高中数学 空间向量与立体几何(第4讲)

第 4讲 空间向量与立体几何
【开心自测】
1．下列各组向量中不平行的是（ ）
?
?
?
?
A．
a?(1,2,?2),b?(?2,?4,4)
B．
c?(1,0,0),d?(?3,0,0)

?
?
?
?
C．
e?(2,3,0),f?(0,0,0)
D．
g?(?2,3,5),h?(16,24,40)

2．已知点
A(? 3,1,?4)
，则点
A
关于
x
轴对称的点的坐标为（ ）
A．
(?3,?1,4)
B．
(?3,?1,?4)
C．
(3,1,4)
D．
(3,?1,?4)

?
?< br>?
?
8
3．若向量
a?(1,
?
,2),b?(2, ?1,2)
，且
a
与
b
的夹角余弦为，则
?
等于（ ）
9
2
2
A．
2
B．
?2
C．
?2
或 D．
2
或
?

55
55
【教学重难点及考点占比】
教学重点：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．了
解空间向量的基本定理 ；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．掌握空间向量的数量积
的定义及其性质：掌握用 直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．理解直线的
方向向量、平面的法向量、 向量在平面内的射影等概念．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所
成的角、距离的概念.对于异 面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直
线和平面垂直的性质定理掌握两 个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
立体几何与空间向量：
选择题5分填空题4分+一道 大题
【知识梳理】
一、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
二、向量共面定 理：空间一点
?
位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
x< br>，
y
，使
????????????????????????????
???x???y?C
；或对空间任一定点
?
，有
???????x??? yC
；或若四点
?
，
?
，
?
，
C
共
????????????????
面，则
???x???y???z?C
?
x?y?z?1
?
．
?
?
?
?
三、空 间向量基本定理：若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间 任一向量
p
，存在实数组
?
x,y,z
?
，
????
使得
p?xa?yb?zc
．
?
????
?< br>?
?
四、若三个向量
a
，
b
，
c
不 共面，则所有空间向量组成的集合是
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
．这
?
?
?
?
?
??
?
?
个集合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生成的，
a,b,c
称为空间 的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空
????
间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
????????????< br>五、设
e
1
，
e
2
，
e
3
为有公共起点
?
的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以
e
1
，
e
2
，
?????????
e
3
的公 共起点
?
为原点，分别以
e
1
，
e
2
，< br>e
3
的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的 正方向建立空间直角坐标系
?
?xyz
．则对于空间任意一个向量
p
，一定可以把它平移，使它的起点与原点
?
重合，得到向量
???????
? ???
?
?
?
???p
．存在有序实数组
?
x,y ,z
?
，使得
p?xe
1
?ye
2
?ze
3
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p
在 单位正交
???????
?
?
基底
e
1
，
e
2
，
e
3
下的坐标，记作
p?
?
x,y ,z
?
．此时，向量
p
的坐标是点
?
在空间直角坐标系?xyz
中

1

的坐标
?
x,y,z
?
． ?
?
?
?
六、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b?
?
x
2< br>,y
2
,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y2
,z
1
?z
2
?
．
?
?
?
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?< br>．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
．
?
?
?
?
?
?
?
?
b
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1< br>y
2
?z
1
z
2
?0
．
?
4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
．
?
5
?
若a
、
?
?
?
???
?
?
?
6
ab?a?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?z
2
．
?
7
?
a?a?a?x
1
2< br>?y
1
2
?z
1
2
．若，则
b?0
??
?
?
?
xx?yy?zz
a?b
?
?
8
?
cos?a,b??
?
?
?
2
1
2
2
2
12
2
12
22
．
ab
x
1
?y
1
?z
1
?x
2
?y
2< br>?z
2
????
?
9
?
?
?
x1
,y
1
,z
1
?
，
??
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
d
??
????
?
x
2
?x
1
?
2
?< br>?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2
．
七、空间中平面
?的位置可以由
?
内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
?
，它们的
????
?
?
?
?
方向向量分别为
a，
b
．
?
为平面
?
上任意一点，存在有序实数对
?
x,y
?
使得
???xa?yb
，这样点
?
?
?
与向量
a
，
b
就确定了平面
?
的位置．
??
八、直线
l
垂直
?
，取直线
l
的方向 向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量．
??< br>?
九、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的 法向量为
n
，且
a?
?
，则
a
?
?a?

?????????
?a?n?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
．
?
?< br>?
?
十、若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向量分 别为
a
，
b
，则
?

?
?ab?

