(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
数 学
亲爱的2019届平冈学子：
恭喜你
进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分 的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真
做题，善于总结归纳，持之以恒， 相信你一定能成功。
从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题 ，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选
拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。 打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这
本小册子，是为了使你们在初高中 数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的
兴趣。你们 一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。
这里给大家几个学数学的建议：
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。 记录本章你觉得最有价值的思想方法或
例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错 、析错、改错、防错。达到：能从
反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以 便对症下药；解答问题完整、推理严密。
3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题 进行类化，由一例
到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度 ，拓展自己的知识面。
6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使 所学的知识系统
化、条理化、专题化、网络化。
8、经常在做题后进行一定的“反 思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法
和解法 ，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
9、无论是作业还是测验，都 应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问
题。

初高中数学衔接呼应版块
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且 系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不
作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初 中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求 较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二
次不 等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目 仅限于简单常规运算和难
度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为 重要内容，
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下 ；左、右平移，两个函数关于原点，轴、
直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方 程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考
查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理 ，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，
而高中都要涉及。
9. 角度问题，三角 函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任
意角三角函数，定义的范围大大不同。同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。
10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。



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平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题

目 录
1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2. 乘法公式
1.1.3．二次根式
1.1.４．分式
1．2 分解因式

2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2 一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算
1.1.1．绝对值

?
a,a?0,
?
一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是 它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
|a|?
?
0,a?0 ,

?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数 轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在 数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
二、典型例题：
例1 解不等式：
|x?1|?4

解法一：由
x?1?0
，得
x?1
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?4
，即
1?x?4
，得
x??3，又x＜1，
∴x＜-3；
②若
1?x
，不等式可变为
(x?1)?4
，
即
x?5
又
x?1
∴
x?5

综上所述，原不等式的解为
x??3
或
x?5
。
解法二： 如图1．1－1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即 |PA|＝|x－1|；
所以
|x?1|?4
的几何意义即为
|PA|＞4．
可知点P 在点C(坐标为-3)的左侧、或点P在
∴
x??3
或
x?5
。
练 习A
1．填空：
（ 1）若
x?5
，则x=_________；若
x??4
，
（2）如 果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c? 2
，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）

P
x
C
-3
A
1
D
5
x
点D(坐标5)的右侧．
|x－1|
图1．1－1
则x=_________.
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（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

练习B
3．解不等式：
|x?2|?3






4、化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．





1.1.2. 乘法公式
一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a?b
；
（2）完全平方公式
(a?b)?a?2ab?b
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
2233
222
22
必
（2）立方差公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
须
2222
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
； （3）三数和平方公式
记
住
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
33223
2233
（5）两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
二、典型例题
例1 计算：
(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)
．
222
?< br>解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

6
=
(x?1)(x?x?1)
=
x?1
．
242
22
解：
a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习A
1．填空：
2．选择题：
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数


一、概念：一般地，形如
3a?a< br>2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?


解法二：原式=
(x?1)(x?x?1)(x?1)(x?x?1)

=
(x?1)(x?1)

=
x?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，求
a?b?c
的值．
2222
33
22
6
222
1
2
1
2
11
a?b?(b?a)
（ ）；
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2
m
（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
416
3
22
（2）不论< br>a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值 （ ）
（1）若
x?
2
1.1.3．二次根式
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
2
x?1
，
x
2
?2xy?y
2
，
a
2
等是有理式．
2
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平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
1．分母（子）有理化 < br>把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的 概念．两个含有二次
根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理 化因式，例如
2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32
，等 等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax? by
，
ax?b
与
ax?b
互为有理
化因式．
分 母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子 都乘以分子
的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根 式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的
基础上去括号与合并同类二次根式．
2． 二次根式
a
2
的意义
二、典型例题
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
2
解： （1）
12b?23b
； （2）
ab?a
a
2< br>?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
b?ab(a?0)
；
（3）
4xy?2x
63
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
解法一：
3?(3?3)＝
3
3?3
3
3?3
＝
3?1
33?3
3(3?1)
3?(3?3)
＝ ＝＝．
2
9?3
6
( 3?3)(3?3)
3?1
1
33?1
＝＝＝．
2
3?1
3(3?1)(3?1)(3?1)
解法二：
3?(3?3)
＝ ＝

例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
解： （1）∵
12?11?

2
和
22－6
.
6?4
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
112?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
11?10?
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
（2）∵
22－6?
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
∴

例4 化简：
(3?
解：
(3?
＝
(3?
＝
?
(3?
2
＜
22－6
.
6?4
2)
2004
?(3?2)
2005
．
2)
2004
?(3?2)
2005

2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

2004
2)?(3?2)
?
??
2004
?(3?2)
＝
1
＝
3?2
．

?(3?2)

例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x?
解：（1）原式=
5?45?4



2
1
?2(0?x?1)
．
2
x
(5)
2
?2?2?5?2
2

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平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
?(2?5)
2

?2?5
?5?2
．
（2）原式=
(x?)
2
?x?
∵
0?x?1
，∴
练 习A
1．填空：
1
x
1
，
x
11
?1?x
， 所以，原式＝
?x
．
xx
1?3
＝__ ___； （2）若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___； （1）
1?3
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；

