(完整版)高中数学试题三角函数单元测试题

三角函数单元测试题
姓名： 班级： 考场： 座位号：
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）
A.y＝sin2x
C.y＝sin2x＋cos2x








x
B.y＝cos
2
1－tan
2
x
D.y＝
1＋tan
2
x
2．设函数y＝cos(sinx)，则 （ ）
A.它的定义域是［－1，1］ B.它是偶函数
C.它的值域是［－cos1，cos1］ D.它不是周期函数
3．把函数y＝cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到 原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，
π
然后把图象向左平移 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 （ ）
4
A.y＝2sin2x









B.y＝－2sin2x
x
π
D.y＝2cos( ＋ )
24
π
C.y＝2cos(2x＋ )
4
π
4．函数y＝2sin(3x－ )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）
4
π
A.
3
B.
2π
C.π
3
D.
4π

3
5．若sinα＋cosα＝m，且－2 ≤m＜－1，则α角所在象限是 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3π
6．函数y＝|cotx|·sinx（0＜x≤ 且x≠π）的图象是 （ ）
2
cos
2
x
7．设y＝ ，则下列结论中正确的是 （ ）
1＋sinx
A.y有最大值也有最小值 B.y有最大值但无最小值
C.y有最小值但无最大值 D.y既无最大值又无最小值
π
8．函数y＝sin（ －2x)的单调增区间是 （ ）
4
3π
ππ
5π
A.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) B.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
8888

π
3π3π7π
C.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) D.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
8888
1
9．已知0≤x≤π，且－ ＜a＜0，那么函数f(x)＝cos
2
x－2asinx－1的最小值是 （ ）
2
A.2a＋1 B.2a－1 C.－2a－1 D.2a
π
10．求使函数y＝sin(2x＋θ)＋3 cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0， ］上是增函数的θ的一个
4
值为 （ ）
A.
5π

3
B.
4π2π
C.
33
π
D.
3
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
cosx
11．函数y＝ 的值域是_____________.
1＋2cosx
cosx
12．函数y＝ 的定义域是_____________.
lg（1＋tanx）
13．如果x，y∈［0， π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则x＝___________，y＝___________.
14．已知函数y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图 形
的面积是_____________
15．函数y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.
π
16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋ )(x∈R)有下列命题：
3①由f(x
1
)＝f(x
2
)＝0可得x
1
－x
2
必是π的整数倍；
π
②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－ )；
6
π
③y＝f(x)的图象关于点（－ ，0)对称；
6
π
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－ 对称.
6
其中正确的命题的序号是_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx )
2
＋2cos
2
x.(x∈R)
(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？















19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝
log
1
(sinx－cosx)
2
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.

20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须
尽量 减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧壁
的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

















21． (本小题满分15分）已知函数f(x )＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图
3π
π
象关于 点M（ ，0)对称，且在区间［0， ］上是单调函数，求φ和ω的值.
42

三角函数单元测试题答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1
ππ
11．（－∞， ］∪［1，+∞) 12．{x|－ ＋2kπ＜x＜2kπ或2kπ＜x＜ ＋2kπ(k∈Z)}
342
5
13．x＝0或π，y＝0 14．4π 15．{y｜－ ≤y≤1＋2 } 16．②③
4
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） < br>17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分， 试求该
函数的一个解析式.
【解】 由图可得：A＝3 ，T＝2｜MN｜＝π.
2π
从而ω＝ ＝2，故y＝3 sin(2x＋φ)
T
π
2π
将M（ ，0）代入得sin( ＋φ)＝0
33
2π2π
取φ＝－ 得y＝3 sin(2x－ )
33
5π
【评注】 本题若将N（ ，0）代入y＝3 sin(2x+φ)
6
5π5π5π2π
则可得：sin( ＋φ)＝0.若取φ＝－ ，则y＝3 sin(2x－ )＝－3 sin(2x－ )，
3333
π
它与y＝3 sin(2x－ )的图象关于x轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数y＝3
3
sin(2x＋φ)后，如何确定φ，要看该点在曲线上的位置.如：M在上升的曲线上，就相当于“五
2π
点法”作图中的第一个点，故 ＋φ＝0；而N点在下降的曲线上，因此相当于“五点法”作图3
5π2π
中的第三个点，故 ＋φ＝π，由上可得φ的值均为－ .
3318．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)
2
＋2cos
2
x.(x∈R)
(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
π
【解】 y＝1＋sin2x＋2cos
2
x＝sin2x＋cos2x＋2＝2 sin(2x＋ )＋2.
4
π
(1)要使y取得最大值，则sin(2x＋ )＝1.
4
πππ
即：2x＋ ＝2kπ＋
?
x＝kπ＋ (k∈Z)
428
π
∴所求自变量的取值集合是{x｜x＝kπ＋ ，k∈Z}.
8

