高中数学必修三角函数知识点归纳总结经典

《三角函数》
【知识网络】


应用


弧长公式
同角三角函数
诱导
应用

的基本关系式
公式


应用

三角函数的
角度制与
任意角的

任意角的概念
图像和性质
弧度制
三角函数



应用
和角公式
倍角公式


应用

差角公式


应用

一、任意角的概念与弧度制
1、将沿
x
轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
计算与化简
证明恒等式
应用
已知三角函
数值求角
?
??
?
?
?kg360
?
?
k?Z
?

?
180
o
?
?
k?Z
?

x< br>轴上角：
?
??
?k
g
180
o
?
?
k?Z
?

y
轴上角：
?
??
?90< br>o
?k
g
3、第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
?
?
0?k
g
360?
?
90
o
o
?
?
?
?90
o
?k
g
360
?
?
?
k?Z
?

?k
g
360
?
?
?
?180
o
?k
g
360
?
?
?
k?Z
?

?
?
?
180?k
g
360
?
?
270< br>o
?
?
?270
o
?k
g
360
?
?
?
k?Z
?

?k
g
360
?
?
?
?360
o
?k
g
360
?
?
?
k?Z
?

o
4、区分第一象限角、锐角以及小于
90
的角
第一象限角：
锐角：
?
?
0?k
g
360
o
?
?
?
?90
o
?k
g
360
?
?
?
k?Z
?

o
?
?
0?
?
?90
?
小于
90
的角：
?
??
?90
?

o

5、若
?
为第二象限角，那么
?
为第几象限角
2
?
22
??
5
?
3
?
k?0,?
?
?,

k?1,?
?
?,

4242
?
所以在第一、三象限
2
6、弧度制：弧长等于半径时， 所对的圆心角为
1
弧度的圆心角，记作
1rad
.
?
180?
7、角度与弧度的转化：
1???0.01745

1??57.30??57?18
?

180
?
8、角度与弧度对应表：
角度
弧度
?2k
?
?
?
?
?
?2k
?

?
4
?k
?
?
?
2
?
?
?k
?

0
?

30
?

45
?

60
?

90
o

120
?

135
?

150
?

180
?

360
?

0

?

6
?

4
?

3
?

2
2
?

3
3
?

4
5
?

6
?

2
?


9、弧长与面积计算公式
弧长：
l?
?
?R
；面积：
S?

二、任意角的三角函数
1、正弦：
sin
?
?
11
l?R?
?
?R
2
，注意：这里的
?
均为弧度制. 22
y
xy
；余弦
cos
?
?
；正切
tan
?
?

r
rx
其中
?
x,y
?
为角
?
终边上任意点坐标，
r?

2、三角函数值对应表：
x
2
?y
2
.

度
0
o

30
o

45
o

60
o

90
o

120
o

135
o

150
o

180
o

270?

360
o

弧度
0

?

6
1

2
?

4
2

2
2

2
?

3
3

2
1

2
3

?

2
1

2
?

3
3
?

4
5
?

6
?

0

3
?

2
2
?

sin
?

0

3

2
2

2
1

2
1

0

cos
?

1

3

2
3

3
0

1
?

?
2

?
3

2
2
2
?3

?1

0

1

tan
?

0

1

无
?1

?
3

3
0

无
0

3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）

sin
?

tan
?

cos
?

第一象限：
.x?0,y?0
sin
第二象限：
.x?0,y?0
sin
第三象限：
.x?0,y?0
sin
第四象限：
.x?0,y?0
sin
?
0,cos
?
0,cos
?
0,tan
?
0,tan
?
0,
?
0,
?
0,cos
?
0,cos
?
0 ,tan
?
0,tan
?
0,
?
0,

4、三角函数线
设任意角
?
的顶点在原点
O
，始边与x
轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与
P
(x,y)
，
过< br>P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
；过点
A(1,0)作单位圆的切线，它与角
?
的终边或其反向
延长线交于点T.

y

y

T



P

P


A

A


x

M

o

o

M

x



T


（Ⅱ）
（Ⅰ）



y

y

T




M

M

A

A


x

x

o

o



P

P

T


（Ⅲ）
（Ⅳ）

由四个图看出：
当角
?
的终边不在坐标轴上时，有向线段
OM?x,MP?y
，于是有
yyxx
??y?MP
，
cos
?
???x?OM
r1r1
，
yMPAT
tan
?
????AT
．
xOMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
sin
?
?
5、同角三角函数基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
?
sin
?
?tan
?
gcot
?
?1

cos
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?

(si n
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
c os
?

(
sin
?
?cos
?< br>，
sin
?
?cos
?
，
sin
?
?cos
?
，三式之间可以互相表示)

6、诱导公式
n
?
?
?
口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是
2
中整数
n
的奇偶性，把
?
看作锐角)
nn
??
n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,n为偶 数
?
(?1)
2
cos
?
,n为偶数
sin(?< br>?
)?
?
?
?
)?
?
；
cos(< br>.
n?1n?1
22
?
(?1)
2
cos
?
,n为奇数
?
(?1)
2
sin
?
,n为奇数< br>??
①.公式（一）：
?
与
?
?2k
?
,< br>?
k?Z
?

sin(
?
?2k
?
)?sin
?
；
cos(
?
?2k
?
)?cos< br>?
；
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
②.公式（二）：
?
与
?
?

sin
?
?
?
?
??sin
?
；
cos
??
?
?
?cos
?
；
tan
?
??
?
??tan
?