（4）若
x?
5
x?1?x?1x?1?x?< br>2
，则
x?1?x?1
?
1
x?1?x?1
?
______ __．
（提示先简化后代入）
2．选择题：
等式
xx
x?2
?
x?2
成立的条件是 （ ）
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

练习B
3． 若
b?
a
2
?1?1?a
2
a?1
，求
a ?b
的值．





4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．


1.1.4．分式
一、概念：1．分式的意义
形如
AAA
B
的式子，若B中含有字母 ，且
B?0
，则称
B
为分式．当M≠0时，分式
AA?M
B
具有下列性质：
B
?
B?M
；
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
a
像
b
m?n?
c?d
，
p
2m
这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
n?p
二、典型例题：
例1 若
5x?4
x(x?2)
?
A
x
?
B
x?2
，求常数
A,B
的值．
解： ∵
ABA(x?2)?Bx(A
x
?
x?2
?
x(x?2)
?
?B)x?2A
x(x?2)
?
5x?4
x(x?2)
，
∴
?
?
A?B?5,
?
2A?4,
解得
A?2,B?3
．
例2 （1）试证：
1
n(n?1)
?
1
n
?
1
n?1
（其中n是正整数）；
（2）计算：
1
1?2
?
11
2?3
?
L
?
9?10
；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
1
2?3
?
1
3?4
?
L
?
1
n( n?1)
?
1
2
．

- 5 -
A
B
?
A?M
B?M
．

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11(n?1)?n1
???
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（1）证明：∵
（2）解：由（1）可知
111

??
L
?
1?22?39?10
11111

?(1?)?(?)?L?(?)

223910
19

?1?
＝．
1010
111
??
L
?
（3）证明：∵

2?33?4n(n?1)
111111
＝
(?)?(?)?
L
?(?)

2334nn?1
11
＝
?
，
2n?1

又n≥2，且n是正整数，
1
∴ 一定为正数，
n＋1
∴
例3 设
e?
111
1
??
L
?
＜
．
2?33?4n(n?1)
2
c
，且e＞1，2c
2
－5ac＋2 a
2
＝0，求e的值．
a
解：在2c
2
－5ac＋2a< br>2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
1
∴e＝ ＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
2

练习A
1．填空题：
对任意的正整数n，
2．选择题：
1
11
?
(
?
)；
n(n?2)
nn?2
2x?y2x
?
，则＝ （ ）
x?y3
y
546
（A）１ （B） （C） （D）
455
x?y
22
3．正数
x,y
满足
x?y?2xy
，求的值．
x?y
若




4．计算






1111
???...?
．
1?22?33?499?100
习题1．1
A 组
1．解不等式：
x?1?3







- 6 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题




33
２．已知
x?y?1
，求
x?y?3xy
的值．










3．填空：
1819
（1）
(2?3)(2?3)
＝______ _____________；
（2）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是____________________；
11111
?????
____________________．
1? 22?33?44?55?6
3a
2
?ab
11
?
____ ______________； 4．填空：
a?
，
b?
，则
2< br>3a?5ab?2b
2
23
yy
11
?
5．已知：< br>x?,y?
，求的值．
23
x?yx?y
（3）












B 组
1．选择题：
?b??a
，则 （ ）
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

1
（2）计算
a?
等于 （ ）
a
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

1111
2．计算：
．
???
L
?
1?32?43?59?11










（1）若
?a?b?2ab?
1．2 分解因式
一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分 组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x?(a?b)xy?aby
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常 数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个
数乘积的和为－3x，就是x
2－3x＋2中的一次项，所以，有x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

22
- 7 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题

－1

x

x
－2

图1．2－1

1
1
－1
－2
1
1
－2
6
x
x
－ay
－by
x
y
－1
1
图1．2－2
图1．2－3
图1．2－4
图1．2－5

说明：今后在分解与本例类似的二 次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得
x?(a?b)xy?aby
＝
(x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
32
（1）
x?9?3x?3x
； （2）
2x?xy?y?4x?5y?6
．
32
解： （1）
x ?9?3x?3x
=
(x?3x)?(3x?9)
=
x(x?3)?3(x? 3)

322
22
22
=
(x?3)(x?3)
．
32
或
x?9?3x? 3x
＝
(x?3x?3x?1)?8
＝
(x?1)?8
＝
( x?1)?2

32333
2
＝
[(x?1)?2][(x?1)?(x?1)?2?2]

＝
(x?3)(x?3)
． 二次项 一次项 常数项
（2）
2x?xy?y?4x?5y?6
=
(2x?xy?y )?(4x?5y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．

3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
2
（1）
x?2x?1
； （2）
x?4xy?4y
．
22
2222
2
22
2x-y
2
x+y
-3
2
2
若关于x的方程
ax?bx?c?0( a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项 式
ax?bx?c(a?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x< br>2
)
.
解： （1）令
x?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，
x
2
??1?2
，
∴
x?2x?1
=
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2 )
?

