高中数学空间向量与立体几何测试题

空间向量与立体几何
一.选择题
1. 在下列命题中：
??? ?
①若向量
a,b
共线，则向量
a,b
所在的直线平行；
????
②若向量
a,b
所在的直线为异面直线，则向量
a,b
一定 不共面；
??????
③若三个向量
a,b,c
两两共面，则向量
a,b,c
共面；
??
???
④已知是空间的三个向量
a,b,c
，则对于空间的任意一个向量
p
总存在实数x,y,z使得
?????
p?xa?yb?zc
；其中正确的命题的个数是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）
322223222232222
,,?,?,,,?
）和（
?
）； （B）（）；
1
322223222232222
,,,?,?,?,
（C ）（）和（
?
）； （D）（
?
）；
1
3. 已知A 、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈平
面ABC的充分条件是 （ ）
?????
1
????
1
????
1?????????
1
????
1
????????
（A）OM?OA?OB?OC
； （B）
OM?OA?OB?OC
；
2< br>?
23
?????????
2
?????????????????? ??
3
????
（C）
OM?OA?OB?OC
； （D）
OM?2OA?OB?OC

????
4. 已知点B是点A（3，7，-4）在xOz平面上的射影，则
(OB)
2
等于 （ ）
（A）（9，0，16） （B）25 （C）5 （D）13
5. 设平面
?
内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1， 2），则下列向量中是平面的法
向量的是（ ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）
6. 如图所示，在正三棱柱A BC——A
1
B
1
C
1
中，若AB=
2
B B
1
，则AB
1
与C
1
B所成的角的
大小为 （ ）（A）60° （B）90° （C）105° （D）75°
7. 到定点
?
1,0,0
?
的距离小于或等于1的点集合为（ ）
（A）（
A.
C.
?
?
x,y,z
?
|
?
x?1
?
?y
2
?z
2
?1
B.
?
x,y,z
?
|
?
x?1
?
?y
2
?z
2
?1

2
2
??
2
?
??
??
8. 已知
a,b
均为单位向量,它们的夹角为60?,那么
a?3b
等于（ ）
?
?
x,y,z
?
|
?
x?1
??y?z?1
?
D.
?
?
x,y,z
?< br>|x?y
2
?z
2
?1
?

A．
7
B．
10
C．
13
D．4
9. 在平面直角坐标系中,
A(?2,3),B(3,?2)
,沿x轴把平面直角坐标系折成120?的二面角后,
则线段 AB的长度为（ ） A．
2
B．
211
C．
32
D．
42

10. 已知α，β表示两个不同 的平面，m为平面α内的一条直线，则“
?
?
?
”是“
m?
?
”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二．填空题
11. 若空间三点A（1，5 ，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。
12. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起 ，
使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为
DC
点B， 则M、N的连线与AE所成角的大小等于
A
_________．
M
N
M
13. 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且
D< br>AB
C
PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余
N
E< br>B
弦值等于________；

??????? ????????????????????
14.已知
F
1
?i?2j?3 k
，
F
2
??2i?3j?k
，
F
3
?3 i?4j?5k
，若
F
1
,F
2
,F
3
共 同作用于
一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功
是 .
15. 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为
26
,则侧面与底面所成的二面角等
于 .

3 4 5 6 7 8 9 10
题号

1 2

题号



题号

题号

11

12

13

14

15

三．解答题
??????
16. 设向量
a?
?
3,5,?4
?
,b?
?
2,1,8
?
，计算3a?2b,a?b,
并确定
?
,
?
的关系，使
??
?
a?
?
b与z
轴垂直






17. 如图，正 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
棱长为 1，P、Q分别是线段AD
1
和BD上的点，且D
1
P：
PA=DQ ：QB=5：12，
（1） 求线段PQ的长度；
（2） 求证PQ⊥AD；
（3） 求证：PQ平面CDD
1
C
1
；






18. 如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2
2
，
E，F分别是AD，PC的中点
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。



19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，

AB
?
CD,AC
?
BD，垂足为H，P H是四棱锥的高 ，E为AD中点
（1） 证明：PE
?
BC
（2） 若
?
APB=
?
ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值








20. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上
????????
存在异于B,C的一点P,使得
PS?PD
.
(1)求a的最大值;
(2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;
?
(3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量
n

及点P到平面SCD的距离.













21. 如图所示,矩形 ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①
a?
3;
2
②
a?1
;③
a?3
;④
a?2
;⑤
a?4
;
(1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;
(2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切
值;
(3)记满足(1)的条件下的Q点为Q
n
(n=1,2,3,?),若a取 所给数据的最小值时,这样的点Q
n
有几个?试求二面角Q
n
-PA-Qn+1
的大小;










答案
1-5 AABBB 6-10 BACBB

11. 3，2 12.
?
2
13.
3
14. 14 15.
30?
3
??
16.
解：
3a?2b?3(3 ,5,?4)?2(2,1,8)?
（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)
??
a?b?
(3,5,-4)
?
(2,1,8)=6+5-32= -21
??
由
(
?
a?
?
b)?(0,0,1) ?(3
?
?2
?
,5
?
?
?
,?4
?
?8
?
)
?(0,0,1)??4
?
?8
?< br>?0

