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高中数学 ----- 三角函数
【知识网络】
【概念梳理】
1.
角的概念和弧度制。
(1)
在确定一个角的大小时，不仅要看它的始边与终边的位置，还要看它是按什么方 向
旋转而成，这样一来，角的范圉就推广到了任意角。
⑵角度制与弧度制换算的关键是
180
。=兀，注意两种度量需统一。弧度制将角的集合 与
实数集合
R
之间建立了 ------ 对应关系。
(3)
象限角、轴线角的范围都是用终边相同的角来表示的区域角。判断给定角是第几 象限
角一般是将角转化为
0
。到
360
。之间终边相同的角来判定。
2.
三角函数的定义。
(1)
在直角坐标系中，设任意角
a
终边上任意一点
P(x, y),
它与原点的距离为
r= *x+y,
则
sin a=? cos a=*, tan a=±
由此可得以实数
x
为自变量的三角函数
y = sin x, y=cos x
和
22
y=tan x^x#^+2k7r(kZ)^
o

(2)
任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点
P
在终边上的位置无关; 角
与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一 确定的；
反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应。
(3)
三角函数的值在各象限的符号有如下口决：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限。

3.
同角三角函数基木关系
⑴平方关系：
sin2 a +cos2 a =1,
商数关系：
tan a =sin a cos a
。
(2)
应用：①已知角
a
的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角
Q
的
终边所在的彖限。②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中的三个技巧:
“1”
的代换
sin2a +cos2a =1
；
切化弦；
sin a ±cos a
平方整体代换。
4
?诱导公式
(1)
诱导公式可概括为
k
号
±a
的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，
符号看象限。其中的奇、偶是指号的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化。 若
是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数；若是偶数倍，则函数名称不变。符 号看象
限是指把
a
看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。
(2)
利用诱导公式，可以把任意用的正弦，余弦函数值化为锐角三角函数值，其步骤 为：
负化正，大化小，锐角求值。化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互 补关系，
从而简化解题过程。
5.
三角函数的图象与性质
y = sin x
函数

y=cos x
y

y = tem x
i
[y
1
图象

i
y
託勢
r x
丸每
2
o
粤左
( JI
Z 2
，
定义
域
函数
值域
R R
k n +m~J(kWZ)
y = sin x
[—1,1]
y=cos x
[-1,1]
y = tan x
( — 8, +OO
)

JI
x = 2k Ji
+—时，
y.
碎
x = 2kn
时，
y
唤
=1;
最值
=1;
x
— 2k “ 2
时，^

min
x = 2k n +
JI
时，
y
min
= —
1
无最大、最小值
=—1
周期
性
奇偶
性
奇函数 偶函数 奇函数
T=2n
T=2 Ji T= Ji
JI
在
2k Ji —, 2kn +
单调 性
JI ■
y(kez)
上都是增
函数；在
2k
肌+*,
在
[2k n — n , 2k n ] (k ez)±
在每个区间
k n
2
, k
都是增函数；在
[2k
肌
，
n +y(kez)±
都是增
2k Ji +
JI
] (ke Z)
上都是减
函数
3 Jl
z

、
2k n + ? (k W Z)
上
都是减函数
轴对称图形，对称轴
对称
性
JI
方程是
x = k
兀+—,
函数
轴对称图形，对称轴方 程
对称中
k n
是
x=k Ji , kez
；
中 心对称
中心对称图形，
心(亍
0)
图形，对称中心
( Ji A
k Ji +—, 0 , kGZ
k^Z
；
中心对称图
形，对称中心
(k Ji ,
O)kez

⑴函数
y=sin x
和
y=cos x
的周期是
2 n , y=tanx
的周期是兀；函数
y=Asin
（
3x + 4
）
）
和
『=
Acos
（
3x+d
）
）
的周期是
2
兀
|3|, y = Atan
（
3x+“
）
的周期是兀
I 3 I
。
（2）
利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同 一单调区间内。求形如
f
（
3x+d
）
）（f
为
sin, cos, tan）
的单调区间时，采用整体代换 的
形式将
3x+
“视为整体求解时注意
x
的范围即可，注意3及
f
符号对单调性的影 响。
6.
五点作图与图象变换
（l）y=sinx, xe[0,2n]
图象上关键五点：
（
0,0）,
兀
2, 1,（
兀
，
0）3
肌
2, -1, （2
兀
，
0）
；

y=cosx, xe[0,2n]
图象上关键五点：
（
0,1）
兀
2, 0,（
兀，一
1）, 3
兀
2, 0, （2
兀，
1）
。
五点即为图象的最高点、最低点及与
x
轴的交点，描点作图并向左向右平移即得正 弦曲
线和余弦曲线。
⑵函数
y = sin x
的图象变换到函数
y = Asin
（
3x+ ? ）
的图象时，法则是针对自变量
x
和
因变量
y,
左加右减 ，上加下减。途径是相位变换周期变化
w（>0）
f振幅变换
A（A>0）
和周期变换
3
（
3 >0）—相位变化
4
）
（4
）
HO）—
振幅变换
A（A >0）o
注 意二者平
移量不同。
⑶依据
y=Asin
（
3x+
（
I
）
）
的图象可以确定周期和振幅，依据图象上的特殊点可 确定
A,
3,4
）
,
可得对应的函数解析式。