2
???
=
(x?1?2)(x?1?2)
．
22
2
?
（2）令< br>x?4xy?4y
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，< br>x
1
?(?2?22)y
，
22
∴
x?4xy?4y
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
二、练习A
1．选择题：
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；


（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．




练习B组
1．分解因式：
（1）
a?1
； （2）
4x?13x?9
；




3
22
42
- 8 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
；




2．在实数范围内因式分解：
2
（1）
x?5x?3
； （2）
x?22x?3
；
2
22




（3）
3x?4xy?y
；




3．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．




22







2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式

一、概念：我们知道， 对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2
2a4a
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0
?b?b
2
?4ac
时，方程①的右端 是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x
1
，
2
＝；
2a
（2）当b
2
－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个相等的实 数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当b
2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
( x?
b
2
)
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
2a< br>由此可知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－4ac来判定，我们把b
2
－4ac叫做一元二次方程ax
2
＋ bx＋c
＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
?b?b
2
?4ac
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x
1
，
2
＝；
2a
b
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x
1
＝x
2
＝－；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
二、典型例题：
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x
2
－3x＋3＝0； （2）x
2
－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

- 9 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
（2 ）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0，所以方 程一定有两个不等的实数根
a?a
2
?4
，
x
1
?
2
a?a
2
?4
．
x
2
?
2


（3）由于该方程的根的判别式为Δ ＝a
2
－4×1×(a－1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2 )
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．
（4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根 的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行
讨论，这一 方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一 方法来
解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

一、概念：1、若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
， 则有
2 a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
? ???
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?( b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．
x
1
x
2
?
2
2a2a4a4aa





所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： < br>如果ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?
b
c
， x
1
·x
2
＝．这一关系也被称为韦达定理．
a
a
2、特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1，x
2
是其两根，由韦达定理可知 x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2< br>－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0，由于x
1
，x
2
是一元二次方程x
2
＋px＋q＝0 的两根，所以，x
1
，x
2
也是
一元二次方程x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0的 两根，因此有
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系 数为1）是x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
二、典型例题：
例2 已知方程
5x
2
?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于 我们学习了韦达定理，
又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常 数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，
再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x
2
－7x－6＝0，解得x
1< br>＝2，x
2
＝－
所以，方程的另一个根为－
3
．
5
3
，k的值为－7．
5
63
，∴x
1
＝－．
55
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
＝－
3k
）＋2＝－，得 k＝－7．
55
3
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5
由 （－
例3 已知关于x的方程x
2
＋2(m
－
2)x＋m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要
特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得 x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x
1
·x
2< br>＝m
2
＋4．

- 10 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
∵x
1
2
＋x
2
2
－x
1
·x
2
＝21 ， ∴(x
1
＋x
2
)
2
－3 x
1
·x
2
＝21，
即 [－2(m
－
2)]
2
－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，舍去．
综上，m＝-1．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满 足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个
根的积大21”求出m的 值，取满足条件的m的值即可．
（★）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根 的判别式Δ是否大于或大于等于零．因为，韦达定理成立
的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别 为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
∴
?
或
?

y?6,y??2.
?
1
?
2
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x
2
－4x－12＝0 的两个根．
解这个方程，得 x
1
＝－2，x
2
＝6． 所以，这两个数是－2和6．





说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值； （2）求
11
?
的值； （3）x
1
3
＋x
2
3
．
22
x
1
x
2
解：∵x
1
和x
2
分别是一元二次方程2 x
2
＋5x－3＝0的两根， ∴
x
1
?x
2
??
（1）∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
－4 x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)

53
，
x
1
x
2
??
．
22
5
2
2
3
2
＝


25
497
＋6＝， ∴| x
1
－x
2
|＝．
42
4
5325
(? )
2
?2?(?)?3
222
x
1
?x
2
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
1137< br>22
?
4
（2）
2
?
2
?
2
．
???
22
39
x
1
x
2
x
1
?x
2
(x
1
x
2
)9
(?)
2
24
（3）x
1
3
＋x
2
3
＝(x< br>1
＋x
2
)( x
1
2
－x
1
x< br>2
＋x
2
2
)＝(x
1
＋x
2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
＝( －
55
3
215
)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝－．
228
2
注意：
．．．
说明：一元二次方程的两根 之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出
其一般规律：
设x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2< br>＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b?b
2
?4ac?b?b
2?4ac
，
x
2
?
，
x
1
?
2a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x
1
－x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－ 4ac）．
|a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零 ，求实数a的取值范围．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则 x
1
x
2
＝a－4＜0， ①

- 11 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．


练习A
1．选择题：
（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
（A）m＜
22
1111
（B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
4444
（3）已知 关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（4）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
7
；
3
④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（5）关于x的一元二次方程ax
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0， 则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分 别是x
1
和x
2
，则
11
?
＝ ．
x
1
x
2
（2）方程mx
2
＋x－2m＝0（ m≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
（4）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（5）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β< br>2
＝ ．
（6）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（7）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．

3 ．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当k取何值时，方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？