??
即当
?
,
?
满足
?4< br>?
?8
?
＝0即使
?
a?
?
b
与z 轴垂直.
17. 解：以D为坐标原点。DA、DC、DD
1
分别为x,y,z轴建 立如图所示的空间直角坐标系。
由于正方体的棱长为1，所以D（0，0，0），D
1
（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），
∵P、Q分别是线段AD
1
和BD上的点，且D
1
P：PA=DQ：QB=5：12，∴P
(
512,0,)
，Q
1717
????
512
55
（
,,0
），∴
PQ?(0,,?)
，所以
1717
1717
????
13
（1）∴
PQ?|PQ|?
；
17
??? ?????????
（2）∵
DA?(1,0,0)
，∴
PQ?DA?0，∴PQ⊥AD；
????
5
????
12
?????
?????????
（3）∵
DC?(0,1,0)
，
DD
1?(0,0,1)
，∴
PQ?DC?DD
1
,DC?
平面
1
，又
DD
1717
CDD
1
C
1
，P Q
?
平面CDD
1
C
1
，∴PQ平面CDD
1C
1
；
18. 解法一 （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算 在直线分别为x，y，z轴建
立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形。
∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0)，D(0，2 √ 2，0)，P(0,0,2)
????
又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√ 2，0),F(1，√ 2，1)。∴
PC
=（2，2 √ 2，-2）
????
???
? ???
?????????????
BF
=（-1，√ 2，1）
EF=（1,0,1），∴
PC
·
BF
=-2+4-2=0，
PC< br>·
EF
=2+0-2=0，
????
???
?
?? ??
???
?
∴
PC
⊥
BF
，
PC
⊥
EF
，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,
[来源:]
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量

设平面


BEF与平面BAP的夹角为 θ ，
则
∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45

解法二 （I）连接PE，EC在
PA=AB=CD, AE=DE,
∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，
又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,
又
∴BF⊥PC.
又
[来源:学§科§网Z§X§X§K]

，F是PC 的中点，








19.
解：以
H
为原点，
HA,HB,HP
分别为
x,y,z
轴，线段
HA
的长为单位长， 建立空间直
角坐标系如图， 则
A(1,0,0),B(0,1,0)

1m
(,

,0).
22
1mmm
,n)BC,? m(?,1
因为
,0).PE?BC???0?0
所以
PE?BC
可得
PE?(,?

2222
,,0E),
（Ⅰ）设
C(m,0,0),P(0,0,n)(m?0,n?0)
则
D(0m

（Ⅱ）由已知条件可得
m??
33
,n?1,故 C(?,0,0)

33
D(0 ,?
313
,0),E(,?,0),P(0,0,1)
设
n?(x,y,x)
为平面
PEH
的法向量
326
?1
x?
3
y?0
?
?
26
?
n?HE ?,o
则
?
即
?
因此可以取
n?(1,3,0)
，
?
?
?< br>n?HP?,o
?
z?0
????
????
2
由PA?(1,0,?1)
，可得
cosPAn

,?
4所以直线
PA
与平面
PEH
所成角的正弦值为
2

4



20. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,,0,0),B (a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0).
(0????????
(1)
∵
PS ?
?
?a,?x,1
?
,PD?
?
?a,2?x,0
?

????????
∴由
PS?PD
得:
a
2
?x(2?x)?0

即:
a
2
?x(2?x)(0?x?2)

∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;
????????
(2) 由(1)知:
AP?(1,1,0),SD?(0,2,?1),

????????
?? ??????
AP
?
SD210
?,

∴
cosA P,SD?
????????
?
5
2?5
AP?SD

∴异面直线AP与SD所成角的大小为
arccos
10< br>.

5
??
???????
(3) 设
n
1
?
?
x,y,z
?
是平面SCD的一个法向量,∵DC?(1,0,0),SD?(0,2,?1),

????????????
?
x?0
?
x?0
??
??
n?DCn
?
DC?0
?
1
?
1
??
??2y?z?0?y?1
∴由
?
?????
得
n
1
?(0,1,2),
< br>??
?
?????
??
??
?
取y?1
?< br>z?2
?
n
1
?SD
?
n
1
?SD?0
??
??
?
n
1525
1
∴平面SC D的一个单位法向量
n?
??
??
?
0,1,2
?
?(0,,),

55
5
n
1
????
?
5
?
???
CP?n5
,
又
CP?(0,?1,0),< br>在
n
方向上的投影为
?
?
5
??
15
n
∴点P到平面SCD的距离为
5
.

5
21.
解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,0,0 ,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).( 0≤x≤2)
????????
(1)
∵
PQ?
?
a,x,?2
?
,QD?
?
?a,2?x,0
?
,

∴由PQ⊥QD得

????????
PQ?QD??a2
?x(2?x)?0?a
2
?x(2?x)

∵
x?
?
0,2
?
,a
2
?x(2?x)?
?
0 ,1
?

∴在所给数据中,a可取
a?
3
和
a?1
两个值.

2
(2) 由(1)知
a?1
,此时x=1,即Q为BC中点,
∴点Q的坐标为(1,1,0)
????????
从而
PQ?
?
1,1,?2
?
,
又
AB?
?
1,0,0
?
为平面AD P的一个法向量,
????????
????????
PQ?AB16
?

∴
cosPQ,AB?
???
,
?????
?
6 ?1
6
PQ?AB
∴
直线PQ与平面ADP所成角的正切值为
5.

5
(3) 由(1)知
a?


13
3
,此时
x?或x?,
,即满足条件的点Q有两个,

22
2

?
31
??
33
?
,,0和Q
其坐标为
Q
1
?
2
?
?
22< br>?
??
2
,
2
,0
?
?

????
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ
1
,PA⊥AQ
2
,
∴∠Q
1
AQ
2
就是二面角Q
1
-PA-Q
2
的平面角.
33
??????????
?
????????? ?
AQ
1
?AQ
2
44
?
3
,得
∠Q
1
AQ
2
=30?, 由
cosAQ
1
,AQ
2
?
??????????
?
2
AQ
1
? AQ
2
1?3
∴二面角Q
1
-PA-Q
2
的大小为 30?.