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高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用
一、 平面得法向量
1、定义:如果,那么向量叫做平面得法向量。平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。
2、平面法向量得求法
方法一(内积法):在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或
,或],在平面内任找两个不共线得向量。由,
得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。
方法二:任何一个得一次次方程得图形就是平面;反之,任何一个平面得方程就是得一次方程。 ,称为
平面得一般
方程。其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平
面得截距式方程,把它化
为一般式即可求出它得法向量。
方法三(外积法): 设 ,
为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与 ,
皆垂直得向量。通常我们采取「右手定则」,也就就是右手四指由 得方向转为
得方向时,大拇指所指得方向规
定为得方向,。
(注:1、二阶行列式:
;2、适合右手定则、)
例1、 已知,,
试求(1):(2):
Key:
(1)
例2、如图1-1,在棱长为2得正方体中,
求平面AEF得一个法向量。
二、 平面法向量得应用
1、 求空间角
(1)、求线面角:如图2-1,设就是平面得法向量,
AB就是平面得一条斜线,,则AB与平面
所成得角为:
图2-1-1:
图2—1-2:
(2)、求面面角:设向量,分别就是平面、得法向量,则二面角得平面角为:
(图
β
两个平
得平面
β
2-2);
-3)
面得法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角
α
角。约定,在图2-2中,得方向对平面而言向外,得方向对
α
C
图2-1-1
B
B
A
x
A
1
D
1
E
D
F
图1-1
B
y
C
z
B
1
C
1
A
α
C
图2-1-2
A
(图2
α
图2-2
图2-3
p>
平面而言向内;在图2—3中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。我们只要用
两个向量得向量积(简
称“外积”,满足“右手定则使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两
个半平面得法向量得夹角即为
二面角得平面角。
2、 求空间距离
(1)、异面直线之间距离:
方法指导:如图2-4,①作直线
a、b
得方向向量、,
求
a、b
得法向量,即此异面直线
a、b
得公垂线得方向向量;
②在直线
a、b
上各取一点
A、B
,作向量;
③求向量在上得射影
d
,则异面直线
a、b
间得距离为
,其中
(2)、点到平面得距离:
方法指导:如图2-5,若点B为平面α外一点,点A
为平面α内任一点,平面得法向量为,则点P到
平面α得距离公式为
(3)、直线与平面间得距离:
方法指导:如图2-6,直线与平面之间得距离:
,其中。就是平面得法向量
(4)、平面与平面间得距离:
方法指导:如图2-7,两平行平面之间得距离:
,其中。就是平面、得法向量。
3、 证明
(1)、证明线面垂直:在图2-8中,向就是平面得法向量,就是直线
a得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线()。
(2)、证明线面平行:在图2—9中,向就是平面得法向量,就是直
线a得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。
(3)、证明面面垂直:在图2—10中,就是平面得法向量,就是平
面得法向量,证明两平面得法向量垂直()
(4)、证明面面平行:在图2—11中,
向就是平面得法向量,就是平面
量,证明两平面得法向量共线()。
三、高考真题新解
β
α
图2-11
得法向
图2-10
α
图2-8
β
a
α
图2-9
α
α
β
A
图2-7
a
α
A
图2-6
B
M
N
B
α
A
O
图2-5
B
a
B
n
A
图2-4
b
a
1、(2005全国I,18)(本大题满分12分)
已知如图3-1,四棱
锥P—ABCD得底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABC
且PA=AD=DC=AB=1,M就是P
B得中点
P
M
A
D,
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成得角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角得大小
B
D
图3-1
C
解:以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-
xyz如图所示.
,,设平面PAD得法向量为
,,设平面PCD得法向量为
,,即平面PAD平面PCD、
,,
,,设平在AMC得法向量为。
又,设平面PCD得法向量为、
、
面AMC与面BMC所成二面角得大小为。
2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)
如图3—2,在长方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D1
中,
已知
AB
=
AA
1
=
a,
B
C=
a
,
M
就是
AD
得中点。
(Ⅰ)求证:
AD∥
平面
A
1
BC
;
(
Ⅱ)求证:平面
A
1
MC
⊥平面
A
1
BD
1
;
(Ⅲ)求点A到平面
A
1
MC
得距离、
图
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD
1
为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐
标系D-xyz如图所示。
,,设平面A
1
BC得法向量为
又,,,即AD/平面A
1
BC.
,,设平面A
1
MC得法向量为: ,
又,,设平面A
1
BD
1
得法向量为: ,
,,即平面A
1
MC平面A
1
BD
1
、
设点A到平面A
1
MC得距离为d,
就是平面A
1
MC得法向量,
又,A点到平面A
1
MC得距离为:、
四、
用空间向量解决立体几何得“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两
两垂直得直线,注意已有得正、直条件,相关几何知识得综合运用,建
立右手系),用空间向量表示问题
中涉及得点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
(2)、通过向量运算
,研究点、直线、平面之间得位置关系以及它们之间距离与夹角等问题;(进行向量运算)
(3)、把向量得运算结果“翻译”成相应得几何意义。(回到图形问题)