4．已知方程x
2
－3x－1＝0的两根为x
1
和x
2，求(x
1
－3)( x
2
－3)的值．



5．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？






6．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．




练习B组
1．选择题:
若关于x的方程x
2
＋(k
2
－1) x＋k＋1＝0的两实根互为相反数，则k的值为 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m ，n是方程x
2
＋2005x－1＝0的两个实数根，则m
2
n＋mn
2
－mn的值等于 ．

- 12 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
（2）如果a，b是方程x
2
＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a
3
＋a
2
b＋ ab
2
＋b
3
的值是 ．
3．已知关于x的方程x
2
－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
和x
2
，如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x2
，求实数k的取值范围．





< br>4．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x
1
和x
2
．求：
（1）| x
1
－x
2
|和
x
1
?x
2
；（2）x
1
3
＋x
2
3
．
2





5．关于x的方程x
2
＋4x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．







2
．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质

一、复习引申：问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究 这一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，y＝
导出函数y＝ax
2
与 y＝x
2
的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x
x
2
2x
2

…
…
…
－3
9
18
－2
4
8
－1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…

1
2
x，y＝－2x
2
的图象，通过这些函数图象与函数 y＝x
2
的图象之间的关系，推
2
从表中不难看出，要得到2x
2< br>的值，只要把相应的x
2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到 了函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可 以得到这两个函数图象之间的关系：
函数y＝2x
2
的图象可以由函数y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
1
2
x，y＝－2x
2
的图象，并研究这两个函数图象与函数y2
y＝2x
2

y
y＝x
2

＝x
2
的图象之间的关系．


通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
1、二次函数y＝ax
2
(a≠ 0)的图象可以由y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2
(a≠0)
中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间存在怎样的关系？ < br>同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝< br>2(x＋1)
2
＋1与y＝2x
2
的图象（如图2－2所示），从函数 的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x
2
的图象向左
平移一个单位，再向上平移一 个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)
2
＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－3 (x－1)
2
＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

2、二次函数y＝a(x＋h)
2
＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象
的左 右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． < br>由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方 法：
O
图2.2-1
y
x
y＝2(x＋1)
2
＋1
y＝2(x＋1)
2

y＝2x
2

b
2
b
2
bb
22 2
由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋
x
)＋c＝a(x＋
x
＋2
)＋c－
4a
4a
aa
b
2
b
2
?4ac
)?

?a(x?
，
2a4a
所以 ，y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax
2
的图 象作左右平移、上下平移得到的，

- 13 -
－1
O
图2.2-2
x

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
于是，二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
b4ac ?b
2
bb
,)
，对称轴为直线x＝－3、（1）当a＞0时，函数y＝ax ＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为
(?
；当x＜
?
时，y
2a4 a
2a2a
2
4ac?b
2
bb
随着x的增大而减小；当x ＞
?
时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
时，函数取最小值y＝．
4a
2a2a
2
b4ac?b
bb
,)
，对称轴为直线x ＝－（2）当a＜0时，函数y＝ax
2
＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?< br>；当x＜
?
时，y随着
2a4a
2a2a
4ac?b
2
bb
x的增大而增大；当x＞
?
时，y随着x的增大而减小；当x＝
?
时，函数取最大值y＝．
4a
2a2a
上述二次函数的性质可以分 别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函
数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

2
y
b4ac?b
y

b
,)
A
(?
x＝－

2a4a
2a





O
x
O
x


b4ac?b
2
b

,)
A
(?
x＝－

2a4a
2a

图2.2-4
图2.2-3



二、典型例题：
例1 求二次函数y＝
－
3x2
－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y 随x的增
大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝
－
3x< br>2
－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向下；
A(－1,4)
y
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法 画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B
(
23?323?3
,0)
和C
(?,0)
，与y轴的
33
D(0,1)
交点为D(0，1)，过这四点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出， 根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选
O
B
x
C
点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之
x＝－1
间关系如下表所示：
图2.2－5
x 元 130 150 165
y件 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的 利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利
润是多少？
分析：由于每天的利润 ＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大
值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润 的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx+b
将x＝130，y＝70； x＝150，y＝50代入方程，有
?
?
70?130k?b,

50?150k?b,
?
解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x
2
＋320x－24000
＝－(x－160)
2
＋1600， ∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x< br>2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x
2
的图像，求b，c的值．
b
2
b
2
bb
2
2< br>2
解法一：y＝x＋bx＋c＝(x+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位 ，再向左平移4个单位，得到
y?(x??4)?c??2
的
4
24
2
图像，也就是函数y＝x
2
的图像，所以，

- 14 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b＝－8，c＝14．
2
?
c?
b
?2?0,
?
4
?
解法二：把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到 函数y＝x
2
的图像，等价于把二次函数y
＝x
2
的图像向下平移2 个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x
2
＋bx＋c的图像．
由于把二次 函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)
2
＋2的图像，即为y＝x
2
－8x＋14的
图像，∴函数y＝x
2
－8x＋14与函数y＝x
2
＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数 图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来 解决的，其运算量相对较大；而解法二，则
是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来 解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体
情况，选择恰当的方法来解决问题 ．
三、练习A
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）y＝2x
2
（B）y＝2x
2
－4x＋2
（C）y＝2x
2
－1 （D）y＝2x
2
－4x
（2）函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；
当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值
y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x
2
．


