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高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 21:19
tags:高中数学向量

高中数学网课哪位老师讲的好-宝坻大口屯高中数学教师

2020年9月20日发(作者:仲崇祜)


高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用
一、 平面得法向量
1、定义:如果,那么向量叫做平面得法向量。平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。
2、平面法向量得求法
方法一(内积法):在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或 ,或],在平面内任找两个不共线得向量。由,
得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。
方法二:任何一个得一次次方程得图形就是平面;反之,任何一个平面得方程就是得一次方程。 ,称为 平面得一般
方程。其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平 面得截距式方程,把它化
为一般式即可求出它得法向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与 ,
皆垂直得向量。通常我们采取「右手定则」,也就就是右手四指由 得方向转为 得方向时,大拇指所指得方向规
定为得方向,。
(注:1、二阶行列式: ;2、适合右手定则、)
例1、 已知,,
试求(1):(2):
Key: (1)
例2、如图1-1,在棱长为2得正方体中,
求平面AEF得一个法向量。

二、 平面法向量得应用
1、 求空间角
(1)、求线面角:如图2-1,设就是平面得法向量,
AB就是平面得一条斜线,,则AB与平面
所成得角为:
图2-1-1:
图2—1-2:
(2)、求面面角:设向量,分别就是平面、得法向量,则二面角得平面角为:
(图

β
两个平
得平面


β


2-2);
-3)
面得法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角

α
角。约定,在图2-2中,得方向对平面而言向外,得方向对
α
C
图2-1-1

B
B

A
x

A
1

D
1

E
D
F
图1-1
B
y
C
z
B
1

C
1

A
α


C
图2-1-2
A
(图2
α
图2-2
图2-3


平面而言向内;在图2—3中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。我们只要用 两个向量得向量积(简
称“外积”,满足“右手定则使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两 个半平面得法向量得夹角即为
二面角得平面角。
2、 求空间距离
(1)、异面直线之间距离:
方法指导:如图2-4,①作直线
a、b
得方向向量、,

a、b
得法向量,即此异面直线
a、b
得公垂线得方向向量;
②在直线
a、b
上各取一点
A、B
,作向量;
③求向量在上得射影

,则异面直线
a、b
间得距离为
,其中
(2)、点到平面得距离:
方法指导:如图2-5,若点B为平面α外一点,点A
为平面α内任一点,平面得法向量为,则点P到
平面α得距离公式为
(3)、直线与平面间得距离:
方法指导:如图2-6,直线与平面之间得距离:
,其中。就是平面得法向量
(4)、平面与平面间得距离:
方法指导:如图2-7,两平行平面之间得距离:
,其中。就是平面、得法向量。
3、 证明
(1)、证明线面垂直:在图2-8中,向就是平面得法向量,就是直线
a得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线()。
(2)、证明线面平行:在图2—9中,向就是平面得法向量,就是直
线a得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。
(3)、证明面面垂直:在图2—10中,就是平面得法向量,就是平
面得法向量,证明两平面得法向量垂直()
(4)、证明面面平行:在图2—11中, 向就是平面得法向量,就是平面
量,证明两平面得法向量共线()。
三、高考真题新解
β

α
图2-11
得法向

图2-10
α
图2-8

β


a
α

图2-9
α
α
β
A

图2-7
a

α

A
图2-6
B


M
N

B
α
A
O
图2-5
B
a
B
n
A
图2-4
b
a


1、(2005全国I,18)(本大题满分12分)
已知如图3-1,四棱 锥P—ABCD得底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABC
且PA=AD=DC=AB=1,M就是P B得中点
P
M
A
D,
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成得角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角得大小
B
D
图3-1
C
解:以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A- xyz如图所示.
,,设平面PAD得法向量为
,,设平面PCD得法向量为
,,即平面PAD平面PCD、
,,
,,设平在AMC得法向量为。
又,设平面PCD得法向量为、

面AMC与面BMC所成二面角得大小为。
2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)
如图3—2,在长方体
ABCD

A
1
B
1
C

D1
中,
已知
AB

AA
1
=
,
B
C=
a
,
M
就是
AD
得中点。
(Ⅰ)求证:
AD∥
平面
A

BC
;
( Ⅱ)求证:平面


MC
⊥平面


BD

;
(Ⅲ)求点A到平面
A
1
MC
得距离、

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD
1
为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐 标系D-xyz如图所示。
,,设平面A
1
BC得法向量为
又,,,即AD/平面A
1
BC.
,,设平面A
1
MC得法向量为: ,
又,,设平面A
1
BD
1
得法向量为: ,
,,即平面A

MC平面A
1
BD
1

设点A到平面A
1
MC得距离为d,
就是平面A
1
MC得法向量,
又,A点到平面A

MC得距离为:、
四、 用空间向量解决立体几何得“三步曲”


(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两 两垂直得直线,注意已有得正、直条件,相关几何知识得综合运用,建
立右手系),用空间向量表示问题 中涉及得点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
(2)、通过向量运算 ,研究点、直线、平面之间得位置关系以及它们之间距离与夹角等问题;(进行向量运算)
(3)、把向量得运算结果“翻译”成相应得几何意义。(回到图形问题)

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