t>
3
时，由余弦定理得
PQ
2
?(3?4t)
2
?(1?4t)
2
?2(3?4t)?(1?4t)?cos60?
， < br>4
3
时，
PQ
2
?(4t?3)
2
?(1? 4t)
2
?2(4t?3)?(1?4t)?cos120?
.
4
注意到上面两式实际上是统一的，所以
PQ
2
?(16t
2
?24t?9)?(16t
2
?8t?1)?(16t
2
?8t ?3)?48
2
?24t?7,

即PQ＝
48t
2
?24t?7
.
1
1
(3)∵
PO?48(t?)
2
?4
，∴当t=时，PQ的最小值是2.即在 第15 min末PQ最短.
4
4

P