2.2.2 二次函数的三种表示方式

一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次 函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ ax
2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解 的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b
2
－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过 来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ
＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物 线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴
有一个交点， 则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0< br>也成立．
于是，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 A(x
1
，0)，B(x
2
，0)，则x
1
，x
2
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两根，所以 x
1
＋
x< br>2
＝
?
b
c
，x
1
x
2
＝ ，
a
a
bc
即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
aa

- 15 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
所以，y＝ax
2
＋bx＋c＝a(
x?
2
bc
x?
)
aa
= a[x
2
－(x
1
＋x< br>2
)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A(x
1
，0)，B(x
2
，0)两点，则其函数关系式可以表示 为y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形 式中的某一形式
来解题．
二、典型例题：
例1 已知某二次函数的最大值为2 ，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解 本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象 过
定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐 标是（1，2）．设该二次函数的解析式为
y?a(x?1)?2(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴
?1?a(3?1)?2
，解得a＝
?
∴二次函数的解析式为
y??
2
2
3
．
4
333 5
(x?1)
2
?2
，即y=
?x
2
?x?

4424
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标 ，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问
题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙 地利用条件简捷地解决问题．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． < br>分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标 ，于是可以将函数的
表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
?12a
2
?4a
2
??4a
， 展开，得 顶点的纵坐标为
4a
1
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2 ，即a＝
?
．
2
1
2
31
2
3
所以，二次函数的表达式为y＝
x?x?
，或y＝－
x?x?
．
2222
y＝ax
2
＋2ax－3a，
分析二：由于二次函数的 图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵 坐
标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0 )，或(1，0)，就可以求得函数的表达
式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋ 1)
2
＋2，或y＝a(x＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
11
，或a＝．
22
11
所以，所求的二次函数为y＝
－
(x＋1)
2
＋2，或y＝(x＋1)2
－2．
22
∴0＝a(1＋1)
2
＋2，或0＝a(1＋1 )
2
－2．∴a＝－
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两 个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，
要善于利用条件，选择恰当的方法来解 决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
?
?22 ?a?b?c,
?
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?8?c,

?
8?4a?2b?c,
?
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
通过上面的几道例题 ，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

三、练习A
1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定

- 16 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象 经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a (a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；



（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；



（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．


















2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因 此，在研究二
次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变 其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只
改变一次项和常数项），所 以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移
后函数图像所对应的解析式．
解：二次函数y＝2x
2
－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)
2
－1，
y
其顶点坐标为(1，－1)．
x＝－1
（1）把函数y＝2(x－1)
2
－1的图象向右平移2个单位 ，向下平移1个单位后，其函数图象
的顶点坐标是(3，-2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的 函数表达式就为 y＝2(x－3)
2
－2．
（2）把函数y＝2(x－1)2
－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象
的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x＋
1)
2
＋2．
O


2．对称变换
x

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依
A(1,－1)
A
1
(－3,－1)
据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的
图2.2－7
特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称
y
变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
B(1，3)

例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于下列直线对称后 所得到图象对应的函数解
析式：
y＝1
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．
O
x

- 17 -
A(1,－1)
图2.2－8

解：（1）如图2．2－7，把二次函数 y＝2x
2
－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变 其形
状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y＝2x
2
－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图 象的顶点为A
1
(－3，
-1)，所以，二次函数y＝2x
2
－4x ＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)
2
－1，即y ＝2x
2
＋12x＋17．
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于直线y＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改
变 其形状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可 知，函数y＝2x
2
－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点 为B(1，3)，
且开口向下，所以，二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于直线 y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)
2
＋3，即y＝－2x
2
＋4x＋1．

二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值 范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．

例3 在国内投递外 埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g 付邮资
240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表 达式，作出函数图象．

分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是 不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在
解题时，需要注意的是，当x在各个小范围 内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．
解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为


平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题

?
80,
?
160
?
?

y??
240,
?
320
?
?
?
400,

x?(0,20]
x?(20,40]
x?940,80]

x?( 60,80]
x?(80,100]
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示 ．

y(分)
400
320
240
160
80
O
20 40 60 80 100
x(克)
图2.2－9
三、配方法及其应用
1、同学们知道，在求二次 函数
y?ax?bx?c(a?0)
的图象的顶点坐标或求最大（小）值时需用到变形：
2
b
2
4ac?b
2
b
22
y?ax?bx?c ?a(x?)?
，这种变形的过程就叫配方。具体过程为
y?ax?bx?c?a(x?x)? c

2a4a
a
bb
2
b
2
2
? a[x?x?()]?c?

a2a4a
b
2
4ac?b
2
?a(x?)?