(2)变换的步骤是：
ππ
①把函数y＝sinx的图象向左平移 个单位，得到函数y＝sin(x+ )的图象；
44
1
π
②将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得函数y＝sin(2x＋ ）
24
的图象；
③再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变），得函数 y＝2
π
sin(2x＋ )的图象；
4
π
④最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到 y＝2 sin(2x＋ )+2的图象.
4
【说明】 以上变换步骤不唯一！
19．（本小题满分14分） 已知函数f(x)＝
log
1
(sinx－cosx)
2
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
【分析】 研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考虑
内层函 数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系.
π
【解】 （1）由题意得sinx－cosx＞0，即2 sin(x－ )＞0
4
ππ
5π
从而得2kπ＜x－ ＜2kπ＋π，所以函数的定义域为（2kπ＋ ，2kπ＋ ）(k∈Z)
444
π
∵0＜sin(x－ )≤1，∴0＜sinx－cosx≤2
4
即有
log
1
(sinx－cosx)≥
log
1
22
11
2 ＝－ .故函数的值域是［－ ，+∞).
22
ππ
（2）∵sinx－cosx＝2 sin（x－ )在f(x)的定义域上的单调递增区间为（2kπ＋ ，2kπ
44
＋
3π
π
3π
）(k∈Z)，函数f(x)的递减区间为（2kπ＋ ，2kπ＋ ）(k∈Z).
444
(3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，
∴函数f(x）是非奇非偶函数.
（4）f(x＋2π)＝
log
1
［sin(x＋2π)－cos(x＋2π)］＝
log
1
（sinx－cosx) ＝f(x).
22
∴函数f(x)是周期函数，2π是它的一个周期.
20．（本 小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须
尽量减少水与水渠 壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧壁
的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？
【分析】 本题中水与水渠壁的接触面最小，即是修建的

成本最低，而水与水渠壁的接触面最小，实际上是使水渠横断
面的周长最小.
【解】 设水渠横断面的周长为y，则：
313×3
(y－2× )×3＋2× · ＝m
sinα22tanα
2－cosα
m
即：y＝ ＋3· (0°＜α＜90°).
3sinα
2－cosα
欲减少水与水渠壁的接触面，只要 使水渠横断面周长y最小，即要使t＝
sinα
(0°＜α＜90°)最小，
∵tsinα＋cosα＝2.
21
∴sin(α＋φ)＝
2
，(其中φ由tanφ＝ ，φ∈(0°，90°))
t
t＋1
2
由
2
≤1得：t
2
≥3
?
t≥3
t＋1
当且仅当t＝3 ， 即tanφ＝
3
，即φ＝30°时，不等式取等号，此时sin(α＋30°)＝1
?
α
3
＝60°.
【答】 水渠侧壁的倾斜角α＝60°时，修建成本最低.
21． (本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上 的偶函数，其图
3π
π
象关于点M（ ，0)对称，且在区间［0， ］上是单调函数，求φ和ω的值.
42
【解】 由f(x)是偶函数，得f(x)＝f(－x)
即sin(ωx＋φ)＝sin(－ωx＋φ)
∴－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x都成立.
π
且ω＞0，∴cosφ＝0，依题设0≤φ≤π，∴φ＝
2
3π
由f(x)的图象关于点M（ ，0）对称，得，
4
3π3π3π
取x＝0，得f( )＝－f( )，∴f( )＝0
444
3π3ωπ
π
3ωπ
∴f( )＝sin( ＋ )＝cos ＝0，又ω＞0
4424
∴
3ωπ
π
2
＝ ＋kπ，k＝0，1，2，…，ω＝ (2k＋1)，k＝0，1，2，…
423
22
ππ
当k＝0时，ω＝ ，f(x)＝sin( x＋ )在区间［0， ］上是减函数；
3322
ππ
当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋ )在区间［0， ］上是减函数；
22
10
ππ
当k≥2时，ω≥ ，f(x)＝sin(ωx＋ )在区间［0， ］上不是单调函数；
322

2
所以，ω＝ 或ω＝2.
3