高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生)

高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生)
1 《数学》必会基础题型——《平面向量》 【基本概念与公式】
【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量既有大小又有方向的量。记作或

a。

2.向量的模向量的大小或长度记作

| |AB或| |

a。

3.单位向量长度为1的向量。若e是单位向量则

。

4.零向量长度为0的向量。记作。【0方向是任意的
向量平行】

5.平行向量共线向量方向相同或相反的向量。

6.相等向量长度和方向都相同的向量。

7.相反向量长度相等方向相反的向量。

。

8.三角形法则

1 24
且与任意

AB BC CD DE AE AB AC CB


9.平行四边形法则

以,

a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为

10.共线定理

。当时与同向当
向。

11.基底任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模若

则2 2| |



2| |



13.数量积与夹角公式



| | | |
2 24
指向被减数
。
时与反

a b







14.平行与垂直



题型1.基本概念判断正误

1共线向量就是在同一条直线上的向量。

2若两个向量不相等

3与已知向量共线的单位向量是唯一的。

4四边形ABCD是平行四边形的条件是AB CD

。

5

则A、B、C、D四点构成平行四边形。

6因为向量就是有向线段所以数轴是向量。
3 24


则它们的终点不可能是同一点。
若AB CD

7若

a与b共线

8

则a b

10

a与b不共线则a与b都不是零向量。

11

则

a b。

12

则

题型2.向量的加减运算

1.设

a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则



4 24
与c共线则a与c共线。
若ma mb
。 2 9若ma na则m n。
若
若
若| | | |
。

。

2.化简( ) ( )

。

3.已知

则| |AB的最大值和最小值分别为

、 。

4.已知AC AB AD

为 与的和向量

则

AD 。

5.已知点C在线段AB上且3

5

则

题型3.向量的数乘运算

1.计算


5 24
且

。

2.已知


3

2



。

题型4.作图法球向量的和

已知向量,

如下图请做出向量1

3

2

和32

2

。


则1
6 24

a b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC

中D是BC的中点请用向量ABAC

2.在平行四边形ABCD中已知

求AB AD

和。



题型6.向量的坐标运算

1.已知



A则点B的坐标是 。

2.已知



则点Q的坐标是 。

3.若物体受三个力1
7 24
表示AD。

则合力的坐标为

。 3 4.已知



5.已知(1,2), (3,2)

A B,向量

与AB相等

x y的值。

6.已知(2,3)



则

。

7.已知O是坐标原点

且



题型7.判断两个向量能否作为一组基底

8 24
求。
求,


求OC的坐标。

1.已知1 2,

e e是平面内的一组基底判断下列每组向量是否能构成一组基底

A.1 2 1 2

和
和 和

2.已知(3,4)

能与a构成基底的是

A.3 4

( , )

5 5 B.4 3

( , )

5 5 C.3 4

( , )

5 5

D.4

( 1, )

9 24
和4 C.1 2 2 13

3



题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O是坐标原点点A在第二象限



求OA的坐标。



2.已知O是原点点A在第一象限

| | 4

求OA的坐标。





题型9.求数量积

1.已知

且a与b的夹角为

2
10 24
求

31

( )

2








2.已知(2, 6), ( 8,10)

求



3(2 )a a b

(2 ) (






4

11 24
。

。

题型10.求向量的夹角

1.已知



求a与b的夹角。

2.已知

求a与b的夹角。

3.已知(1,0)

求

1.已知

且a与b的夹角为

。





2.已知(2, 6), ( 8,10)

求


12 24
。 4 题型11.求向量的模
求

| |

2

。





3.已知


求

。





题型12.求单位向量

a平行的单位向量

a


【与

13 24

e

a

】

1.与(12,5)

平行的单位向量是

2.与1

( 1, )

2

平行的单位向量是

。

题型13.向量的平行与垂直

1.已知







。
m为何值时
14 24


当

2.已知(1,2)





k为何值时向量与垂直

2

k为何值时向量与平行





3.已知

a是非零向量且求证





题型14.三点共线问题

1.已知(0, 2)

求证三点共线。

15 24
。

2.设2

( 5 ), 2 8 , 3( )

2

求证

、 、三点共线。

5 3.已知
则一定共线的三点是 。

4.已知(1, 3)

若点

在直线AB上求a的值。



5.已知四个点的坐标(0,0)

是否存在常数
成

立
16 24

使

题型15.判断多边形的形状

1.若3

且

则四边形的形状是

。

2.已知(1,0)



证明四边形ABCD是梯形。



3.已知( 2,1)

求证



4.在平面直角坐标系内

17 24
是直角三角形。

求证



题型16.平面向量的综合应用

1.已知(1,0)



当

k为何值时

2.已知

且a b



求b的坐标。

3.已知a b

与同向

则10

求a的坐标。

3.已知(1,2)
18 24
是等腰直角三角形。
向量与平行

则

4.已知(5,10)





请将用向量

,a b表示向量c。



5.已知( ,3)



若

a与b的夹角为钝角求m的范围

2若

a与b的夹角为锐角求m的范围。

19 24
。

6.已知

当m为何值时
钝角

为锐角



7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为( 1,2)

且

求点C的坐标。 6 8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别
为



9.一航船以5kmh的速度向垂直于对岸方向行驶
向与水流方向成30角

水流速度与船的实际速度。



10.已知ABC

三个顶点的坐标分别为(3,4)A(0,0)B( ,0)C c

1

20 24
与b的夹角为
与b的夹角


求第四个顶点D的坐标。
航船实际航行方
求
若0

求c的值若



【备用】

1.已知| | 3,| | 4,| | 5

求

和向量,

a b的夹角。

2.已知x a b



且

求

,x y的夹角的余弦。

1.已知(1,3), ( 2, 1)

则


。
21 24
求sinA的值。

4.已知两向量(3,4), (2, 1)

求当与垂直时的x的值。

5.已知两向量(1,3), (2, )

与的夹角为锐角求的范围。

变式若



与的夹角为钝角求的取值范围。

选择、填空题的特殊方法

1.特例法

例《全品》。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立
取特殊情况即M,N与B,C

重合时可以得到1

。

2.代入验证法

例已知向量(1,1), (1, 1), ( 1, 2)

则
22 24
所以

A.1 3

2 2



2 2



2 2



2 2



变式已知(1,2), ( 1,3), ( 1,2)

请用,a b表示c。

3.排除法

例已知M是ABC

的重心则下列向量与AB共线的是

MB BC

23 24

B.3AM AC BC AC BM CM


24 24