2a4a
2
用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要 的方法之一，望同学们给予足够的重视，在上高中之
前务必先学会并掌握配方。

例1、将下列二次函数式配方：
（1）
y?x?2x?3

2
2
2




2
（2）
2x?5x?1

（4）
y?1?4x?5x

2
2
（3）
y??3x?6x?1

解：（1）
y?(x?2x?1)?2?(x?1)?2

55252551 7
x)?1?2(x
2
?x?)?1??2(x?)
2
?

2216848
222
（3）
y??3(x?2x)?1??3(x?2x?1)?1?3??3(x?1)?2

444421
22
)?1??5(x?)
2
?
（4）
y?5(x?x)?1?5(x?x?
5525555
（2）
y?2(x?
2
例2、求下列二次函数的最大（或最小）值：
（1）
y?2x?3x

（3）
y?
2






（2）
y?1?6x?x

（4）
y??
2
1
2
x?2x?1

2
1
2
x?x?4

4

- 18 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
339939
x) ?2(x
2
?x?)??2(x?)
2
?

2216848
39
∴当
x??
时 y取最小值
?

48
222
（2）
y??(x?6x)?1??(x?6x?9)?1?9??(x?3)?10

解：（1）
y?2(x
2
?
∴当x=3时，y取最大值10
（3）
y?
1
2
11
(x?4x)?1?(x
2
?4x?4)?1?2?(x?2)
2
?1
222
1
2
11
(x?4x)?4??(x
2
?4x?4)?1?4??(x?2)
2
?3

444
∴当x=-2时，y取最小值-1
（4）
y??
∴当x=-2时，y取最大值-3
思考：1、二次函数式的配方和分解因式的区别是什么？
2、你是否已概括出了配方的几个步骤？（注：最好不要用公式去套）



四、练习A组
将下列二次函数配方
（1）
y?x?3x



2
2











2
（2）
y?2x?4x?1

（3）
y??2x?6x?1




（5）
y?x(x?4)




（4）
y?
1
2
2
x?x?1

33

（6）
y?(x?2)(x?4)

（7）
y??(x?2)(x?1)




2
（9）
y?(x?1)?2(x?1)



（11）
y?1?3x?



（13）
y?
（8）
y?
1
(x?3)(x?5)

2

（10）
y?(x?1)?4x?3

2

1
2
x

2
（12）
y?0.1x?0.4x?0.6

2

3
2
6
x?x

55
（14）
y?x?2x?3

42



42
（15）
y?2x?2x?1







2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
一、概念：方程
x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中< br>x
,
2xy
,
y
叫做这个方程
的二次项,
x
,
y
叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：

2
2
22
- 19 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
?
x
2
?4y
2
?x?3y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;
22
?
?
x?y?20,

?
2

2
?
?
x ?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是 由两个二元二次
方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
二、典型例题：
例1 解方程组
y
y＞0

y＝x
2
－x－6

y＞0
?
x
2
?4y
2
?4?0,

?

x?2y?2?0.
?
①
②
－2
O
y＜0
3
x

分析：二元二次方程组对我们来说 较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注
意到方程②是一个一元一次方程，于是 ，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元
二次方程，从而将所求的较为生疏的问题 转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得

x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得 8y
2
＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y
1
＝0，y
2
＝－1．
把y
1
＝0代入③, 得 x
1
＝2；
把y
2
＝－1代入③, 得x
2
＝0．
图2.3－1
?
x
1
?2,
所以原方程组的解是
?

y?0，
?
1
?
x
2
?0,

?
y??1.
?
2
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所 介绍的代入消元法来求解．

例2 解方程组

?
?
x?y?7,

?
xy?12.
2
①
②

解法一：由①，得
x?7?y.
③
把③代入②，整理，得
y?7y?12?0

解这个方程，得
y
1
?3,y
2
?4
．
把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
；
把
y2
?4
代入③，得
x
2
?3
．
?
x
1
?4,
所以原方程的解是
?

y?3，
?
1
?
x
2
?3,

?
y?4.
?
2

解法二：对这个方程组，也可以根据一元 二次方程的根与系数的关系，把
x,y
看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元
二次方程来求
x,y
．
这个方程组的
x,y
是一元二次方程
z?7z?12?0

的两个根，解这个方程，得
z?3
，或
z?4
．
所以原方程组的解是
?

三、练习A
2
?
x
1
?4,
?
x
2
?3,

?

?
y
1
?3;
?
y
2
?4.
?
x
2
?y
2
? 13,
1．下列各组中的值是不是方程组
?
的解? （ ）
?
x?y?5
?
x?2,
?
x?3,
?
x?1,< br>?
x??2,
（1）
?
（2）
?
（3）
?
（4）
?

?
y?3;
?
y?2;
?
y?4;
?
y??3;
2．解下列方程组:
?
y?x?5,
?
x?y?3,
（1）
?
2
（2）
?
2
?
xy??10;
?
x?y?625;




- 20 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题


< br>?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?






