平面向量在高中数学中的地位-精选文档

平面向量在高中数学中的地位

高中数学把既有大小又有方向的量称为 向量。向量的概
念，向量的表示，向量的运算、性质、定理，应用构成了向量的
知识体系。由于 向量具有形又具有数的特征，有些几何问题通过
转化可以用向量的方式加以解决，它是数形结合的数学思 维方法
的体现。
向量解决几何的方法
运用向量来推理论证两条直线垂直 比如，证明两条直线垂
直，只需写出这两条直线的方向向量。直线垂 直，则它们对应的
方向向量垂直，两方向向量的数量积为零;反之，若直线的方向
向量的数量积 为零，则它们对应的直线垂直。
运用向量来推理论证余弦定理 比如，在三角形中，余弦定理的推理论证，利用三角形边长的平方等于这条边对应向量模的
平方，而向量模的平方又等于对应向 量的平方，这个向量又可写
成另外两边对应向量的差的形式，再把向量差的平方展开，即得
余弦 定理。
运用向量来推理论证两角差的余弦公式 比如，三角函数中，
两角差的余弦公式 的推理论证：建立平面直角坐标系并做出单位
圆，圆心在原点，在单位圆上，任取不同的两个点A和B， 设点
A的坐标为（cosβ，sinβ），点B的坐标为（cosα，sinα）
则向量OA的 坐标为（cosβ，sinβ），向量OB的坐标为（cosα，

sinα），则向量O A与向量OB的数量积几何表示为两个向量的
模与它们夹角的余弦的积，而向量OA与向量OB的数量积 的代数
表示为cosαcosβ+sinαsinβ，因为向量OA和OB均为单位向
量，所以 他们的模均为1。所以，这两个向量的数量积的几何表
示为cos（α-β），显然有cos（α-β） =cosαcosβ+sinαsinβ。
由这个公式又可以推理论证两角和与差的基本三角函数的公式 。
用向量的方法求三角形面积方面 比如，若知道一个三角形
的三个顶点的坐标，要求 这个三角形的面积，只需从一点出发，
写出两条边对应的向量的坐标，这两个向量的横坐标与纵坐标交< br>叉相乘得到的积的差的绝对值的一半即是这个三角形的面积。例
如，已知三角形的三个顶点坐标分 别为A（-5，0）、B（3，-3）、
C（0，2），求这个三角形ABC的面积。解决这个问题，先 计算
出向量AB的坐标为（8，-3）向量AC的坐标为（5，2），则向
量AB与AC坐标交 叉相乘的差为8×2-（-3）×5=31，这个数的
绝对值的一半即为这个三角形的面积。此题也可以 别的方法求
解，如：先用两点之间的距离公式，求出三角形其中一边的长度;
再用点的这条边所 在直线的距离，求出这条边上的高;再用三角
形面积公式底边乘以底边上高的一半。这样显然很复杂，而 用向
量的方法就会非常简单。
运用平面向量证明正弦定理 如图1所示，以A为原点以 射
线AB的方向为X轴的正方向建立平面直角坐标系。C点在Y轴
上的射影为C'，因为向量A C与向量BC在Y轴上的射影均为向

量OC'的模，（用OC'表示）。向量0C'的长 度等于向量AC长度
与角A减去90°差的余弦的乘积，由诱导公式OC'=bcos（A-90℃）< br>=bsinA。过C点做CD垂直X轴交于D，则在直角三角形CDB中，
OC'=CD=BCs inB=asinB，所以得bsinA=asinB，即=，同理我们可
推导出，=，即==.
用向量的方法推理论证平面上两点的距离 如图2所示，设
A（x1，y1），B（x2， y2），则向量AB的坐标为（x2-x1，y2-y1）
因为两个相同向量的数量积几何表示为AB长 度的平方，而这两
个相同向量的数量积的坐标表示为（x2-x1）2+（y2-y1）2，所
以AB的长度等于（x2-x1）2+（y2-y1）2的和的算术平方根。
运用向量求点到直线的距离 求点到直线间的距离，若M（Xo，
Yo）是平面上一定点，它到直线L： AX+BY+C=0的距离为d，把
点M的坐标分别带入L中得AXo+BYo+c的绝对值再除以（A 2+B2）
的算数平方根，此公式的证明是利用直线的法向量与直线上任取
一点P，连PM得向 量PM通过求直线的法向量与向量PM的数量
积，就可以推理论证上述点到直线上距离d的公式。
学习向量的重要意义
在教学向量这章知识时，就要研究透向量的性质、运算、定< br>理，用它去解决上述几何、函数等方面的问题，使学生认识到学
习向量的重要意义，才能激发学生 学习向量的浓厚兴趣。在高考
中，至少有一道5分的选择题，然后在应用题甚至压轴题，通常
是 向量和其他的知识点综合来出题。综上所述，向量独具知识体

系，也是一种重要的数学工 具，内容涉及几何、函数等方面，高
考也是必考内容，加上与别的知识点结合出题，分值也相对较高，< br>地位独特。数形结合的思想方法，直观明了，所以应引起学生的
重视。