③.公式（三）：
?
与
?
?
?

sin< br>?
?
?
?
?
??sin
?
；
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
；
ta n
?
?
?
?
?
?tan
?

④.公式（四）：
?
与
?
?
?

sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
；
cos< br>?
?
?
?
?
??cos
?
；
tan
?
?
?
?
?
??tan
?

⑤.公式（五）：
?
与
?
2
?
?

?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
；
cos
?
?
?
?
? ?sin
?
；
?
2
??
2
?
⑥.公式（ 六）：
?
与
?
2
?
?

?
???
?
?
sin
?
?
?
?
?cos< br>?
；
cos
?
?
?
?
?sin
?< br>；
?
2
??
2
?
⑦.公式（七）：
?与
3
?
?
?

2
?
3
???
3
?
?
sin
?
?
?
?
??cos
?
；
cos
?
?
?
?
?sin
?
；
?
2
??
2
?
⑧.公式（八）：< br>?
与
3
?
?
?

2
?
3< br>?
??
3
?
?
sin
?
?
?
?
??cos
?
；
cos
?
?
?
???sin
?
；
?
2
??
2
?

三、三角函数的图像与性质

1、将函数
y?sinx
的图象 上所有的点，向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?< br>?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到
1
倍（纵坐标不变），得到函数y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y ?sin
?
?
x?
?
?
?
的图象上所有点的纵坐标 伸长（缩短）到原来的
A
倍（横坐标不变），得到函数
原来的
y?Asin< br>?
?
x?
?
?
的图象。
2、函数
y?As in
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0?
的性质：
①振幅：
A
；②周期：
T?
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
。
?
T2
?
3、周期函 数：一般地，对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数
T
，使得定义域内的每一
个
x
值，都满足
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，
T
叫做该函数的周期.
4、⑴
y?Asin(
?
x?
?
)

对称 轴：令
?
x?
?
?k
?
?
，得
x?
2
?
k
?
?
?
k
?
?
?
对称中心：
?
x?
?
?k
?
，得
x?，
(,0)(k?Z)
；
?
?
k
?
??
?
x?
?
)

对称轴：令
?
x?< br>?
?k
?
，得
x?
⑵
y?Acos(
；
?
k
?
?
?
2
?
?

?
?
?
k
?
??
?
k
?
??
?
?
2
2
对称中心：
?
x?
?
?k?
?
，得
x?
，
(,0)(k?Z)
；
2
?
?
⑶周期公式:
①函数
y?Asin(
?< br>x?
?
)
及
y?Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
2
?
?
(A、ω、
?
为常数，且A
≠0).
②函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
的周期
T?
5、三角函数的图像与性 质表格

函

数
性
质
图
像
定
义
域
?
(A、ω、
?
为常数，且A≠0).
?
y?sinx


y?cosx


y?tanx


R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k?Z
??

2
??

值
域
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k?Z
?
时，
R

?
2
?
k?Z
?
时，
最
值
y
max
?1
；
当
x?2k
?
?
?
2
?
k?Z
?
时，
y
max
?1；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k?Z
?
时，
y
min
??1
．
?

y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
在
?
?
单
调
性
2
?

2
?

奇函数 偶函数 奇函数
?
?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?

2
?
2
?
?
k?Z
?
上是增函数； 在
?
在
?
?
?
?2k
?
,2k
?
?
?
k?Z
?
上是增函数；
在
?
2 k
?
,2k
?
?
?
?
?
k?Z
?

上是减函数．
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
3
?
?
?
?
?2k
?
,? 2k
?
?

2
?
2
?
?
k?Z
?
上是增函数．
?
k?Z
?
上是减函数．
对称中心
对
称
性
对称中心
?
k
?
,0
??
k?Z
?

对称轴
x?k
?
?
?
2
?
k?Z
?

?
??
k?
?,0
?
?
k?Z
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k?Z
?

对称 中心
?
?
k
?
?
,0
?
?
k?Z
?

?
2
?
无对称轴
6. 五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。
7.
y?Asin(?x??)
的的图像

8. 函数的变换：
（1）函数的平移变换
① 将图像沿轴向左（右）平移个单位
（左加右减）
② 将图像沿轴向上（下）平移个单位
（上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长）

② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）
（3）函数的对称变换：
① ) 将图像绕轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
② 将图像绕轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
③ 将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）

四、三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
(1）
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?

(2）
sin(
?
?
?)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?< br>
(3）
cos(
?
?
?
)?cos
?cos
?
?sin
?
sin
?

(4）
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

(5）
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

?

tan
?
?tan
?
?tan
?< br>?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?

1?tan
?
tan
?
tan
?
?t an
?

?

tan
?
?tan
?< br>?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?

1?tan
?
tan
?
( 6）
tan(
?
?
?
)?
(7)
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其中,辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
所在的象限
决定,
sin
?
?
b
a2
?b
2
,cos
?
?
a
a
2
?b
2
,tan
?
?
b
，该法也叫合一变形).
a
(8)
1?tan
??
1?tan
??
?ta n(?
?
)

?tan(?
?
)

1?tan
?
41?tan
?
4

2. 二倍角公式
（1）
（2）


（3）

3. 降幂公式：
（2）
（1）
4. 升幂公式
（1）
1?cos
?
?2cos
2
?
2
（2）
1?cos
?
?2sin
2
?
2