2.3.2 一元二次不等式解法
一、引入：二次函数y＝x
2
－x－6的对应值表与图象如下：
x
y
－3
6
－2
0
－1
－4
0
－6
1
－6
2
－4
3
0
4
6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，
即x
2
－x-6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，
即x
2
－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，
即x
2
－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x
2
－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程x
2
－x－6＝0的解就是
x
1
＝－2，x
2
＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关 位置，可以得到一元二次不等式x
2
－x－6＞0的解是 x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式 x
2
－x－6＜0的解是 －2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0 )的图象来解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方 程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b
2
－4ac，它的解的情形按 照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——
有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有 实数解，相应地，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式a x
2
＋bx＋c＞0（a＞0）与ax
2
＋
bx＋c＜0（a＞0） 的解．


（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（ a＞0）与x轴有两个公共点(x
1
，0)和(x
2
，0)，方程ax
2
＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x
1
和x
2
(x
1
＜x
2
)，由图2.3－2①可知

y
y

y





O
x
2

x
1
x



O
x
1
= x
2
x
O
x

①

③
②

图2.3－2
2
不等式ax＋bx＋c＞0的解为 x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0的解为 x
1
＜x＜x
2
．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有 一个公共点，方程ax
2
＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝

- 21 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
b
－ ，由图2.3－2②可知
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为 x≠－
b
；
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax
2
＋bx＋c＝0没有实数根< br>，
由图2.3－2③可知不等式
ax
2
＋bx＋c＞0的解为一切实数 ；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式 时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先
在不等式 两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
二、典型例题：
例3 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3<0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程x
2
＋2x－3＝0的解是 x
1
＝－3，x
2
＝1．
∴不等式的解为 －3< x <1．
（2）整理，得 x
2
－x
－
6＞0．
∵Δ＞0，方程x
2
－x
－
6=0的解为 x
1
＝－2，x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为 x＜－2，或x >3．
（3）整理，得 (2x＋1)
2
≥
0.
由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得 (x－3)
2
≤
0.
由于当x＝3时，(x－3)
2
＝0 成立；而对任意的实数x，(x－3)
2
＜0都不成立，
∴原不等式的解为 x＝3．
（5）整理，得 x
2
－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
2
例4 已知不等式
ax?b x?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx?ax?c?0
的解．
2
解：由不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解为x?2,或x?3
，可知
2
a?0
，且方程
ax
2< br>?bx?c?0
的两根分别为2和3，
bcbc
∴
??5,?6
，即
??5,?6
． < br>aaaa
b
2
c
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可变为
x?x??0
，
aa
22
即 －
5x?x?6?0,
整理，得
5x?x?6?0,

6
2
所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是 x＜－1，或x＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
三、练习A
1．解下列不等式：
（1）3x
2
－x－4＞0； （2）x
2
－x－12<0；




（3）x
2
＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
2
≤

0．


2．解下列方程组：
?
x
2
2
?
(x?3)2
?y
2
?9,
?
?y?1,
（1）
?
4
（2）
?

?
x?2y?0;
?
x?y?2?0;
?





?
x
2
?y
2
?4,?
（3）
?
2

2
?
?
x?y?2.





- 22 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题

3．解下列不等式：
（1）3x
2
－2x＋1＜0； （2）3x
2
－4＜0；






（3）2x－x
2
≥－1；







练习B组
?
y< br>2
?4x,
1．
m
取什么值时,方程组
?
有一个实数解?并求出这时方程组的解．
y?2x?m
?








2．已知关于x不等式2x
2
＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式
bx
2
＋cx＋4≥0．










1.1.1．绝对值（答案）
练习A 1．（1）
?5
；
?4
（2）
?4
；
?1
或
3
2．D 3．
?5x?x?1

13
?
8?x(5?x?
）
?
?
2
练习B 4、
?

13
?
3x?18(x?
）
?
2
?
1.1.2．乘法公式
1．（1）
a?
1
3
111
b
（2）
,
（3）
4ab?2ac?4bc

224
2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
练习A 1． （1）
3?2
（2）
3?x?5
（3）
?86
（4）
5
．2．C
练习B 3．1 4．＞
1.1.4．分式
99
1
练习A 1． 2．B 3．0 4．
2
100
习题1．1
A组
1．
x??2
或
x?4
2．1 3．（1）
2?3
（2）
?1?a?1
（3）
6?1

4．（1）
3
5．4．
7
B组 1．（1）D （2）C 2．
36

55
1.2分解因式（答案）

- 23 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
A组 1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
(2a?b)(4a?2ab?b)

（3）
(x?1?2)(x?1?2)
（4）
(2?y)(2x?y?2)
．
B组
1．（1）
?
a?1
?
a
2
?a?1
（2）
?
2x?3
??
2x?3
??
x?1
??< br>x?1
?

（3）
?
b?c
??
b?c?2a
?