?
?
?
?
?
?
a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
??
??十一、设直线
l
的方向向量为
l
，平面
?
的法向量为< br>n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l与
n
的夹角为
?
，则
?
?
l?n
有< br>sin
?
?cos
?
?
?
?
．
l n
??????????
十二、设
n
1
，
n
2是二面角
?
?l?
?
的两个面
?
，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹角（或其补角）就
?????
n
1
?n
2
是二面角的平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则
cos
?
?
?????
．
n
1
n
2
?
十三、在直 线
l
上找一点
?
，过定点
?
且垂直于直线
l
的向量为
n
，则定点
?
到直线
l
的距离为
??? ?
?
???n
????????
?
d???cos???,n??< br>?
．
n
?
十四、点
?
是平面
?
外 一点，
?
是平面
?
内的一定点，
n
为平面
?
的一个法向量，则点
?
到平面
?
的
????
?
? ??n
????????
?
距离为
d???cos???,n??
?

n
【金题精讲】
【例1】已知四棱锥
P?ABCD
的底 面为直角梯形，
ABDC
，
?DAB?90,PA?
底面
ABCD< br>，
?
1
，
AB?1
，
M
是
PB的中点。
2
（Ⅰ）证明：面
PAD?
面
PCD
；
（Ⅱ）求
AC
与
PB
所成的角；
（Ⅲ）求面
AMC
与面
BMC
所成二面角的大小。
且
PA?AD?DC?

2

变式1：如图，在四棱锥
V?ABCD
中，底面
ABCD
是正方形， 侧面
VAD
是正三角形,
平面
VAD?
底面
ABCD
．
（Ⅰ）证明：
AB?
平面
VAD
；
（Ⅱ）求面
VAD
与面
DB
所成的二面角的大小．






【例2】如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，
侧棱
PA?
底面
ABCD
，
AB?3
，
B C?1
，
PA?2
，
V
D
A
B
C

E
为
PD
的中点.
（Ⅰ）求直线
AC
与
PB
所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面
PAB
内找一点
N
，使
NE?
面
PAC
，
并求出点
N
到
AB
和
AP
的距离.







变式2：如图所示的多面体是由底面 为
ABCD
的长方体被截面
AEC
1
F
所截面而得到的，其 中
AB?4,BC?2,CC
1
?3,BE?1
.
（Ⅰ）求
BF
的长；
（Ⅱ）求点
C
到平面
AEC
的距离.
1
F





3

【达标训练】
1．若A
(1,?2,1)
，B
(4,2,3)
，C
(6,?1,4)
，则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
?
2．若A
(x,5? x,2x?1)
，B
(1,x?2,2?x)
，当
AB
取最小值时，
x
的值等于（ ）
A．
19
B．
?
819
8
C． D．
714
7
3． 空间四边形
OABC
中，
OB?OC
，
?AOB??AOC?
?
3
，
????????
则
cos
<
OA,BC
>的值是（ ）
A．
2
11
B． C．－ D．
0

2
22
?
?
?
?
??
(a?2b)?
__________________。
4．若向量
a?(4,2,?4),b?(6,?3,2)
，则
(2a?3b)
?
??
??
??
?
?
5．若向量
a?2i?j?k,b?4i?9 j?k,
，则这两个向量的位置关系是___________。
?
?
?< br>?
?
?
6．已知向量
a?(2,?1,3),b?(?4,2,x)< br>，若
a?
b
，则
x?
______；若
a
b
则
x?
______。
?
??
??
??
?
?
?
7．已知向量
a?mi?5j?k,b?3i?j?rk,
若
a
b
则实数
m?
______，
r?
______ _。
??
?
??
?
?
?
?
?
8 ．若
(a?3b)?(7a?5b)
，且
(a?4b)?(7a?5b)
，则
a
与
b
的夹角为____________。
9．若
A( 0,2,
?
1955
)
，
B(1,?1,)
，
C( ?2,1,)
是平面
?
内的三点，设平面
?
的法向量
a?( x,y,z)
，则
888
x:y:z?
________________。
?
?
?
?
?
?
?
?
10．已知空 间四边形
OABC
，点
M,N
分别为
OA,BC
的中点，且
OA?a,OB?b,OC?c
，用
a
，
b
，
??
?
c
表示
MN
，则
MN
=___________ ____。
D
1
的棱长是
1
，则直线
DA
1与
AC
间的距离为 。 11．已知正方体
ABCD?ABC
111
12．如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
，中，
AD?AA
1
?1,AB?2
， 点
E
在棱
AD
上移动.
（1）证明：
D
1
E?A
1
D
；

4

（2）当
E
为
AB
的中点时，求点
E
到面
ACD
1
的距离；
（ 3）
AE
等于何值时，二面角
D
1
?EC?D
的大小为











?
.
4

13．如图，在三棱柱
A BC?A
1
B
1
C
1
中，
AB?
侧面BB
1
C
1
C
，
E
为棱
CC
1
上异于
C,C
1
的一点，
EA?EB
1
，已知< br>AB?2,BB
1
?2,BC?1,?BCC
1
?
（Ⅰ）异面直线
AB
与
EB
1
的距离；
（Ⅱ）二面角
A?EB
1
?A
1
的平面角的正切值.
?
3
，求：














14．如图， 在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，
PD?
底 面
ABCD
，
E
是
AB
上
一点，
PF?EC
. 已知
PD?2,CD?2,AE?
1
,

2
求（Ⅰ）异面直线
PD
与
EC
的距离；
（Ⅱ）二面角
E?PC
的大小.
?D

5