2．（ 1）
?
x?
22
??
?
?
?
5?13??
5?13
?
； （2）
x?2?5x?2?5
；
x?
???
???
2
??
2
?
????
?
2?7
?
3
?
3．
(x?a?1)(x?a)

（3）
3
?
x?
??
2?7
?
；
y
??
x?y
?
???
3
???
2.1 一元二次方程（答案）
练习A
1． （1）C （2）D （3）C （4）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；
对于 ④，其两根之和应为－
2
．
3
（5）C
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x
2
＋2x－3＝0 （4）2
（5）
17
（6）6 （7）
3

4

3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：(x
1
－3)( x
2
－3)＝x
1
x
2
－3(x
1
＋x
2
)＋9
5．当m＞－111
，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；当m＜ －时，方程没有实数
444
根．
6．设已知方程的两根分别是x
1
和x
2
，则所求的方程的两根分别是－x
1
和－x
2
，∵x
1
＋x
2
＝7，x
1
x
2
＝－1，∴(－ x
1
)＋(－x
2
)＝－7，(－x
1
)×(－
2
x
2
)＝x
1
x
2
＝－1，∴所求的方程为y＋7 y－1＝0．

练习B组
1．C 提示：由于k=1时，方程为x
2
＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1．
2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m
2
n＋mn
2
－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
＝a
2
(a＋b)＋b
2
(a＋ b)＝(a＋b)( a
2
＋b
2
)＝(a＋b)[( a＋b)
2
－2ab]＝(－
1)×[(－1)
2
－2×(－1)]＝－3．
3．（1）∵Δ＝(－k)
2
－4×1×(－2)＝k
2
＋8＞0，∴方程 一定有两个不相等的实数根．
（2）∵x
1
＋x
2
＝k，x< br>1
x
2
＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
3
3abc? b
b
b
2
?4ac
x
1
?x
2
4 ．（1）| x
1
－x
2
|＝，＝
?
；（2）x
1
3
＋x
2
3
＝．
3
a
22a
|a|
5．∵| x
1
－x
2
|＝
16?4m?24?m?2
，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意， ∴m＝3．
2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质（答案）
练习A
1、（1）D （2）A
2、（1）4 0 （2）2 -2 0
（3）下
x??2
（-2，5） -2 大 5
??2

3、（1）
y?(x?1)?4
开口向上，对称轴为x=1 ，顶点坐标为（1，-4），当x=1时，y取最小值-4。
（2）
y??(x?3)?10
开口向下，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，10），当x=3时，y取最大值10。

2
2
2.2.2 二次函数的三种表示方式（答案）
1（1）A （2）C 2、（1）
(x?1)(x?2)
（2）4
33
2
37
2
2
3、（1）
y??x?2x?3
（2）
y?(x?3)?5
=
x?9x?

222
2
（3）
y?2(x?1?2)(x?1?2)?2x?4x?2

2.2.3 二次函数的简单应用

- 24 -

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题
（1）
y?(x?)?
3
2
2
9

4












（2）
y?2(x?1)?1

（4）
y?
2

（3）
y??2(x?)?
（5）
y?(x?2)?4

（ 7）
y??(x?
2
2
3
2
2
7

2

14
(x?1)
2
?

33
2
（6）
y?(x?3)?1

（8）
y?
1
2
9
)?

24

1
(x?1)
2
?8

2
2

（9）
y?x?1

（11）
y??
（10）
y?(x?3)?11

（12）
y?0.1(x?2)?1

（14）
y?(x?1)?2

22
2
111
(x?3)
2
?

22
33
2
（13）
y?(x?1)?

55
1
2
3
2
（15）
y?2(x?)?

22

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
练 习 A组
1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解． 2．（1）
?
?
x
1
?15,
?
y
1
?20,
?
x
2
??20,
?
x
1
?5,
（2）
??
y??15;
?
2
?
y
1
??2,
?
x
2
??2,

?
?
y
2
?5;
5
?
x?,
?
?
x
1
?2,
?
3
（3）
?
（4）
?

y?2,
4
?
1
?
y??.
?
3
?
?
x
2
?2,

?
y??2.
?
2
2.3.2 一元二次不等式解法
练 习 A组
4
1．（1）x＜－1，或x＞ ； （2）
?3?x?4
； （3）x＜－4，或x＞1；
3
（4）x＝4．
10
?
x? ,
?
?
x
1
?2,
?
x
1
?0,
?
2
3
2．（1）
?

?
（2）
?

?
y
1
?0,
?
y1
?0,
?
y?
4
.
2
?
3
?
?
x
3
??3,
??
?
x?3,
??
x
2
?3,
??
x
4
??3,
（3 ）
?
1

???
?
y
1
?1,
?
?
y
2
??1,
?
?
y
4
??1 .
?
y
3
?1,
??
3．（1）无解 （2）
?

24
?
x?,
?
?
2
5

??
y??
12
.
2
?
5
?
2323< br>?x?
（3）
1?2?x?1?2

33
B 组
1．消去
y
，得
4x?4(m?1)x?m?0
．
22
1
时，方程有一个实数解．
2
1
?
x?,
1
?
将
m?
代入原方程组，得方程组的解为
?
4

2
?
?
y?1.
当
??16(m?1)?16m?0
,即
m?
22

2．由题意，得 －1和3是方程2x
2
＋bx－c＝0的两根，
bc
∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6．
22
∴不等式bx
2
＋cx＋4≥0就为－4 x
2
＋6x＋4≥0，即2 x
2
－3x－2≤0，
∴
?

1
?x?2
．
2
- 25 -